《自动控制原理》课程教学资源：第五章 控制系统动态性能分析

自动控制原理电子教案 第5章控制系统动态性能分析 系统稳定是系统能够正常工作的前提,当系统不稳定时,任何扰动都将使系 统的输出趋于无穷。但对于稳定系统,还需要有较好的动态性能。一般要求系统 跟踪输入变化的速度要快,跟踪精度要高。因此,需要分析系统的暂态性能和稳 态性能。 本章基于微分方程、差分方程的求解,通过分析系统的输出响应,讨论线性 连续、离散控制系统的动态性能。因为这些方法是在时域里进行的,所以,通常 称为时域法 51控制系统的动态性能指标 511典型输入信号 系统的输出响应与输入信号有关,但实际系统的输入信号是多种多样的,很 多是随机信号。比较各种信号下的系统响应是不可能的,也是不必要的。在控制 理论中,通常选择一些典型信号作为系统的输入信号,作为系统分析、设计的基 选择的典型信号应该满足下列要求。 1)在典型输入信号作用下,系统的性能应反映出系统在实际工作条件下的 性能 2)典型输入信号的数学表达要简单,便于数学分析和理论计算 3)在控制现场或者实验室中容易产生,便于实验分析和检验 在控制理论中,常用的典型输入信号有: (1.)阶跃信号 r(t)= Rt≥0 当R=1时,称为单位阶跃信号,记作1()。阶跃信号如图5.1(a)所示 (2.)速度信号(斜坡信号) 0t<0 Rtt≥0 当R=1时,称为单位斜坡信号。速度信号如图51(b)所示 (3).加速度信号(抛物线信号) Rt2t≥0 当R=1时,称为单位加速度信号。加速度信号如图51(c所示。 (4).脉冲信号 r(t)=R5(1) (54) 当R=1时,称为单位脉冲信号。其中,(1)为迪拉克δ函数,定义为 () (55a) 0t≠0 s(tdt=1 (5.5b) 脉冲信号如图5.1(d所示。 浙江工业大学自动化研究所 157

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 第 5 章 控制系统动态性能分析 系统稳定是系统能够正常工作的前提，当系统不稳定时，任何扰动都将使系 统的输出趋于无穷。但对于稳定系统，还需要有较好的动态性能。一般要求系统 跟踪输入变化的速度要快，跟踪精度要高。因此，需要分析系统的暂态性能和稳 态性能。 本章基于微分方程、差分方程的求解，通过分析系统的输出响应，讨论线性 连续、离散控制系统的动态性能。因为这些方法是在时域里进行的，所以，通常 称为时域法。 5.1 控制系统的动态性能指标 5.1.1 典型输入信号 系统的输出响应与输入信号有关，但实际系统的输入信号是多种多样的，很 多是随机信号。比较各种信号下的系统响应是不可能的，也是不必要的。在控制 理论中，通常选择一些典型信号作为系统的输入信号，作为系统分析、设计的基 础。 选择的典型信号应该满足下列要求。 1）在典型输入信号作用下，系统的性能应反映出系统在实际工作条件下的 性能； 2）典型输入信号的数学表达要简单，便于数学分析和理论计算； 3）在控制现场或者实验室中容易产生，便于实验分析和检验。 在控制理论中，常用的典型输入信号有： （1.） 阶跃信号 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 0 0 ( ) R t t r t (5.1) 当 R = 1时，称为单位阶跃信号，记作1(t) 。阶跃信号如图 5.1（a)所示。 （2.） 速度信号（斜坡信号） ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 0 0 ( ) Rt t t r t (5.2) 当 R = 1时，称为单位斜坡信号。速度信号如图 5.1（b)所示。 （3）. 加速度信号（抛物线信号） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 2 1 0 0 ( ) 2 Rt t t r t (5.3) 当 R = 1时，称为单位加速度信号。加速度信号如图 5.1（c)所示。 （4）. 脉冲信号 r(t) = Rδ (t) (5.4) 当 R = 1时，称为单位脉冲信号。其中，δ (t) 为迪拉克δ 函数，定义为 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ ∞ = = 0 0 0 ( ) t t δ t (5.5a) ( ) = 1 ∫ +∞ −∞ δ t dt (5.5b) 脉冲信号如图 5.1（d)所示。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 157

