第2章连续控制系统的数学模型 2.1控制系统数学模型的概念 控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。所谓数学模型就是 根据系统运动过程的物理、化学等规律,所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入 关系的数学表达式。 2.1.1数学模型的类型 数学模型是对系统运动规律的定量描述,表现为各种形式的数学表达式,从而具有不同 的类型。下面介绍几种主要类型。 1.静态模型与动态模型 根据数学模型的功能不同,数学模型具有不同的类型。描述系统静态(工作状态不变或 慢变过程)特性的模型,称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的,数学 表达式中的变量不依赖于时间,是输入输出之间的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模 型,称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间,一般是微分方程等形式。静态 数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。 2.输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统输出与输λ之间关系的数学模型称为输λ输岀描述模型,如微分方程、传递函 数、频率特性等数学模型。而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关 系,所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系,而且描述 了系统内部信息传递关系,所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性 3.连续时间模型与高散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号,数学模型分为连续时间模型和 离散时间模型,简称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 表达式等。离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。 4.参数棋型与非参数樸型 从描述方式上看,数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达 式表示的数学模型,如传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理 系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型,如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线 等 数学模型虽然有不同的表示形式,但它们之间可以互相转换,可以由一种形式的模型转 换为另一种形式的模型。例如,一个集中参数的系统,可以用参数模型表示,也可以用非参 数模型表示;可以用输入输出模型表示,也可以用状态空间模型表示:可以用连续时间模型 表示,也可以用离散时间模型表示 2.1.2建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法。一类是机理分析建模方法 称为分析法,另一类是实验建模方法,通常称为系统辨识 机理分析建模方法是通过对系统内在机理的分析,运用各种物理、化学等定律,推导 出描述系统的数学关系式,通常称为机理模型。采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结 构,所以,常称为“白箱”建模方法。机理建模得到的模型展示了系统的内在结构与联系, 较好地描述了系统特性。但是,机理建模方法具有局限性,特别是当系统内部过程变化机理 还不很清楚时,很难采用机理建模方法。而且,当系统结构比较复杂时,所得到的机理模型
第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 控制系统数学模型的概念 控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。所谓数学模型就是 根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入 关系的数学表达式。 2.1.1 数学模型的类型 数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同 的类型。下面介绍几种主要类型。 1. 静态模型与动态模型 根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。描述系统静态（工作状态不变或 慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学 表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模 型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。静态 数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。 2. 输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函 数、频率特性等数学模型。而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关 系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述 了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。 3. 连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和 离散时间模型，简称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 表达式等。离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。 4. 