第6章习题 61试判断下列系统的状态能控性 12-1 (1)=0-20x+0 1-40 (2)=010x+1a; (3)=010x+01 10 (4)北 4 2 (5)& n2 A11 11 0 (6) 11 答案:(1)不完全能控;(2)不完全能控;(3)完全能控:(4)不完全能控:;(5)不完全能控;(6)完 全能控; 62试判断下列系统的能观性。 (1).=0-11+|0,y=[1d]x: 00 (2)=020x, (3)=
1 第 6 章习题 6.1 试判断下列系统的状态能控性。 （1） x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0 0 1 4 0 0 2 0 1 2 1 & ； (2) x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 & ； (3) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 u u x& x ； (4) x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 2 1 0 1 4 4 0 & ； (5) x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 0 0 0 2 1 1 1 λ λ λ λ & ； (6) x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 1 1 λ λ λ λ & 。 答案：（1）不完全能控；（2）不完全能控；（3）完全能控；（4）不完全能控；（5）不完全能控；（6）完 全能控； 6.2 试判断下列系统的能观性。 （1） x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 1 0 2 1 0 1 0 1 1 1 2 2 & ， y = [1 1 0] x ； （2） x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 3 1 0 2 0 2 0 0 & ， y = [ ] 1 1 1 x ； (3) x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 0 2 2 1 1 1 1 0 & , y x⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 1 0 1 0 0 0 ；
210 (4)k=020x,y=1 答案:(1)完全能观;(2)不完全能观;(3)完全能观;(4)不完全能观; 63设有三阶系统 00-11 k=10-3x+1 y=p1-2 判别系统的能控性和能观性 答案:不完全能控、不完全能观 64设有三阶系统 0410x+b 002 ld e lx (1)适当地选择常数a,b,c,使系统完全能控。 (2)适当地选择常数d,e,f,使系统完全能观。 答案:(1)b≠0,C≠0,d≠0,f≠0 65系统结构图如图题6.5所示,图中a,b,c,d均是实常数。试建立系统的状态空间表达式,并分别确定 当系统状态能控及能观时,a,b,c,d应满足的条件。 LXi C() 图题65 解: y O S AB c-a d ∴当a-b-c-d≠0时系统完全能控
2 (4) x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 3 0 2 0 2 1 0 & , y = [ ] 0 1 1 x 。 答案：（1）完全能观；（2）不完全能观；（3）完全能观；（4）不完全能观； 6.3 设有三阶系统 y [ ]x x x u 0 1 2 0 1 1 0 1 3 1 0 3 0 0 1 = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − &= 判别系统的能控性和能观性。 答案：不完全能控、不完全能观 6.4 设有三阶系统 [ ] x x & a b c u y d e fx = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = λ λ λ 1 1 0 0 0 0 0 1 2 (1) 适当地选择常数 a，b，c，使系统完全能控。 (2) 适当地选择常数 d，e，f，使系统完全能观。 答案：（1）b ≠ 0,c ≠ 0,d ≠ 0, f ≠ 0 6.5 系统结构图如图题 6.5 所示，图中 a, b, c, d 均是实常数。试建立系统的状态空间表达式，并分别确定 当系统状态能控及能观时， a, b, c, d 应满足的条件。 图题 6.5 解： y [ ]x u x x d b a c x x 1 0 1 1 2 1 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ & & Θ SC = [ ] B AB b d c a b d c a SC = − − − + − − − = 1 1 ∴ 当 a − b − c − d ≠ 0时系统完全能控 u C(s) s 1 ⊗ ⊗ − a s 1 b c d ⊗ − 2 x 1x −
So ∵当c≠0时系统完全能观 66设 A 00c=k10 其中,a1,a2,a3,c1为实数。试问,{4,c}能观的充分必要条件是什么?要求用A和c中的参数具体 解:Sl=CA a,CI a1 CI-a2C1 a1a2C1-a3C ana3 CI 0 -a3 CI la 当a3c1≠0时系统可观测 67系统状态空间表达式如下 心/0 1c2]r 欲使系统中有一个状态既能控又能观测,另一个状态为既不能控又不能观测,试确定b,b2和c, C2应满足的关系。 解:系统的特征方程为: =s2+3s+2=(s+1)(s+2) 可见系统特征根为互异单根,且矩阵A为友矩阵,可用范德蒙矩阵实现对角化,即 10 A=P=0-2 B=P-B b1+b2 b1-b2 C=CP= C2 [e1 对角化后系统的状态空间表达式为
3 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = CA C Θ SO c a c SO = − ∴ = 1 0 ∴当c ≠ 0 时系统完全能观 6.6 设 [ ] 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 2 3 C c a a a A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − = 其中， 1 2 3 1 a ,a ,a ,c 为实数。试问，{ } A,c 能观的充分必要条件是什么？要求用 A 和c 中的参数具体 表示。 解： 1 2 1 1 2 1 3 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 0 0 a c a c a a c a c a a c a c a c a c c CA CA C SO − − = = − − − = 3 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 1 2 3 3 1 1 0 0 ( ) a c a a a a a a a c a a a = − − − − ∴ 当 a3c1 ≠ 0 时系统可观测 6.7 系统状态空间表达式如下： u b b x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 1 2 3 0 1 & y [c c ]x = 1 2 欲使系统中有一个状态既能控又能观测，另一个状态为既不能控又不能观测，试确定 1 b ， 2 b 和 1 c ， 2 c 应满足的关系。 