自动控制原理电子教案 (5)正弦信号 (56) Asin(ot+q)t≥0 正弦信号如图5.1(e)所示 r(n) 0 (b) r() (e) 图5.1典型输入信号 在系统分析、设计与实验时,应根据系统正常工作条件下的实际输入,选择 种典型输入信号,作为分析、设计系统的输入信号。例如,如果系统的参考输 入是经常突变的,或者系统受到突变的扰动的影响,那么,可以采用阶跃输入信 号进行系统分析与设计。如果系统的输入信号是随时间缓慢增加的,则可以采用 速度输入信号。如果系统的输入信号是冲击量时,则可以采用脉冲输入信号。如 果系统的输入信号呈现周期性,则可以采用正弦输入信号 5.1.2动态性能指标 控制系统的动态性能指标通常是在零初始条件下,通过系统的阶跃响应的特 征定义的。稳定的控制系统的阶跃响应分为单调变化和衰减振荡两种情况,如图 52所示 909c(∞) △%c(∞) rs 图52控制系统的阶跃响应 系统的动态性能指标,实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。下面首 先针对衰减振荡的情况定义系统的动态性能指标,如图5.2(a)所示 (1)(最大)超调量n% 系统阶跃响应的最大值cmx与稳态值c(∞)的差值与稳态值c(∞)比值的百分 数,称为(最大)超调量,记为σn%,则 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 （5.） 正弦信号 ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ < = sin( ) 0 0 0 ( ) A t t t r t ω ϕ (5.6) 正弦信号如图 5.1（e）所示。 图5.1 典型输入信号 0 R r(t) t 0 r(t) t 0 r(t) t 0 r(t) t 0 r(t) t (a) (b) (c) (d) (e) 在系统分析、设计与实验时，应根据系统正常工作条件下的实际输入，选择 一种典型输入信号，作为分析、设计系统的输入信号。例如，如果系统的参考输 入是经常突变的，或者系统受到突变的扰动的影响，那么，可以采用阶跃输入信 号进行系统分析与设计。如果系统的输入信号是随时间缓慢增加的，则可以采用 速度输入信号。如果系统的输入信号是冲击量时，则可以采用脉冲输入信号。如 果系统的输入信号呈现周期性，则可以采用正弦输入信号。 5.1.2 动态性能指标 控制系统的动态性能指标通常是在零初始条件下，通过系统的阶跃响应的特 征定义的。稳定的控制系统的阶跃响应分为单调变化和衰减振荡两种情况，如图 5.2 所示。 图5.2 控制系统的阶跃响应 0 c(t) t (a) (b) c(∞) max c ∆%c(∞) rt pt st 0 c(t) t c(∞) ∆%c(∞) rt st 90%c(∞) 系统的动态性能指标，实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。下面首 先针对衰减振荡的情况定义系统的动态性能指标，如图 5.2(a)所示。 （1）（最大）超调量σ p % 系统阶跃响应的最大值cmax 与稳态值c(∞) 的差值与稳态值c(∞) 比值的百分 数，称为（最大）超调量，记为σ p %，则 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 158