参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达 式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理 系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线 等。 数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转 换为另一种形式的模型。例如，一个集中参数的系统，可以用参数模型表示，也可以用非参 数模型表示；可以用输入输出模型表示，也可以用状态空间模型表示；可以用连续时间模型 表示，也可以用离散时间模型表示。 2.1.2 建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法。一类是机理分析建模方法， 称为分析法，另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。 机理分析建模方法是通过对系统内在机理的分析，运用各种物理、化学等定律，推导 出描述系统的数学关系式，通常称为机理模型。采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结 构，所以，常称为“白箱”建模方法。机理建模得到的模型展示了系统的内在结构与联系， 较好地描述了系统特性。但是，机理建模方法具有局限性，特别是当系统内部过程变化机理 还不很清楚时，很难采用机理建模方法。而且，当系统结构比较复杂时，所得到的机理模型
往往比较复杂,难以满足实时控制的要求。另一方面,机理建模总是基于许多简化和假设之 上的,所以,机理模型与实际系统之间存在建模误差 系统辨识是利用系统输λ、输出的实验数据或者正常运行数据,构造数学模型的实验 建模方法。因为系统建模方法只依赖于系统的输入输出关系,即使对系统内部机理不了解, 也可以建立模型,所以常称为“黑箱”建模方法。由于系统辨识是基于建模对象的实验数据 或者正常运行数据,所以,建模对象必须已经存在,并能够进行实验。而且,辨识得到的模 型只反映系统输入输出的特性,不能反映系统的内在信息,难以描述系统的本质 最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来。事实上,人们在 建模时,对系统不是一点都不了解,只是不能准确地描述系统的定量关系,但了解系统的 些特性,例如系统的类型、阶次等,因此,系统象一只“灰箱”。实用的建模方法是尽量利 用人们对物理系统的认识,由机理分析提出模型结构,然后用观测数据估计出模型参数 这种方法常称为“灰箱”建模方法,实践证明这种建模方法是非常有效的。 本章介绍机理建模方法,着重介绍几种常用的数学模型。系统辨识建模方法将在第10 章介绍。 2.2状态空间模型 状态空间模型是控制系统的内部模型,描述了系统内部状态、系统输出与系统输入之间 的关系,深入地揭示了系统的动态特性,是现代控制理论分析、设计系统的基础。 2.2.1状态与状态空间的概念 2∠ 为了说明状态的概念,首先考察一个熟悉的例子。 如图2.1所示弹簧-阻尼器系统,根据物理学定律可知, K 在外作用力已知的情况下,如果知道了物体在某一时刻 的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。如果仅 知道物体的位移或速度,就不能确定系统未来的动态响 应。另一方面,物体的位移、速度及加速度这三个量显 然是不独立的,即可以根据其中的两个量确定另外的一 个量,因此这个量对于描述系统的状态是多余的。因此, 可以选择物体在某一时刻的位移及速度作为弹簧-阻尼 器系统在某一时刻的状态 从上面这个例子可以看出,状态对于描述系统特 性应该是充分且必要的。因此,状态可以定义如下 图21弹簧阻尼器系统 状态是系统中一些信息的集合,在已知未来外部 输入的情况下,这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的 上述定义中的必要性意味着这些信息中缺一就不能完全描述系统,充分性意味着再加 入一些信息则多余了。 系统在各个时刻的状态是变化的,能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的 组变量称为状态变量。例如,弹簧阻尼器系统的物体的位移与速度是一组状态变量 把描述系统状态的n个状态变量x(),(i=1,2,…,n)作为一个向量的n个分量,这个向量 称为状态向量,记为x(1),即 x()=[x1(t)x2(1) n(oI 例如,弹簧-阻尼器系统的状态向量为 其中,y(1)为物体的位移,j(1)为物体的速度
往往比较复杂，难以满足实时控制的要求。另一方面，机理建模总是基于许多简化和假设之 上的，所以，机理模型与实际系统之间存在建模误差。 系统辨识是利用系统输入、输出的实验数据或者正常运行数据，构造数学模型的实验 建模方法。因为系统建模方法只依赖于系统的输入输出关系，即使对系统内部机理不了解， 也可以建立模型，所以常称为“黑箱”建模方法。由于系统辨识是基于建模对象的实验数据 或者正常运行数据，所以，建模对象必须已经存在，并能够进行实验。而且，辨识得到的模 型只反映系统输入输出的特性，不能反映系统的内在信息，难以描述系统的本质。 最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来。事实上，人们在 建模时，对系统不是一点都不了解，只是不能准确地描述系统的定量关系，但了解系统的一 些特性，例如系统的类型、阶次等，因此，系统象一只“灰箱”。实用的建模方法是尽量利 用人们对物理系统的认识，由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数， 这种方法常称为“灰箱”建模方法，实践证明这种建模方法是非常有效的。 本章介绍机理建模方法，着重介绍几种常用的数学模型。系统辨识建模方法将在第10 章介绍。 2.2 状态空间模型 状态空间模型是控制系统的内部模型，描述了系统内部状态、系统输出与系统输入之间 的关系，深入地揭示了系统的动态特性，是现代控制理论分析、设计系统的基础。 2.2.1 状态与状态空间的概念 K Y(t) F(t) f M 图2.1 弹簧-阻尼器系统 为了说明状态的概念，首先考察一个熟悉的例子。 如图 2.1 所示弹簧-阻尼器系统，根据物理学定律可知， 在外作用力已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻 的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。如果仅 知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响 应。