解:系统的特征方程为: 3 2 ( 1)( 2) 2 3 1 2 = + + = + + + − − = s s s s s s SI A 可见系统特征根为互异单根，且矩阵 A 为友矩阵，可用范德蒙矩阵实现对角化，即 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 2 1 1 P ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − 1 1 2 1 1 P ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = − 0 2 1 0 1 A P AP ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = − 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 b b b b b b B P B [] [ ] 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 C CP c c = c − c c − c ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = 对角化后系统的状态空间表达式为：
2b1+b2 6, -. c1 令x可控可观测,x2不可控不可观测,则应有 +b,≠ b+b2=0 C1-C,≠0 当令x不可控、不可观测,x2可控可观测时,可同理讨论 68判断下列系统的输出能控性 (1)x=001x+0 0 0 =000 答案:(1)系统输出可控(2)系统输出不可控 69试将下列状态方程化为能控标准形。 34 答案:能控标准型是/01「0 105 6.10设系统状态方程为 01 设状态能控,试求a,b。 1 b 答案:Sc=[BAB a 则当-1+ab-b2≠0时,状态能控 6.1试确定使下列系统能观测的a、b C 答案:S CA 1-b 则当1-b+a≠0时,状态能观
4 u b b b b x x ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − −+ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − = • 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 y [ ] c c c c x 1 2 1 2 = − − 2 令 x 可控可观测， 2 x 不可控不可观测，则应有 ⎩⎨⎧ − ≠ + ≠ 0 2 0 1 2 1 2 c c b b ⎩⎨⎧ − = + = 2 00 1 2 1 2 c c b b 当令 x 不可控、不可观测， 2 x 可控可观测时，可同理讨论 6.8 判断下列系统的输出能控性。 （1） x x u ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ + ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − − − = 100 6 11 6 0 0 1 0 1 0 & ， y = [1 0 0 ] x (2) x u d c b x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ + ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − − − − = 110 1 0 & , y = [1 0 0 0 ] x 答案： （ 1）系统输出可控（ 2）系统输出不可控 6.9 试将下列状态方程化为能控标准形。 x x u ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − = 11 3 4 1 2 & 答案；能控标准型 x x u ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − = 10 10 5 0 1 & 6.10 设系统状态方程为 u b x a x ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − = 1 1 0 1 & 设状态能控，试求 a , b 。 答案： [ ] ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − + = = b ab b S C B AB 1 1 2 S 1 ab b C = − + − 则当 1 0 2 − + ab − b ≠ 时，状态能控 6.11 试确定使下列系统能观测的 a 、 b 。 x b a x ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = 0 1 & ， y = [1 − 1 ] x 答案： ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ −− = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = CA a b C S o 1 1 1 S b a o = 1 − + 则当 1 − b + a ≠ 0 时，状态能观
6.12已知系统各矩阵,试用传递矩阵判断系统能控性、能观测性。 A=042,B=00,C= 00 001 10 解:G()=c(s1-4B=/10071 001/0 4-200 00s-110 43 2 2(S-1) S 00 0 系统能观、能控 613设在线性系统x=Ax+B,y=Cx中, (1)判断其能控性,并求出其能控子空间的动态方程 (2)判断其能观测性,并求出其不能观测子空间的动态方程 (3)计算其传递函数 解:系统的特征方程为 I-4=(s-1)(s-2)s-3)(s-4)=0 可见系统特征值为互异单根,可对角化,设矩阵A相对于1=1的特征向量为P1,则有P=3 对入2=2相应的特征向量为P2有P22Bs/0 0 使系统为对角形的线性变换矩阵为 1000 0100 p2 P3 P4 l10