n% c-c(∞) 或者不以百分数表示,则记为 c(∞) (5.8) c(∞) 超调量σn%反映了系统输出量在调节过程中与稳态值的最大偏差,是衡量系 统性能的一个很重要的指标。对不可逆系统,系统不能出现超调,例如,在水泥 搅拌控制系统中,含水量不能过量,因为控制系统只能加水,而不能排水。对 般系统,总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调,以增加系统的快速性 例如,在电动机调速系统中,电动机速度有一点超调是容许的,这时电动机速度 跟踪特性较好。 (2)(最大)超调时间t 系统阶跃响应达到最大值的时间,称为超调时间,记为tn。最大值一般都发 生在阶跃响应的第一个峰值时间,所以又称为峰值时间。 (3)上升时间tr 当系统的阶跃响应第一次达到稳态值的时间,称为上升时间,记为t。 (4)调节时间t 当系统的阶跃响应衰减到给定的误差带内,并且以后不再超出给定的误差带 的时间,称为调节时间,记为t,即 ()-c(∞)≤△%c(∞),t2t 控制系统的暂态过程理论上要到t→∞才结東,但从工程角度,只要偏差小 于允许的值就算结束。所以,调节时间又称为过渡过程时间。Δ是给定的误差带 通常取2或者5。当对系统的稳态要求不是很高时,Δ取5,反之,取2。 现对于系统的阶跃响应曲线是单调上升的情况,定义系统的动态性能指标, 如图52(b)所示。显然,在这种情况下,没有超调量和超调时间这两个性能指 标。而且,因为只有当t→∞时,系统的阶跃响应才达到稳态值,所以上升时间 也要作一些修正。事实上,在工程中,当阶跃响应如果已经很接近稳态值时,就 可以认为是达到了稳态值。因此,单调上升的单位阶跃响应达到稳态值的90%的 时间即定义为上升时间t, c(t1r)=90%c(∞) (5.10) 调节时间仍然由(59)式定义。 在控制系统分析与设计中,除了上述性能指标外,还有许多其它指标,特别 是一些最优化指标 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 100% ( ) ( ) % max ∞ − ∞ = c c c σ p (5.7) 或者不以百分数表示，则记为 ( ) max ( ) ∞ − ∞ = c c c σ p (5.8) 超调量σ p %反映了系统输出量在调节过程中与稳态值的最大偏差，是衡量系 统性能的一个很重要的指标。对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥 搅拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。对一 般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。 例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度 跟踪特性较好。 （2）（最大）超调时间 p t 系统阶跃响应达到最大值的时间，称为超调时间，记为 。最大值一般都发 生在阶跃响应的第一个峰值时间，所以又称为峰值时间。 p t （3.） 上升时间 rt 当系统的阶跃响应第一次达到稳态值的时间，称为上升时间，记为tr 。 （4.） 调节时间 st 当系统的阶跃响应衰减到给定的误差带内，并且以后不再超出给定的误差带 的时间，称为调节时间，记为ts ，即 c(t) − c(∞) ≤ ∆%c(∞) ， (5.9) s t ≥ t 控制系统的暂态过程理论上要到t → ∞ 才结束，但从工程角度，只要偏差小 于允许的值就算结束。所以，调节时间又称为过渡过程时间。∆ 是给定的误差带， 通常取 2 或者 5。当对系统的稳态要求不是很高时， ∆ 取 5，反之，取 2。 现对于系统的阶跃响应曲线是单调上升的情况，定义系统的动态性能指标， 如图 5.2（b）所示。显然，在这种情况下，没有超调量和超调时间这两个性能指 标。而且，因为只有当t → ∞ 时，系统的阶跃响应才达到稳态值，所以上升时间 也要作一些修正。事实上，在工程中，当阶跃响应如果已经很接近稳态值时，就 可以认为是达到了稳态值。因此，单调上升的单位阶跃响应达到稳态值的 90%的 时间即定义为上升时间 ， rt c(t ) = 90%c(∞) (5.10) r 调节时间仍然由(5.9)式定义。 在控制系统分析与设计中，除了上述性能指标外，还有许多其它指标，特别 是一些最优化指标。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 159

