《自动控制原理》课程教学资源：第八章状态反馈控制与状态观测器设计

第8章状态反馈控制与状态观测器设计 8.1状态反馈与输出反馈 8.1.1状态反馈图8.1所示是一单输入单输出连续系统状态反馈的例子。

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自动控制原理电子教案 u B x x A A A x x c c c c c c ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 ~ ~ ~ ~ 0 ~ ~ ~ ~ 12 1 & & (8.10) 对于任一状态反馈增益阵 [ ] 1 2 ~ ~ ~ K = K K ，状态反馈系统的特征方程为 [ ] ] 0 ~ ]det[λ ~ ~ ~ det[λ ~ 0 λ ~ ~ ~ ~ ~ ~ λ det } ~ ~ 0 ~ ~ 0 ~ ~ det{ )] ~ ~ ~ (λ ) det[λ ( 1 1 1 1 12 1 2 1 2 12 1 = − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − + c c c c c c I A B K I A I A I A B K A B K K K B A A A I f I A BK λ (8.11) 因此，只有当系统完全能控时，才有可能任意配置状态反馈系统的闭环极点。必要性得证。充分性证明：下面只证明单输入单输出的情况。由前面的论述，若{A,b}是能控的，则存在非奇异线性变换 x = Tx ,将{A,b}化为第一能控标准型: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 1 −1 0 0 1 0 1 0 n a a a A L L M O O M L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 M b 容易求得状态反馈闭环系统的特征多项式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 f a k a k a k n n n n = + − + + − + − − λ λ − λ L λ (8.12) 设闭环系统的期望极点为 λ λ λ n , , 1 , 2 L ，则系统的期望特征多项式为 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n f λ = λ − λ λ − λ λ − λ ∗ L (8.13) * 0 * 1 * 1 a 1 a a n n n = + + + + − λ − λ L λ 要使闭环系统的极点取期望值，只须令 ( ) ( ) * f λ = f λ 14) 比较上式两边系数得： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − = − − * 1 1 * 1 2 1 * 0 1 0 n n a n a k a k a a k a L 因此 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = − − − * 1 1 * 2 1 1 * 1 0 0 n a n a n k k a a k a a L （8.15）从而得到对于状态 x 下的状态反馈增益阵为 [ ] ∗ − − ∗ ∗ = 0 − 0 1 − 1 n 1 − n 1 K a a a a L a a （8.16）上式表明，总存在状态反馈增益矩阵，使系统具有给定的期望特征多项式。充分性得证。注意，用输出反馈不能保证能够任意配置系统的极点。若系统{ 不是状态完全能控，则状态反馈系统的一部分闭环极点就是对象不能控部分的极点，这部分极点是不能被配置的。显然，如果不能控的极点全部是稳定极点，则可以采用状态反馈使能控部分的极点配置到期望值，从 A,B,C} 浙江工业大学自动化研究所

自动控制原理电子教案而使整个闭环系统稳定，因此，称这样的系统为能镇定的或能稳定的系统。定理线性连续或离散系统{A,B,C}能镇定的充分必要条件是系统的不能控极点都是稳定极点。 8.2.2 单输入系统的极点配置方法对于线性（连续或离散）单输入系统{A,b,c}，按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵的基本方法，是选择状态反馈增益矩阵使系统的特征多项式 det[λ I − (A+ bK)]等于期望的特征多项式 ( ) ，即 * f λ det[λ ( )] ( ) （8.17） * I − A+ bK = f λ 例 8.3 设连续系统的动态方程如下,试计算系统的状态反馈增益矩阵。 ( ) 1 0 ( ) ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 u t x t x t x t x t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ & & [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 x t x t y t 解（1）按连续系统设计取状态反馈控制律为 [ ] 1 1 2 2 2 1 1 2 k x k x x x u k k ⎥ = + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 系统的特征方程为 [ ] 2 1 2 1 2 1 det det k k k k I A BK ⎥ = − − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = λ λ λ λ λ 设期望的闭环特征多项式为 1 0 * 2 f (λ) = λ + a λ + a 则得状态反馈增益矩阵为 [ ] [ 1 2 a0 a1 K = k k = − − ] （2）按离散系统设计离散化后的状态方程 ( ) / 2 ( ) ( ) 0 1 1 [( 1) ] [( 1) ] 2 2 1 2 1 u kT T T x kT T x kT x k T x k T ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + 其中 T 是采样周期。取状态反馈为 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 k x kT k x kT x kT x kT u kT k k ⎥ = + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 闭环系统方程为 ( ) 1 2 1 2 1 1 [( 1) ] 1 2 2 2 2 1 x kT k T k T k T T k T x k T ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = 闭环特征多项式为 1 2 1 2) 2 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 λI − A− bK = λ − k T + k T + λ − k T +Tk + 设期望的闭环特征多项式为 1 0 * 2 f (λ) = λ + a λ + a 令闭环特征多项式等于期望的闭环特征多项式，即令它们的对应系数值相等，浙江工业大学自动化研究所