另一方面，物体的位移、速度及加速度这三个量显 然是不独立的，即可以根据其中的两个量确定另外的一 个量，因此这个量对于描述系统的状态是多余的。因此， 可以选择物体在某一时刻的位移及速度作为弹簧-阻尼 器系统在某一时刻的状态。 从上面这个例子可以看出，状态对于描述系统特 性应该是充分且必要的。因此，状态可以定义如下： 状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部 输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 上述定义中的必要性意味着这些信息中缺一就不能完全描述系统,充分性意味着再加 入一些信息则多余了。 系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的 一组变量称为状态变量。例如，弹簧-阻尼器系统的物体的位移与速度是一组状态变量。 把描述系统状态的n 个状态变量 x (t),(i 1,2, ,n) i = L 作为一个向量的 个分量，这个向量 称为状态向量，记为 ，即 n x(t) (2.1) T n x(t) [x (t) x (t) x (t)] = 1 2 L 例如，弹簧-阻尼器系统的状态向量为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ( ) ( ) ( ) y t y t x t & 其中， y(t) 为物体的位移， y&(t) 为物体的速度
以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。如果n=2,则状态空间 是一个平面,通常称为相平面。如果n=3,则是一般的三维空间。三维以上的空间就失去 了一般空间的意义。 由于把系统的状态看成是一个向量,状态向量可用状态空间中的一个点来表示,所以 能够在状态空间中用几何术语来解释状态变量分析问题,即采用“状态空间分析”方法。 2.2.2系统的状态空间描述 状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程 描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程 系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态空间表达式,但常常将状态空间表达式简 称为状态方程。 状态方程是系统的数学模型,是状态空间分析法的基础。下面首先讨论如何根据系统的 物理机理建立系统的状态方程。 建立状态方程的第一步是选择状态变量。选取的状态变量一定要满足状态的定义,首先 检查是否相互独立,即不能由其它变量导出某一变量:其次检查是否充分,即是否完全决 定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数,因此,当系统具有n 个独立储能元件,则可以选择n个独立的系统变量作为状态变量。 选择状态变量一般有三条途径 (1)选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 (2)选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量 (3)选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 下面举例说明 例2.1建立如图2.1所示弹簧阻尼器系统的状态空间表达式。 解选取状态变量为x1=y(t),x2=j(n)。 因为物体受到的力为外力F()、弹簧拉力F(0)和阻尼器阻力F/()的合力,所以根据牛 顿定律得 设弹簧和阻尼器是线性的,根据虎克定律等物理定律得 F(=ky(t) b()= 其中,M为物体的质量:K为弹簧的弹性模量:f为阻尼器的阻尼系数。将上式整理成 上面这个描述弹簧-阻尼器系统的状态变量x(,x2(1)和输入变量F(t)之间关系的一阶微分 方程组就是系统的状态方程。系统的输出方程为 将上面的状态空间表达式写成矩阵形式 M
以 个状态变量作为坐标轴所组成的 维空间称为状态空间。如果 ，则状态空间 是一个平面，通常称为相平面。如果 n n n = 2 n = 3，则是一般的三维空间。三维以上的空间就失去 了一般空间的意义。 由于把系统的状态看成是一个向量，状态向量可用状态空间中的一个点来表示，所以 能够在状态空间中用几何术语来解释状态变量分析问题，即采用“状态空间分析”方法。 2.2.2 系统的状态空间描述 1. 状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。 描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。 系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态空间表达式，但常常将状态空间表达式简 称为状态方程。 状态方程是系统的数学模型，是状态空间分析法的基础。下面首先讨论如何根据系统的 物理机理建立系统的状态方程。 建立状态方程的第一步是选择状态变量。选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先 检查是否相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分，即是否完全决 定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数，因此，当系统具有 n 个独立储能元件，则可以选择 n 个独立的系统变量作为状态变量。 选择状态变量一般有三条途径： （1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量； （2）选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量； （3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 下面举例说明。 例 2.1 建立如图 2.1 所示弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式。 解 选取状态变量为 ( ), ( ) 1 2 x = y t x = y& t 。 因为物体受到的力为外力 、弹簧拉力 和阻尼器阻力 的合力，所以根据牛 顿定律得 F(t) F (t) k F (t) f F Fk Ff dt d y M = − − 2 2 设弹簧和阻尼器是线性的，根据虎克定律等物理定律得 dt dy t F t f F t Ky t f k ( ) ( ) ( ) ( ) = = 其中， M 为物体的质量； K 为弹簧的弹性模量； f 为阻尼器的阻尼系数。将上式整理成 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = F M x M f x M K x x x 1 2 1 2 1 2 & & 上面这个描述弹簧-阻尼器系统的状态变量 和输入变量 之间关系的一阶微分 方程组就是系统的状态方程。系统的输出方程为 ( ), ( ) 1 2 x t x t F(t) y = x1 将上面的状态空间表达式写成矩阵形式 F M x x M f M K x x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 1 0 2 1 2 1 & & (2.2a)