自动控制原理电子教案 52线性连续系统的动态性能分析 下面基于微分方程的求解,讨论连续系统的动态性能指标的计算。首先讨论 阶系统的动态性能指标,然后重点讨论典型二阶系统的动态性能指标,这对控 制系统的设计具有重要的意义。最后介绍三阶以上的高阶系统的动态性能的近似 分析方法 521一阶系统的动态性能 阶系统的微分方程和传递函数描述 t dco) +c(1)=Kr(t) (5.11) (5.12) 在零初始条件下,控制系统在单位阶跃输入信号的作用下的输出,称为系统 的单位阶跃响应。 一阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 C(s)=d(s) s s(TS+1) 则一阶系统的单位阶跃响应为 c()=L[C(s) K1=K-- (5.14) s(7s+1 T 系统输出的稳态值为c(∞)=K,一阶系统的单位 因为一阶系统的单位阶跃响应曲线是单调上升 阶跃响应曲线如图5.3所示 的,所以,可以用上升时间和调节时间作为动态性能 指标。下面求取一阶系统的动态性能指标 (1)上升时间t 由上升时间的定义(510),得 l53一阶系统单位阶跃响应 K(-eT)=90%K 解得 t.=Tln10=2.3 (5.15) (2)调节时间t 由调节时间的定义 (t)-c(o)s△%c(∞) 得 即 ≤△% 解得 ≥Tln (5.16) 3T△=5 从一阶系统的动态性能指标可以看出,为了提高一阶系统跟踪输入信号的快 速性,减少调节时间,应该减小系统的时间常数T 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 5.2 线性连续系统的动态性能分析 下面基于微分方程的求解，讨论连续系统的动态性能指标的计算。首先讨论 一阶系统的动态性能指标，然后重点讨论典型二阶系统的动态性能指标，这对控 制系统的设计具有重要的意义。最后介绍三阶以上的高阶系统的动态性能的近似 分析方法。 5.2.1 一阶系统的动态性能 一阶系统的微分方程和传递函数描述 ( ) ( ) ( ) c t Kr t dt dc t T + = (5.11) ( ) 1 ( ) ( ) + Φ = = Ts K R s C s s (5.12) 在零初始条件下，控制系统在单位阶跃输入信号的作用下的输出，称为系统 的单位阶跃响应。 一阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 ( 1) 1 ( ) ( ) + = Φ = s Ts K s C s s (5.13) 则一阶系统的单位阶跃响应为 ] (1 ) 1 1 1 ] [ ( 1) ( ) [ ( )] [ 1 1 1 T t K e T s s KL s Ts K c t L C s L − − − − = − + = − + = = (5.14) 系统输出的稳态值为 ，一阶系统的单位 阶跃响应曲线如图 5.3 所示。 c(∞) = K 图5.3 一阶系统单位阶跃响应 c(t) 0 t K 因为一阶系统的单位阶跃响应曲线是单调上升 的，所以，可以用上升时间和调节时间作为动态性能 指标。下面求取一阶系统的动态性能指标。 （1）上升时间 rt 由上升时间的定义（5.10），得 K e T K tr (1− ) = 90% − 解得 tr = T ln10 = 2.3T (5.15) （2）调节时间 st 由调节时间的定义 c(t ) − c(∞) ≤ ∆%c(∞) s 得 K e K Ke T K t T ts s (1− ) − = ≤ ∆% − − 即 ≤ ∆% − T ts e 解得 % 1 ln ∆ ts ≥ T (5.16) 取 ⎩ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 4 2 3 5 T T ts (5.17) 从一阶系统的动态性能指标可以看出，为了提高一阶系统跟踪输入信号的快 速性，减少调节时间，应该减小系统的时间常数T 。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 160

