第3章习题 3.1已知理想采样开关的采样周期为T秒,连续信号为下列函数,求采样的输出信号∫(t) 及其拉氏变换F'(s)。 (1)f(1)=le (2)f(o=te- sin ot 答案(1)f(1)=∑k7eo(-k7)F(s)=∑kree (2)f'()=∑ e sin okT(-k)F(s)=∑ e sin okTe 32求下列序列的Z变换,设k<0时f(k)=0。 (1)1,,2,23,AA (2)λ,2,A,3A,4AA 答案 33设采样周期为0.5秒,求函数f(1)的Z变换F(Z) 当0≤t<22 f(o <0和t≥22 答案:F(x)=1+x-1+-2+ 34用长除法、部分分式法和留数法求F(Z)的反变换 10Z (1)F(Z)= (z-1)(Z-2 (1-z-)(1-Z 答案:(1)f()=∑102-1)6(-k7)
1 第 3 章习题 3.1 已知理想采样开关的采样周期为T 秒，连续信号为下列函数，求采样的输出信号 ( ) * f t 及其拉氏变换 ( ) * F s 。 （1） at f t te − ( ) = （2） f t te t at ( ) sinω − = *答案（1） ∑ ∞ = ∗ − = − 0 ( ) ( ) k akT f t kTe δ t kT ∑ ∞ = ∗ − − = 0 ( ) k akT kTs F s kTe e （2） ∑ ∞ = ∗ − = − 0 ( ) sin ( ) k akT f t e ωkTδ t kT ∑ ∞ = ∗ − − = 0 ( ) sin k akT kTs F s e ωkTe 3.2 求下列序列的 Z 变换，设 k < 0时 f (k) = 0 。 （1）1, , , ,Λ Λ 2 3 λ λ λ （2） Λ Λ 2 3 4 λ,λ ,λ, λ, 答案： λ λ − λ z − z z z (1) ;(2) 3.3 设采样周期为 0.5 秒，求函数 f (t) 的 Z 变换 F(Z) ⎩ ⎨ ⎧ = 0 1 f (t) 0 2.2 0 2.2 < ≥ ≤ < t t t 和 当 答案： 1 2 3 4 ( ) 1 − − − − F z = + z + z + z + z 3.4 用长除法、部分分式法和留数法求 F(Z) 的反变换 （1） ( 1)( 2) 10 ( ) − − = Z Z Z F Z （2） (1 )(1 ) (1 ) ( ) 1 1 1 aT aT Z Z e Z e F Z − − − − − − − − = （3） ( 0.8)( 0.1) ( ) 2 − − = Z Z Z F Z 答案：（1） ∑ ∞ = ∗ = − − 0 ( ) 10 2 1 ( ) k K f t （ ）δ t kT
(2)∫()=∑(1-em)6(-k7) (3)f0)=1∑08+-0.")(-k7 3.5用Z变换法解下列差分方程 (1)c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0,c(0)=0,c(1)=1。 (2)c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=r(k),r(k)=6(k,c(0)=c(1)=0。 (3)c(k+2)+2c(k+1)+c(k)=r(k),r(k)=k,(k=0,1,2AA),c(0)=c(1)=0 (4)c(k+3)+6c(k+2)+llc(k+1)+6c(k)=0,c(0)=c(1)=1,c(2)=0。 答案:(1)C()=-+ z+2 C(k)=(-1)2-(-2),(k=01 (2)((2)=2-3z+2 2k-1-1,k=2 k (二+1)(z-1) k 1 (-1)(2k2-k),(k=0,1…) 44 x+7x2+17 (二+1)(二+2)(二+3) C(k)=5.5(-1)-7(-2)+25(-3),(k=0,1) 3.6如图题36所示样控制系统: r(t) 图题36 (1)求系统开环脉冲传递函数 (2)求闭环系统脉冲传递函数
2 *（2） ∑ ∞ = ∗ − = − − 0 ( ) (1 ) ( ) k akT f t e δ t kT *（3） ∑ ∞ = ∗ + + = − − 0 1 1 0.8 0.1 ( ) 0.7 1 ( ) k k k f t （ ）δ t kT 3.5 用 Z 变换法解下列差分方程 （1）c(k + 2) + 3c(k +1) + 2c(k) = 0 ，c(0) = 0, c(1) = 1。 （2）c(k + 2) − 3c(k +1) + 2c(k) = r(k)， r(k) = δ (k), c(0) = c(1) = 0 。 （3）c(k + 2) + 2c(k +1) + c(k) = r(k) ， r(k) = k,(k = 0,1,2Λ Λ ), c(0) = c(1) = 0 。 （4）c(k + 3) + 6c(k + 2) +11c(k +1) + 6c(k) = 0 ，c(0) = c(1) = 1，c(2) = 0 。 答案：（1） 1 2 ( ) + − + + = z z z z C z C(k) = (−1) − (−2) ,(k = 0,1,.....) k k （2） 3 2 1 ( ) 2 − + = z z C z ⎩ ⎨ ⎧ − = = = − 2 1; 2,.... 