(2.2b) 或 其中,x=31:4=K:B=|1:c=q M 例2.2建立如图22所示RC网络的状态空间表达式。 解下面对同一系统选择不同的状态变量,从而得到不同的状态空间表达式 (a)选两个独立的储能元件电容上的电荷q()和电感中的电流i()为状态变量,即 「血 iR+L+=q=u dt C 整理得系统的状态方程为 图22RLC网络 g-I+-Il dt CLL R 写成矩阵形式 01 R (2.3a) 输出方程为 ()选状态变量为电感中的电流x=,电容上的电压x2==j,则 , xr+lx+x =u 或 R I
[ ] ⎥ (2.2b) ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 0 x x y 或 x& = Ax + BF y = Cx 其中, ⎥ ； ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 x x x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = M f M A K 0 1 ； ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M B 1 0 ；C = [1 0]。 例 2.2 建立如图 2.2 所示 RLC 网络的状态空间表达式。 解 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同的状态空间表达式。 (a)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的电流 为状态变量，即 ，则 q(t) i(t) x = q x = i 1 2 , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = q u dt C di iR L i dt dq 1 L R C 图2.2 RLC网络 u(t) y(t) 整理得系统的状态方程为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = u L i L R q dt LC di i dt dq 1 1 或 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = u L x L R x LC x x x 1 1 2 1 2 1 2 & & 写成矩阵形式 u L x x L R LC x x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 1 0 1 2 1 2 1 & & (2.3a) 输出方程为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = = 2 1 1 0 1 x x C C x C q y (2.3b) (b)选状态变量为电感中的电流 x = i 1 ，电容上的电压 ∫ = = i t dt C C q x ( ) 1 2 ，则 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = = x R Lx x u x C x 1 1 2 2 1 1 & & 或 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − − + 2 1 1 1 2 1 1 1 x C x u L x L x L R x & &
状态空间表达式为 L H =o (c)选状态变量为x=L+Rd,x2=dt 注意,这里的状态变量虽然符合状态变量的条件,但是没有明显的物理意义,也是不可 测的量 对状态变量x1求导得 X1 Ri 而系统的方程为 所以 X? +ll 对状态变量x2求导得 LIIJII-L 所以,系统的状态方程为 1Cx x,tl 12 系统的输出方程为 则状态空间表达式为 LL (2.5b) 从这个例题可以看出 (1)状态变量的选择不唯一,因此状态方程也不唯一(但在相似意义下是唯一的) (2)状态变量的个数一定;
状态空间表达式为 L u x x C L L R x x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 0 1 1 2 1 2 1 & & (2.4a) [ ] ⎥ (2.4b) ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = 2 1 2 0 1 x x y x (c) 选状态变量为 x1 = Li + R∫ idt ， ∫ x = idt 2 注意，这里的状态变量虽然符合状态变量的条件，但是没有明显的物理意义，也是不可 测的量。 对状态变量 x1 求导得 Ri dt di x&1 = L + 而系统的方程为 idt u C Ri dt di L + + = ∫ 1 所以 x u C idt u C x = − + = − + 1 ∫ 2 1 1 & 对状态变量 x2 求导得 2 1 1 2 1 1 x L R x L idt L R x L x = i = − = − ∫ & 所以，系统的状态方程为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − + 2 1 2 1 2 1 1 x L R x L x x u C x & & 系统的输出方程为 2 1 1 x C idt C y = = ∫ 则状态空间表达式为 u x x L R L C x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 1 1 0 2 1 2 1 & & (2.5a) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = = ∫ 2 1 2 1 0 1 1 x x C x C idt C y (2.5b) 从这个例题可以看出： （1）状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）； （2）状态变量的个数一定；