自动控制原理电子教案 522典型二阶系统的动态性能 典型二阶系统的数学模型 由微分方程(518或者传递函数5.19)所描述的系统称为典型二阶系统 2d2c() 24-,+c()=r(t) (5.18) a(s)=C(s) (5.19) R()T2s2+2/s+1s2+2ons+o2 其中,s为系统的阻尼比,ωn为无阻尼自然振荡频率。 2.典型二阶系统的单位阶跃响应 典型二阶系统的特征方程为 D(s)=5+2C0,5+O*=0 (5.20) 特征根为 152-lo (5.2la) (5.21b) 在零初始条件下,典型二阶系统的单位阶跃响应为 C(s)=(s)- (5.22) 系统的单位阶跃响应特征主要取决于特征根的分布。从式(521)可以看出,特征根 的分布主要取决于系统的阻尼比c。下面分几种情况讨论 (1)>1过阻尼状态 当>1时,特征根是两个不相等的实数,根平面图如图5.4(a)所 两个时间常数T1,T2定义为 (523a) (5.23b) 则典型二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 C(s) (T1s+1)(T2s+1)s 取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为 ()=1-5 (524) 下面考察过阻尼状态下的典型二阶系统单位阶跃响应的特征。因为 dc(o) 0,t>0 →∞ 浙江工业大学自动化研究所 161

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 5.2.2 典型二阶系统的动态性能 1. 典型二阶系统的数学模型 由微分方程(5.18)或者传递函数(5.19)所描述的系统称为典型二阶系统。 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 c t r t dt dc t T dt d c t T + ς + = (5.18) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n R s T s Ts s s C s s ςω ω ω ς + + = + + Φ = = (5.19) 其中，ς 为系统的阻尼比，ω n 为无阻尼自然振荡频率。 2. 典型二阶系统的单位阶跃响应 典型二阶系统的特征方程为 ( ) 2 0 2 2 D s = s + ςω n s +ω n = (5.20) 特征根为 n n s ςω ς 1ω 2 1 = − + − (5.21a) n n s ςω ς 1ω 2 2 = − − − (5.21b) 在零初始条件下，典型二阶系统的单位阶跃响应为 s s s s C s s n n n 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 ςω ω ω + + = Φ = (5.22) 系统的单位阶跃响应特征主要取决于特征根的分布。从式(5.21)可以看出，特征根 的分布主要取决于系统的阻尼比ς 。下面分几种情况讨论。 （1）ς > 1 过阻尼状态 当ς > 1时，特征根是两个不相等的实数，根平面图如图 5.4（a）所示。 两个时间常数T1 ,T2定义为 1 2 1 1 1 T s = −ςω n + ς − ω n = − (5.23a) 2 2 2 1 1 T s = −ςω n − ς − ω n = − (5.23b) 则典型二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 ( ) T s T s s T s T s s C s + ⋅ − − − + + ⋅ − + − = − ⋅ + + = ς ς ς ς ς ς 取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为 1 2 2 1 1 2 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 T t T t c t e e − − − − − + − + − = − ς ς ς ς ς ς （5.24） 下面考察过阻尼状态下的典型二阶系统单位阶跃响应的特征。因为 ( ) 0 2 1 d d ( ) 1 2 2 − > − = − − T t T t n e e t c t ς ω ， t > 0 c(∞) = 1， 0 d d ( ) 0 = t= t c t ， 0 d d ( ) = t→∞ t c t 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 161

