自动控制原理电子教案 522典型二阶系统的动态性能 典型二阶系统的数学模型 由微分方程(518或者传递函数5.19)所描述的系统称为典型二阶系统 2d2c() 24-,+c()=r(t) (5.18) a(s)=C(s) (5.19) R()T2s2+2/s+1s2+2ons+o2 其中,s为系统的阻尼比,ωn为无阻尼自然振荡频率。 2.典型二阶系统的单位阶跃响应 典型二阶系统的特征方程为 D(s)=5+2C0,5+O*=0 (5.20) 特征根为 152-lo (5.2la) (5.21b) 在零初始条件下,典型二阶系统的单位阶跃响应为 C(s)=(s)- (5.22) 系统的单位阶跃响应特征主要取决于特征根的分布。从式(521)可以看出,特征根 的分布主要取决于系统的阻尼比c。下面分几种情况讨论 (1)>1过阻尼状态 当>1时,特征根是两个不相等的实数,根平面图如图5.4(a)所 两个时间常数T1,T2定义为 (523a) (5.23b) 则典型二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 C(s) (T1s+1)(T2s+1)s 取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为 ()=1-5 (524) 下面考察过阻尼状态下的典型二阶系统单位阶跃响应的特征。因为 dc(o) 0,t>0 →∞ 浙江工业大学自动化研究所 161自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 5.2.2 典型二阶系统的动态性能 1. 典型二阶系统的数学模型 由微分方程(5.18)或者传递函数(5.19)所描述的系统称为典型二阶系统。 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 c t r t dt dc t T dt d c t T + ς + = (5.18) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n R s T s Ts s s C s s ςω ω ω ς + + = + + Φ = = (5.19) 其中，ς 为系统的阻尼比，ω n 为无阻尼自然振荡频率。 2. 典型二阶系统的单位阶跃响应 典型二阶系统的特征方程为 ( ) 2 0 2 2 D s = s + ςω n s +ω n = (5.20) 特征根为 n n s ςω ς 1ω 2 1 = − + − (5.21a) n n s ςω ς 1ω 2 2 = − − − (5.21b) 在零初始条件下，典型二阶系统的单位阶跃响应为 s s s s C s s n n n 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 ςω ω ω + + = Φ = (5.22) 系统的单位阶跃响应特征主要取决于特征根的分布。从式(5.21)可以看出，特征根 的分布主要取决于系统的阻尼比ς 。下面分几种情况讨论。 （1）ς > 1 过阻尼状态 当ς > 1时，特征根是两个不相等的实数，根平面图如图 5.4（a）所示。 两个时间常数T1 ,T2定义为 1 2 1 1 1 T s = −ςω n + ς − ω n = − (5.23a) 2 2 2 1 1 T s = −ςω n − ς − ω n = − (5.23b) 则典型二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 ( ) T s T s s T s T s s C s + ⋅ − − − + + ⋅ − + − = − ⋅ + + = ς ς ς ς ς ς 取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为 1 2 2 1 1 2 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 T t T t c t e e − − − − − + − + − = − ς ς ς ς ς ς （5.24） 下面考察过阻尼状态下的典型二阶系统单位阶跃响应的特征。因为 ( ) 0 2 1 d d ( ) 1 2 2 − > − = − − T t T t n e e t c t ς ω ， t > 0 c(∞) = 1， 0 d d ( ) 0 = t= t c t ， 0 d d ( ) = t→∞ t c t 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 161