(3)状态变量可以是有明显物理意义的量,也可以是没有明显物理意义的量。状态变 量可以是可测的量,也可以是不可测的量 (例2.3)他激直流电动机速度控制系统(忽略负载力矩)如图2.3所示。系统输入 为u/,输出为电动机的角速度 解选取状态变量:因为系统中独立贮能元件有3个,即激磁线圈电感,电枢线圈电感 和电机转动惯量,所以选择状态变量为电动机的角速度x1=;电枢电流x2=I;激磁回 路电流x3=Ir。根据电机理论,有下列关系 do Ex+L一+IR Eg Eg=kgs O “= o(n) 图23直流电动机速度控制系统 整理可得系统的状态方程为 do Cu 0-I+8 或 C.R K x x1-L2+L 或者表示为 J C.R K L 其中,x=[x1x2x3]。若取电机角速度为输出量,则输出方程为 (2.6b) 若取两个输出量为y1=O和y2=,则输出方程为
（3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变 量可以是可测的量，也可以是不可测的量。 （例 2.3） 他激直流电动机速度控制系统（忽略负载力矩）如图 2.3 所示。系统输入 为u f ，输出为电动机的角速度ω 。 解 选取状态变量：因为系统中独立贮能元件有 3 个，即激磁线圈电感，电枢线圈电感 和电机转动惯量，所以选择状态变量为电动机的角速度 x1 = ω ；电枢电流 ；激磁回 路电流 。根据电机理论，有下列关系 x = I 2 f x = I 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = + + = = dt dI u I R L E C E K I IR E dt dI E L C I dt d J f f f f f M e g g f M g M ω ω R L M 图2.3 直流电动机速度控制系统 u f f I ω(t) i u(t) 整理可得系统的状态方程为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − − + = f f f f f f f e g M u L I L R dt dI I L K I L R L C dt dI I J C dt d 1 ω ω 或 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − − + = f f f f e g M u L x L R x x L K x L R x L C x x J C x 1 3 3 2 1 2 3 1 2 & & & 或者表示为 f f f f e g M u L x L R L K L R L C J C x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − − 1 0 0 0 0 0 0 & (2.6a) 其中， [ 。若取电机角速度为输出量，则输出方程为 T x x x x = 1 2 3 ] y x [1 0 0]x =ω = 1 = (2.6b) 若取两个输出量为 y1 = ω 和 y2 = I ，则输出方程为
010 从上面的几个典型物理系统的数学模型可以看出,很多系统虽然具有不同的物理特性 但却具有相同形式的数学模型。例如,例2.1所示弹簧阻尼器系统和例2.2所示RLC网络, 都可以用2个1阶线性常微分方程描述。 2.2.3线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式 1.单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统,状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系, 输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此,单输入单输出(SISO)n阶线性系 统状态空间表达式的一般形式为 x,=aux+anx?+.+alnxn+b,l x2=a2151+a22x2++a2nxn+b2u (2.7a) xn=anx1+an2x2+……+amxn+bnl y=Cx+C2x2+.+C,rn+du (2.7b) 写成矩阵形式 a2n. b2 (2.8a) +du (2.8b) 或表示为 x=Ax+ Bu y=Cx+du (2.9b) 其中,x=[x1x2…xnJ,A={an}mw,B=b1b2…bn,C=k1c2…cn],d 为常数,称为直接传递。 2.多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有r个输入、m个输出的n阶多输入多输出(MIMO)线性系统的状态方程为 x1=a1 x2=a21x1+a22x2+…+a2nxn+b211+b122+…+b2lr (2.10a) amman+bnu+6m2u2+.+burl 输出方程为
(2.6c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 x x x y y 从上面的几个典型物理系统的数学模型可以看出，很多系统虽然具有不同的物理特性， 但却具有相同形式的数学模型。例如，例 2.1 所示弹簧阻尼器系统和例 2.2 所示 RLC 网络， 都可以用 2 个 1 阶线性常微分方程描述。 2.2.3 线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式。 1. 