自动控制原理电子教案 可见,c(1)在t=0时与横轴相切,随着时间r的增加单调上升,稳态值为1,如图 54(b)所示 (1) 图54过阻尼状态 (2)s=1:临界阻尼状态 这时,特征根为重实根S12=-Cn,根平面图如图55(a)所示。系统的单位阶 跃响应为 C(s)= 1=1mn1 stOn () =1-O, te -e d=1-(o, t+1)e-ed, t>0 (525) dc(n) 0,t>0 dc(t) dc(n) 0 → 可见,c()在t=0时与横轴相切,随着时间t的增加单调上升,稳态值为1,如图 559b)所示 (a) 图55临界阻尼状态 (3)0<<1:欠阻尼状态 这时,特征根是具有负实部的共轭复数: 51 根平面图如图56(a)所示。系统的单位阶跃响应为 (s+s@,)+so (s+con)2+( @n(5+co,)-+ 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 可见，c(t)在t = 0 时与横轴相切，随着时间t 的增加单调上升，稳态值为 1，如图 5.4（b）所示。 图5.4 过阻尼状态 0 c(t) 0 1s t (a) (b) 2 s [S ] （2）ς =1：临界阻尼状态 这时，特征根为重实根 n s1,2 = −ω ，根平面图如图 5.5（a）所示。系统的单位阶 跃响应为 n n n n n s s s s s C s ω ω ω ω ω + − + ⋅ = − + = 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 t n t t n n n n c t te e t e ω ω ω ω ω − − − ( ) =1− − =1− ( +1) ， t ≥ 0 （5.25） 0 d d ( ) 2 = > − t n n te t c t ω ω ，t >0 c(∞) = 1， 0 d d ( ) 0 = t= t c t ， 0 d d ( ) = t→∞ t c t 可见，c(t)在t = 0 时与横轴相切，随着时间t 的增加单调上升，稳态值为 1，如图 5.59b）所示。 图5.5 临界阻尼状态 0 c(t) 0 1,2 s t (a) (b) [S] （3）0 < ς < 1：欠阻尼状态 这时，特征根是具有负实部的共轭复数： 2 1 = −ςω + ω 1−ς n n s j 2 2 = −ςω − ω 1−ς n n s j 根平面图如图 5.6（a）所示。系统的单位阶跃响应为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) 1 1 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 1 ( ) ( ) (1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n s s s s s s s s s C s ςω ς ω ς ω ς ς ςω ς ω ςω ςω ς ω ςω ςω ςω ς ω ω + + − − − − + + − + = − + + − + + ⋅ = − + + − = 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 162

自动控制原理电子教案 c(=I-e"s0 cos(1-s2ont)-se-sod sin(i-s2o snV1-52mn1)+y1-52cos(y1-52an1) e"semd sin((1-sOnt+cos" s) esin(Oat+φ) (t≥0) (526) 其中,o=n表明系统暂态分量衰减的速度,称为阻尼系数:ou=on√-52为 有阻尼时的振荡频率,称为有阻尼振荡频率;ρ=cos-1s。参数σ、oa、g、s On与特征根的关系如图5.6(a)所示。 欠阻尼状态下典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图(56b)所示 X…-年 c() 图5.6欠阻尼状态 (4)s=0:无阻尼状态 这时,特征根为一对纯虚数s1=jons2=-jon,根平面图如图57(a)所示 系统的单位阶跃响应为 C(s) s(s-+ c()=1- coso1(t≥0) (527) 单位阶跃响应为等幅振荡,如图5.7(b)所示, c() 0 图5.7无阻尼状态 (5)<0:负阻尼状态 此时,系统的单位阶跃响应中的暂态分量的指数发散,系统不稳定,讨论动 性能指标是没有意义的 浙江工业大学自动化研究所 163

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 sin( 1 ) 1 ( ) 1 cos( 1 ) 2 2 2 c t e t e t n t n t n n ς ω ς ς ς ω ςω ςω − − = − − − − − sin( 1 cos ) 1 1 1 sin( 1 ) 1 cos( 1 ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ς ω ς ς ς ς ω ς ς ω ς ςω ςω − − − − + − = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + − − − = − e t e t t n t n n t n n sin( ) ( 0) 1 1 1 2 + ≥ − = − − e t t d t ω ϕ ς σ （5.26） 其中， n σ = ςω 表明系统暂态分量衰减的速度，称为阻尼系数； 2 ω =ω 1−ς d n 为 有阻尼时的振荡频率，称为有阻尼振荡频率；ϕ = cos −1 ς 。参数σ 、ω d 、ϕ 、ς 、 ω n 与特征根的关系如图 5.6（a）所示。 欠阻尼状态下典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图（5.6b）所示。 图5.6 欠阻尼状态 0 c(t) 0 1s t (a) (b) [S ] 2 s ω n 1 ω d ϕ σ （4）ς = 0 ：无阻尼状态 这时，特征根为一对纯虚数 n s1 = jω n s2 = − jω ，根平面图如图 5.7（a）所示。 系统的单位阶跃响应为 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 n n n s s s s s C s ω ω ω + = − + = c t t ω n ( ) = 1− cos (t ≥ 0) （5.27） 单位阶跃响应为等幅振荡，如图 5.7（b）所示。 图5.7 无阻尼状态 0 c(t) 0 1s t (a) (b) [S] 2s 1 2 （5）ς < 0 ：负阻尼状态 此时，系统的单位阶跃响应中的暂态分量的指数发散，系统不稳定，讨论动 态性能指标是没有意义的。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 163