5 6.12 已知系统各矩阵，试用传递矩阵判断系统能控性、能观测性。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 0 4 2 1 3 2 A ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 0 0 C 解： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − − 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 4 2 1 3 2 0 0 1 1 0 0 ( ) (s ) 1 1 s s s G s c I A B ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − 1 0 1 4 2( 1) 1 0 0 0 0 1 0 0 4 0 1 2 4 3 2 0 0 1 1 0 0 4 1 1 s s s s s s s s s 系统能观、能控。 6.13 设在线性系统 x = Ax + Bu, y = Cx . 中， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 2 3 0 1 3 2 0 4 6 2 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 A B C = [− 4 − 3 1 1] （１） 判断其能控性，并求出其能控子空间的动态方程； （２） 判断其能观测性，并求出其不能观测子空间的动态方程； （３） 计算其传递函数。 解：系统的特征方程为： SI − A = (s −1)(s − 2)(s − 3)(s − 4) = 0 可见系统特征值为互异单根，可对角化，设矩阵 A 相对于 1 λ1 = 的特征向量为 1 p ,则有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 3 0 1 p1 对 2 λ2 = 相应的特征向量为 2 p ，有 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 2 1 0 p2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 p3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 p4 使系统为对角形的线性变换矩阵为： [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 1 0 1 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 p p1 p2 p3 p4
0010 A 000 10 0030 00 0 B P 对角化的状态空间表达式: 1000 x+ u 0030 00041 y=p01 可看出系统不可控、不可观测。x1,x4构成可控子空间 x3,x4构成可观测子空间 y=[ 系统的传递函数为 G(s=C(s/-A)B=C(Sl-A) B 100 64给定系统的状态空间表达式为
6 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − − − − = − 1 1 0 1 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 p ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = = − 0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 A p Ap ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = = − 1001 1 B p B C = Cp = [ ] 0 0 1 1 对角化的状态空间表达式： x x u ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ + ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = • 1001 0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 y = [ ] 0 0 1 1 x 可看出系统不可控、不可观测。 1 x ， 4 x 构成可控子空间 u xx xx x c ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = •• • 11 0 4 1 0 41 41 3 x ， 4 x 构成可观测子空间 u xx xx x o ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = •• • 10 0 4 3 0 43 43 [ ] 1 1 0 y = x 系统的传递函数为 G s C sI A B C sI A B 1 1 ( ) ( ) ( ) − − = − = − =[ ] 4 1 1001 4 1 3 1 2 1 1 1 0 0 1 1 − = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − − − − s s s s s 6.14 给定系统的状态空间表达式为
01-30 判断系统的能控性、能观测性。若不完全能控,请用坐标变换分出其能控和不能控的子系统,讨论 能否用状态反馈控制律u=Kx使闭环系统稳定。 S={B4Bf-11-3 rank s=2<n=3(不完全可控) 01 So=I CA rank s=2<n=3(不完全可观测) 系统的可控性能数为2,在Sc中选两个线性无关的列向量。即11|,取一个与之线性无关的列向 01 量0,构成变换矩阵 l10 110 01 孑=T7-+=1-2-2B=TB=0C=C7-=[-1 系统按可控性、不可控性分解为 x「0-1|-1Tx 1-2|-2|x2+0 00-1x20 可见,不可控子空间对应特征值3=-1,可控子空间用状态反馈可以实现极点任意配置,因此用状 态反馈可以使闭环系统稳定
7 y [ ]x x x u 0 1 2 0 1 1 0 1 3 1 0 3 0 0 1 = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − &= 判断系统的能控性、能观测性。若不完全能控，请用坐标变换分出其能控和不能控的子系统，讨论 能否用状态反馈控制律u = Kx 使闭环系统稳定。 解: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = = 0 1 2 1 1 3 1 0 1 2 SC B AB A B rank SC = 2 < n = 3 (不完全可控) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 3 4 1 2 3 0 1 2 2 CA CA C So rank So = 2 < n = 3 (不完全可观测) 系统的可控性能数为 2，在 SC 中选两个线性无关的列向量。即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 1 1 1 1 0 ，取一个与之线性无关的列向 量 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 ，构成变换矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 1 1 1 1 1 0 1 0 0 T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = = − 0 0 1 1 2 2 0 1 1 1 A TAT ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 0 0 1 B TB [1 1 2] 1 = = − − − C CT 系统按可控性、不可控性分解为 u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ • • • 0 0 1 0 0 1 1 2 2 0 1 1 3 2 1 3 2 1 可见，不可控子空间对应特征值λ3 = −1，可控子空间用状态反馈可以实现极点任意配置，因此用状 态反馈可以使闭环系统稳定