单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系， 输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输出（SISO）n 阶线性系 统状态空间表达式的一般形式为 (2.7a) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + = + + + + = + + + + x a x a x a x b u x a x a x a x b u x a x a x a x b u n n n nn n n n n n n & L M & L & L 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 2 1 11 1 12 2 1 1 y = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn + du (2.7b) 写成矩阵形式 u (2.8a) b b b x a a a a a a a a a x n n nn n n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M L M L L & 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 y = [c1 c2 L cn ]x + du (2.8b) 或表示为 x& = Ax + Bu (2.9a) y = Cx + du (2.9b) 其中，x = [ ] x1 x2 L xn T ，A = {aij }n×n ， [ ] T B = b1 b2 L bn ， [ ] n C c c L c = 1 2 ，d 为常数，称为直接传递。 2. 多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有 r 个输入、 m 个输出的 n 阶多输入多输出（MIMO）线性系统的状态方程为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + n n n nn n n n nr r n n r r n n r r x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u & L L M & L L & L L 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 12 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 (2.10a) 输出方程为
y1=c1nx1+c12x2+…+C1nxn+d1l1+d12l2+…+d1 y2=C21x1+c22x2+…+c2mxn+d211+d222+…+d2rlr 写成矩阵形式为 (2.11a) du dI (2.11b) 或 其中,x=[x1x2…xn为nx1维状态向量:u=u2…u为rxl维控制向量 ym为m×维输出向量:A为nxn维系统矩阵,表示系统内部各状态变量 之间的关系:B为n×r维输入矩阵,表示输入对每个状态变量的作用情况:c为m×n维输 出矩阵,表示输出与状态变量的组成关系;D为mxr维前馈矩阵,表示输入对输出的直接 传递关系。若不考虑直接传输,则一般表达为 若系统是线性定常系统,则A,B,C,D均为常数矩阵。若系统是时变系统,则A,BC,D的 元素有些或全部是时间的函数。 多输入多输出系统可以用如图所示矩阵方框图2.4表示,其中积分方框由n个积分器组 图24线性系统的一般结构 224状态方程的线性变换
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + m m m mn n m m mr r n n r r n n r r y c x c x c x d u d u d u y c x c x c x d u d u d u y c x c x c x d u d u d u L L M L L L L 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 (2.10b) 写成矩阵形式为 u b b b b b b b b b x a a a a a a a a a x n n nr r r n n nn n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M L L L M L L & 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 (2.11a) u d d d d d d d d d x c c c c c c c c c y m m mr r r m m mn n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M L L L M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 (2.11b) 或 x& = Ax + Bu (2.12a) y = Cx + Du (2.12b) 其中， x = [x1 x2 L xn ] T 为 n×1维状态向量； [ ] T u = u1 u2 L ur 为 r ×1维控制向量； y = [y1 y2 L ym ] T 为 m×1维输出向量；A为 n× n 维系统矩阵，表示系统内部各状态变量 之间的关系； B 为 n × r 维输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 为 维输 出矩阵，表示输出与状态变量的组成关系； 为 m× n D m × r 维前馈矩阵，表示输入对输出的直接 传递关系。若不考虑直接传输，则一般表达为 (2.13) ⎩ ⎨ ⎧ = = + y Cx x& Ax Bu 若系统是线性定常系统，则 均为常数矩阵。若系统是时变系统，则 的 元素有些或全部是时间的函数。 A, B,C, D A, B,C, D 多输入多输出系统可以用如图所示矩阵方框图 2.4 表示，其中积分方框由 个积分器组 成。 n A B y ∫ C u x& D x 图2.4 线性系统的一般结构 2.2.4 状态方程的线性变换
从前面的讨论可以看出,状态变量的选择是不唯一的,因此状态方程也不唯一,但这 些状态方程都描述了同一个系统,因此这些状态方程本质上必然是相同的。事实上,它们 之间都可以通过线性变换得到,因此状态方程在相似意义下是唯一的。 下面讨论状态方程的线性变换。这个论题的意义不仅在于说明状态方程在相似意义下 是唯一的,更重要的是使很多系统的分析与设计得以简化,在后面章节中将要予以介绍。 状态方程的线性变换 设状态变量取为x时,线性连续时变系统或定常系统的状态空间表达式为 x(D)=Ax(t)+B(1) (2.14a) (1)=Cx(t) (2.14b) 取线性变换 x()=Px(1) 其中,P为常量矩阵。由于式(2.15)中x与x之间是线性关系,所以称为线性变换。由状 态的定义可知,虽然状态变量的选取不同,但状态变量的个数都是n,因此,P应该是非奇 异阵,即存在P-,使 (1)=P-x(t) 上述变换称为非奇异线性变换或等价变换。通过非奇异线性变换,系统的状态空间表达式变 换为 (1)=Ax(1)+Bl(t) (2.17a) 下面推导ABC与A,B,C之间的关系。将式(215)代入(2.14)得 CPx 由于存在P-1,所以有 JI=P-lAPT+P-lBu (2.18) 将式(2.18)与(2.17)比较,得 A- P-lAP B=P-lb C=CP (2.19) A= PAP B= PB C=CP (2.20) 由式(2.19)或(220)可对状态空间表达式进行非奇异线性变换。下面考察经非奇异 线性变换后,矩阵A与A的特征值的变化情况 I Al-A2-P APAP P-P API =1P-IAP-P-APHP-(-A)PI