自动控制原理电子教案 8.2.3 多输入系统的极点配置对于多输入线性（连续或离散）系统的极点配置方法，也可以根据下式确定状态反馈矩阵。 det[ ( )] ( ) * λI − A+ BK = f λ （8.18）对多输入系统，由于 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = r r rn n n k k k k k k k k k K L M M O M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 （8.19）因此，对多输入系统，增益 K 的解并非唯一的。本节只介绍一种将多输入系统的极点配置问题，简化为单输入系统的极点配置问题的方法。设多输入线性离散系统 x(k +1) = Ax(k) + Bu(k) (8.20) 是状态完全能控的。其中u(k) 是 r 维向量；B 是 n× r 矩阵。方程 8.20 又可表示成 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x k Ax k b u k b u k b u k + = + + +L+ r r (8.21) 如果在输入u1 (k) ，u2 (k) ，…，ur (k) 中能找到某一个输入ui(k) ，系统 x(k 1) Ax(k) b u (k) (8.22) + = + i i 是状态完全能控的，则取状态反馈控制律为 u (k) K x(k) (8.23) i = i 其中 [ ] i i i in K k k L k = 1 2 (8.24) 这样，只对输入实现状态反馈，即可以实现 n 个极点的任意配置。计算方法同前面介绍的单输入系统的极点配置方法完全相同。 u (k) i 如果不存在使系统(8.22)状态完全能控的输入，则可以构造一个单输入，使系统状态完全能控。设 u (k) i u (k) s u(k) u (k) = α s (8.25) 其中us (k) 是标量，α 是 r 维常值向量。代入式(8.20)，有 x(k 1) Ax(k) B u (k) + = + α s (8.26) 或者 x(k 1) Ax(k) b u (k) (8.27) + = + s s 其中 bs = Bα (8.28) 首先选取α 使系统状态完全能控，即 rankS rank[b Ab A bs ] n n c = s s = L −1 (8.29) 然后对单输入系统(8.27)，取状态反馈 u (k) K x(k) s = s 可采用单输入极点配置方法设计状态反馈阵。多输入系统的实际状态反馈阵和状态反馈控制为 Ks K =αKs (8.30) u(k) u (k) K x(k) Kx(k) =α s =α s = (8.31) 浙江工业大学自动化研究所

自动控制原理电子教案例 8.5 设线性连续系统的状态方程为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 & 试确定状态反馈控制律u = Kx ，使闭环系统的极点为-1，-2，-3。解因为 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − & = − [ ] 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − rank b Ab A b = rank 所以，输入u1 使系统状态完全能控。设系统的状态反馈控制律为 u [k k k ]x 1 = 11 12 13 则状态反馈系统的特征方程为 [ ] 1 ) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 det( ) det( 12 11 2 13 3 1 1 11 12 13 = − + + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − − k k k I A b K I k k k λ λ λ λ λ 系统期望的特征方程为 ( ) ( 1)( 2)( 3) 6 11 6 * 3 2 f λ = λ + λ + λ + = λ + λ + λ + 令特征方程和期望特征方程的系数对应相等，得 k11 = 7 ， k12 = 11，。注意到，这时，仅对进行状态反馈设计，所以， k13 = −6 u1 k 21 = 0 ，k 22 = 0 ，。因此，系统的状态反馈阵为 k 23 = 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 7 11 6 21 22 23 11 12 13 k k k k k k K 容易验证，输入也使系统状态完全能控。对进行状态反馈设计，可得状态反馈阵为 u2 u2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 11 6 7 0 0 0 K 例 8.6 设线性离散系统的状态方程为 ( ) 0 1 1 0 1 1 ( ) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 x(k 1) x k u k ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − 试确定状态反馈 u(k) = Kx(k) ，使闭环系统的极点为 p1 = −0.5 ， p2 , p3 = 0.5 ± j0.5 解闭环系统的期望特征多项式为 ( ) ( )( )( ) 1 2 3 * f λ = λ − p λ − p λ − p 0.5 0.25 3 2 = λ − λ + 因为 [ ] 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ rank B AB A B = rank − 所以系统是状态完全能控的。而对两个单输入有浙江工业大学自动化研究所

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