自动控制原理电子教案 3.欠阻尼典型二阶系统暂态性能分析 下面讨论欠阻尼状态下的典型二阶系统的暂态性能指标 由式(526),单位阶跃响应为 c(t)=1 (1)上升时间t 对于欠阻尼状态,上升时间是第一次达到稳态值的时间。下面先求c(t1)=1的 时间t c(4)=1-2sno+9)=1 d1+g)=0 因为,em≠0,所以,应有sn(o41+p)=0,则 @dt +p 即1的解为 …。因为上升时间tr>0,且是第一次到达c(∞)的时 间,所以 Ot,+=丌 则上升时间为 . =- (2)超调时间t P) @d cos(o,t (529) 由超调量定义,tp是c()第一次达到最大值的时间,因为c()是连续函数,所以 dco 首先求使c(=0的点tn。由式(529)得 osin(odto +o)=@d cos(@dto+o) tgo 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 3．欠阻尼典型二阶系统暂态性能分析 下面讨论欠阻尼状态下的典型二阶系统的暂态性能指标。 由式（5.26），单位阶跃响应为： sin( ) 1 ( ) 1 2 ω ϕ ς σ + − = − − t e c t d t （1）上升时间 rt 对于欠阻尼状态，上升时间是第一次达到稳态值的时间。下面先求 的 时间 ： c(t1 ) = 1 1t sin( ) 1 1 ( ) 1 1 2 1 1 + = − = − − ω ϕ ς σ t e c t d t 则 sin( 1 ) 0 1 + = − ω ϕ σ e t d t 因为，e−σt 1 ≠ 0 ，所以，应有sin(ω d t1 +ϕ) = 0 ，则 ω d t1 +ϕ = 0,π ,2π ,LL 即t1 的解为 , ,LL d ω d π ϕ ω ϕ − − 。因为上升时间tr > 0 ，且是第一次到达c(∞) 的时 间，所以 ω d tr +ϕ = π 则上升时间为 d rt ω π − ϕ = （5.28） （2）超调时间 p t cos( ) 1 sin( ) 1 d d ( ) 2 2 ω ω ϕ ξ ω ϕ ξ σ σ σ + − + − − = − − t e t e t c t d d t d t （5.29） 由超调量定义， 是 第一次达到最大值的时间，因为 是连续函数，所以 有 p t c(t) c(t) 0 d d ( ) = = p t t t c t 首先求使 0 d d ( ) = t c t 的点t 0 。由式（5.29）得 sin( ) cos( ) σ ω d t0 + ϕ = ω d ω d t0 + ϕ ϕ ς ς ςω ω ς σ ω ω ϕ tg 1 1 tg( ) 2 2 0 = − = − + = = n d n d t 则 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 164

自动控制原理电子教案 因为tn>0且是c(1)第一次达到峰值的时间,所以应取 则 (530) (3)超调量on% 1+ 由于sing c2,所以 C=1+e 则由超调量的定义,得 max 100%=e 100% (531) c(∞) (4)调节时间ts 由调节时间的定义,有 (4)-x)=N sn(odt+g)≤△% (532) 上式是一个超越方程,要解出t,可用数值解法,但用数值解法得不到r,与系统参 数之间的关系,难于指导系统设计。采用某些近似,可以得到t的近似计算公式。 显然,为了确保系统的实际性能符合要求,应使由计算公式得到的调节时间大于 实际调节时间。由于 c(t,)-c(oo=e,r=lsi n(odt+p)≤ea,1 则ts可以取为 浙江工业大学自动化研究所 165

