∈H并且|=若T是中的映射,不妨设=x,由2 x"(f)=(f,y)=(Ty,m)=f(x) 故x=x"。J是到上的并且 A=|x=p=|= 定理得证 这里注意T:H→H是共轭线性的但不是线性的.因此按照线 性同构的观点来看,当Φ是复空间时,H·≠H.尽管H与H之间存 在一一的到上的映射.另一方面,定理2(3)与我们关于一致凸空间 的结论是一致的,即 Hilbert空间是自反空间,从而 Hilbert空间的闭 单位球是O紧的等等 定义1设H是 Hilbert空间,:H×H→Φ是一映射 (1)称φ是一、五线性的,若Vx,y,=∈H,a,B∈Φ p(ax+B,=)=ap(x,=)+B(y,-) q(x,ay+)=aq(x,y)+B(x,).(4-3-5 (2)称φ是对称(或 Hermite)的,若g(x,y)=(y,x) (3)称φ是有界的,若存在C>0, lq(x,y)Cy,xy∈H 此时记其范数为 lo=sup( p(x,y)1: -l,bv<1; (4-3-5) 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理 定理3设H是 Hilbert空间,则φ:H×H→Φ是有界一、五线 性泛函当且仅当存在T∈B(H),使得 x,y)=(Tx,y)Vx,y∈H (4-3-6) 此时有|pl=|r‖4 * ∀f ∈ H 并且 ∗∗ ∗ x = y 。若 T 是 D 1 中的映射，不妨设 Ty = x ∗ ，由 D 2 ， ( ) ( , ) ∗∗ ∗ x f = f y ＝ (Ty ,Tf ) ∗ = f (x) . 故 ∗∗ Jx = x 。 J 是到上的并且 ∗∗ Jx = x ＝ ∗ y ＝ ∗ Ty ＝ x . 定理得证. 这里注意 T H → H ∗ : 是共轭线性的但不是线性的. 因此按照线 性同构的观点来看，当 Φ 是复空间时，H ≠ H ∗ . 尽管 ∗ H 与 H 之间存 在一一的到上的映射. 另一方面，定理 2（3）与我们关于一致凸空间 的结论是一致的，即 Hilbert 空间是自反空间，从而 Hilbert 空间的闭 单位球是 ω 紧的等等. 定义 1 设 H 是 Hilbert 空间,， ϕ : H × H → Φ 是一映射. (1) 称 ϕ 是一、五线性的，若 ∀x, y,z ∈ H ，α, β ∈Φ ， ϕ(αx + βy,z) ＝αϕ(x,z)＋ βϕ( y,z) ϕ(x,αy + βz) ＝αϕ(x, y) ＋ βϕ(x,z) . （4-3-5） (2) 称 ϕ 是对称（或 Hermite）的，若 ϕ(x, y) ＝ ϕ( y, x). (3) 称 ϕ 是有界的，若存在 C > 0 ， |ϕ(x, y) |≤ C x ⋅ y ， ∀x, y ∈ H . 此时记其范数为 ϕ ϕ = ≤≤ sup{| ( , ) |: 1, 1} xy x y . （4-3-5） 下面定理可以看成有界一、五线性泛函的表现定理. 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间, 则 ϕ : H × H → Φ 是有界一、五线 性泛函当且仅当存在 T ∈ B(H) ，使得 ϕ(x, y) = (Tx, y) ∀x, y ∈ H . （4-3- 6） 此时有 ϕ = T