从前面的讨论可以看出，状态变量的选择是不唯一的，因此状态方程也不唯一，但这 些状态方程都描述了同一个系统，因此这些状态方程本质上必然是相同的。事实上，它们 之间都可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。 下面讨论状态方程的线性变换。这个论题的意义不仅在于说明状态方程在相似意义下 是唯一的，更重要的是使很多系统的分析与设计得以简化，在后面章节中将要予以介绍。 1．状态方程的线性变换 设状态变量取为 x 时，线性连续时变系统或定常系统的状态空间表达式为 x&(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.14a) y(t) = Cx(t) (2.14b) 取线性变换 x(t) = Px(t) (2.15) 其中，P 为常量矩阵。由于式（2.15）中 x 与 x 之间是线性关系，所以称为线性变换。由状 态的定义可知，虽然状态变量的选取不同，但状态变量的个数都是 ，因此，P 应该是非奇 异阵，即存在 n −1 P ，使 ( ) ( ) 1 x t P x t − = (2.16) 上述变换称为非奇异线性变换或等价变换。通过非奇异线性变换，系统的状态空间表达式变 换为 x(t) = Ax(t) + Bu(t) & (2.17a) y = Cx (2.17b) 下面推导 A,B,C 与 A, B,C 之间的关系。将式（2.15）代入（2.14）得 ⎩ ⎨ ⎧ = = + y CPx Px APx Bu & 由于存在 −1 P ，所以有 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + − − y CPx x P APx P Bu & 1 1 （2.18） 将式（2.18）与（2.17）比较，得 A = P AP B = P B C = CP −1 −1 （2.19） 或 −1 −1 A = PAP B = PB C = CP （2.20） 由式（2.19）或（2.20）可对状态空间表达式进行非奇异线性变换。下面考察经非奇异 线性变换后，矩阵 A 与 A 的特征值的变化情况。 | | | | | | 1 1 1 I A I P AP P P P AP − − − λ − = λ − = λ − =| | | ( ) | 1 1 1 P IP − P AP = P I − A P − − − λ λ
=P‖M-APHP‖P‖4-4 =PP‖a-AHa-A 可见,A和A具有相同的特征多项式,因此具有相同的特征值。因此,经非奇异线性变换 后,虽然状态变量变了,状态方程的参数也变了,但状态方程的特征值不变,所以,一般 称特征值是系统的不变量 例24已知系统的状态方程为 取线性变换为 求变换后的系统的状态方程。 32.50.5 解: 11.50.5 由式(219)得 3250.50101111 A=P-AP=-3-4-100 -1-2-3 11.50.5-6-11-6149 3-4-1‖149 0-20 11.505-1-8-2700-3 3250.5T01「0.5 B=PB=-3-4-10 11.50.51|0.5 所以,变换后的状态方程为 在例2.4中,通过线性变换后的状态方程的系数矩阵A为对角矩阵,使状态变量之间没 有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求 取使矩阵A变换为对角阵的线性变换矩阵P。事实上,这些内容在《线性代数》中已经作 了介绍
| || | | | | || || | | || || | 1 1 1 P P I A I A P I A P P P I A = − = − = − = − − − − λ λ λ λ 可见， A 和 A 具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。因此，经非奇异线性变换 后，虽然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但状态方程的特征值不变，所以，一般 称特征值是系统的不变量。 例 2.4 已知系统的状态方程为 u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 6 11 6 0 0 1 0 1 0 3 2 1 3 2 1 & & & 取线性变换为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 1 4 9 1 2 3 1 1 1 x x x x x x 求变换后的系统的状态方程。 解： P= P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 −1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 由式(2.19)得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 6 11 6 0 0 1 0 1 0 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 1 A P AP = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 8 27 1 4 9 1 2 3 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − 0.5 1 0.5 1 0 0 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 1 B P B 所以，变换后的状态方程为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0.5 1 0.5 0 0 3 0 2 0 1 0 0 & 在例 2.4 中，通过线性变换后的状态方程的系数矩阵 为对角矩阵，使状态变量之间没 有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求 取使矩阵 变换为对角阵的线性变换矩阵 A A P 。事实上，这些内容在《线性代数》中已经作 了介绍