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 ω d t0 = 0,π,2π ,3π,LL 因为t p > 0 且是c(t)第一次达到峰值的时间，所以应取 ω d t p = π 则 d p t ω π = （5.30） （3）超调量σ p % c(∞) = 1 ϕ ς ϕ ω π ω ς ω ϕ ς ς ςπ ς ω π ςω σ sin 1 1 1 sin( ) 1 1 sin( ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 2 max − − − − − − = + + − = − + − = = − e e t e c c t d d d p t p n n p 由于 2 2 sinϕ = 1− cos ϕ = 1− ς ，所以 2 1 max 1 ς ςπ − − c = + e 则由超调量的定义，得 100% 100% ( ) ( ) % 2 max 1 ⋅ = ⋅ ∞ − ∞ = − − ς ςπ σ e c c c p （5.31） （4）调节时间 st 由调节时间的定义，有 sin( ) % 1 ( ) ( ) 2 + ≤ ∆ − − ∞ = − ω ϕ ς σ d s t s t e c t c s （5.32） 上式是一个超越方程，要解出 可用数值解法，但用数值解法得不到 与系统参 数之间的关系，难于指导系统设计。采用某些近似，可以得到 的近似计算公式。 显然，为了确保系统的实际性能符合要求，应使由计算公式得到的调节时间大于 实际调节时间。由于 st st st 2 2 1 1 sin( ) 1 1 ( ) ( ) ς ω ϕ ς σ σ − + ≤ − − ∞ = − s − st d s t s c t c e t e 则ts 可以取为 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 165

自动控制原理电子教案 则 =-1y-=△%)=-1y-2△ (533) In (5.34a) 当Δ=5时 当0<5<0.9时,可以进一步近似为 (535a) 当Δ=5时 (5.35b) 其中,T=—定义为欠阻尼二阶系统的时间常数 欠阻尼典型二阶系统的暂态性能推标总结如下: 100% 对于临界阻尼、过阻尼典型二阶系统的暂态指标也可以由指标定义计算,但 要用数值解法求解超越方程。一般将系统设计成欠阻尼状态,以提高系统响应的 速性,所以,上述公式很重要,要求熟记 浙江工业大学自动化研究所 166

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 % ( ) % 1 2 ≤ ∆ ⋅ ∞ = ∆ − − c e st ς σ 则 n st ςω ς ς σ ln( 1 %) ln( 1 %) 1 2 2 − ∆ = − − ∆ = − （5.33） 当 ∆ = 2 时 2 1 50 ln 1 ς ςω − = n st （5.34a） 当 ∆ = 5 时 2 1 20 ln 1 ς ςω − = n st （5.34b） 当0 < ς < 0.9 时，可以进一步近似为 当 ∆ = 2 时 t T n s 4 4 = = ςω （5.35a） 当 ∆ = 5 时 t T n s 3 3 = = ςω （5.35b） 其中， n T ςω 1 = 定义为欠阻尼二阶系统的时间常数。 欠阻尼典型二阶系统的暂态性能指标总结如下： % 100% 2 1 = ⋅ − − ς ςπ σ e p d pt ω π = 2 ω =ω 1−ς d n d rt ω π −ϕ = ϕ ς 1 cos − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 5 3 2 4 n n st ςω ςω 对于临界阻尼、过阻尼典型二阶系统的暂态指标也可以由指标定义计算，但 要用数值解法求解超越方程。一般将系统设计成欠阻尼状态，以提高系统响应的 快速性，所以，上述公式很重要，要求熟记。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 166