0; 0,1 ( ) 1 k k C k k (3) ( 1) ( 1) ( ) 2 + − = z z kz C z ( 1) (2 ),( 0,1....) 4 1 4 ( ) 2 = + − k − k k = k C k k (4) ( 1)( 2)( 3) 7 17 ( ) 3 2 + + + + + = z z z z z z C z C(k) = 5.5(−1) − 7(−2) + 2.5(−3) ,(k = 0,1.....) k k k 3.6 如图题 3.6 所示采样控制系统： r(t) c(t) 1− − e s Ts K s +1 T 图题 3.6 （1）求系统开环脉冲传递函数； （2）求闭环系统脉冲传递函数；
(3)写出系统的差分方程。 e K G(二)=K(1-)Z[ =K(1-x-)Z K K(1 1-e-- (2)d()=c(==(-e R(z)1+G()1+(K-e-ke-)z (3)c(k)+(K-e--Ke)c(k-1)=K(1-e)r(k-1) 3.7求图题37所示采样系统输出C(z)表达式。 R(s) E(s) C(s) G1(s) G2(s) G3(s) 图题3.7 答案:C(=) G()R() 1+GG2(=)+G1()G3() 3.8如图题38所示采样控制系统 (1)求在输入和扰动共同作用下的输出量的Z变换表达式 (2)求系统输出C()与输入R(z)之间的Z传递函数 K (3)设D1(=)=1,D2(=)=0,G)5+’G2(s)=1,O(s)是零阶保持器,求系统输 出C(x)与输入R()之间的Z传递函数。 C(s) 叫o()G(s)OG2()
3 （3）写出系统的差分方程。 解：（1） 1 1 ( ) + − = − s K s e G s Ts ] 1 1 1 1 (1 )[ ] 1 1 1 ] (1 ) [ ( 1) 1 ( ) (1 ) [ 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − = − + = − − + = − z e z K z s s K z Z s s G z K z Z T 1 1 1 (1 ) − − − − − − = e z K e z T T （2） 1 1 1 ( ) (1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − + − − − = + Φ = = K e Ke z K e z G z G z R z C z z T T T (3) ( ) + ( − − ) ( −1) = (1− ) ( −1) − − − c k K e Ke c k K e r k T T T 3.7 求图题 3.7 所示采样系统输出C(z) 表达式。 图题 3.7 答案： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 G G z G z G z G z R z C z + + = 3.8 如图题 3.8 所示采样控制系统 (1)求在输入和扰动共同作用下的输出量的 Z 变换表达式； (2)求系统输出C(z) 与输入 R(z)之间的 Z 传递函数； (3)设 D1 (z) = 1， D2 (z) = 0 ， 1 ( ) 1 + = s K G s ， G2 (s) = 1，G (s) h 是零阶保持器，求系统输 出C(z) 与输入 R(z)之间的 Z 传递函数。 ( ) 1 G s R(s) N(s) C(s) ( ) 2 D1(z) G s ( ) 2 D z G (s) h T T T T R(s) E(s) C(s) ⊗ ⊗ − ( ) 1 G s ( ) 3 G s ( ) 2 G s D(s) − •
图题3.8 +D(),GGG2(=)R(x)+,G2N(=) GGG2(川D()+D2( +D1()GGG2(=) (2)d(=) D1(=)+D2(=)GGG2(=) 1+D1(=)·GGG2(=) (3)当D1(z)=1,D2(=)=0时 由(2)得 G,G,G,(=) d(=)= l+D1(=)GGG2(=) 代入数据,化简可得: k(I-e) z+k(1-e)-e-
4 图题 3.8 解：（1） 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 D z G G G z G N z R z D z G G G z G G G z D z D z C z h h h + ⋅ + + ⋅ + = （2） 1 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 D z G G G z D z D z G G G z z h h + ⋅ + Φ = （3）当 D1 (z) = 1， D2 (z) = 0 时， 由（2）得 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 D z G G G z G G G z z h h + ⋅ Φ = 代入数据，化简可得： T T T z k e e k e z − − − + − − − Φ = (1 ) (1 ) ( )