第8章习题 81设被控系统状态方程为 010 0-110 可否用状态反馈任意配置闭环极点?求状态反馈阵,使闭环极点位于-10、-1±j3,并画出状态变 量图。 解:(1)判定系统可控性: rank= rank B AB A B= rank0 1090=3 所以系统可控,可以实现极点的任意配置 (2)系统的闭环极点配置到期望位置上的状态反馈矩阵为: k=氏1k2k3] f()=det-(A-bk)=2+(10k3-10+1)2+(10k2-10+1+10k2)++10k 而闭环期望特征多项式为 f‘(4)=(2+10)(4+1-X4+1+/3)=x+12x2+24+40 10k3-10+1=12 所以:10k,-10+1+10k2=24 得k1=4,k2=12,k3=21 82设系统的状态方程为 0 k=001 0-72-18 (1)设计状态反馈矩阵F,使闭环系统的极点配置在-100,-7.07±门7.07: (2)画出状态反馈系统的结构图 解:系统为可控标准形 要使闭环极点配置在-100,-7.07±门7.07 那系统的特征方程为 f'()=(4+100(02+142+100)=43+1142x2+1510+10000 所以状态反馈矩阵为: k=D-100012-151018-1142]=[1000-1438-9 83设被控对象的动态方程为 试设计全维状态观测器,使闭环极点位于-r,-2r(r>0),并画出状态变量图。 解:N/C 满秩,系统能观,可构造观测器 CA101 根据期望极点得到期望特征多项式为 f"(4)=(2+r)(+2r)=A2+3rA+2 观测器方程为
第 8 章习题 8.1 设被控系统状态方程为 x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 0 1 10 0 1 1 0 1 0 & + u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 10 0 0 可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈阵，使闭环极点位于 −10、 − 1 ± j 3 ，并画出状态变 量图。 解：（1）判定系统可控性： [ ] 3 10 100 99 0 10 90 0 0 10 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ rankP C = rank B AB A B = rank − 所以系统可控，可以实现极点的任意配置 （2）系统的闭环极点配置到期望位置上的状态反馈矩阵为： [ ] 1 2 3 k = k k k 3 2 1 2 3 3 f ( ) det[ I (A bk)] (10k 10 1) (10k 10 1 10k ) 10k k λ = λ − − = λ + − + λ + − + + + λ + 而闭环期望特征多项式为 ( ) ( 10)( 1 3)( 1 3) 12 24 40 3 2 = + + − + + = + + + ∗ f λ λ λ j λ j λ λ λ 所以： 10 40 10 10 1 10 24 10 10 1 12 1 3 2 3 = − + + = − + = k k k k 得 k1 = 4, k2 = 1.2, k3 = 2.1 8.2 设系统的状态方程为 x xu &= − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 01 0 00 1 0 72 18 0 0 1 (1)设计状态反馈矩阵 F，使闭环系统的极点配置在 −100 ， − 7.07 ± j7.07 ： (2)画出状态反馈系统的结构图。 解：系统为可控标准形 要使闭环极点配置在 −100 ， − 7.07 ± j7.07 那系统的特征方程为 ( ) ( 100)( 14.2 100) 114.2 1510 10000 2 3 2 = + + + = + + + ∗ f λ λ λ λ λ λ λ 所以状态反馈矩阵为： k = [ ] 0 −1000 72 −1510 18 −114.2 = [−10000 −1438 − 96.1] 8.3 设被控对象的动态方程为 x x u⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 & , y = [1 0] x 试设计全维状态观测器，使闭环极点位于 − r ， − 2r （ r > 0），并画出状态变量图。 解： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0 CA C N 满秩，系统能观，可构造观测器 根据期望极点得到期望特征多项式为 2 2 f ( ) = ( + r)( + 2r) = + 3r + 2r ∗ λ λ λ λ λ 观测器方程为
X(1) y(0 84设被控对象的状态方程为 (1)设计一个全维状态观测器,使其极点配置在S=-10,s2=-10 (2)画出全维状态观测器及被控对象的状态变量图 解:(1)系统能控、能观,并且为可控标准形 全维观测器系统矩阵为 2h1 A-1+C h1 观测器特征方程为 -(A-1+C)=2+(2h+3)+(61h+2h+2) 期望特征方程为 (+10)2=x2+204+100=0 得h=85=23 所以,输出反馈矩阵为 (2)全维状态观测器及被控对象状态变量图为 x2(O) x, (O) 被控对象部分 元2() 1(0) ⑧ 状态观测器部分 85使被控系统的动态方程为 20 =p0 0
( ) 1 0 ( ) 2 3 ( ) ˆ 2 0 3 1 ( ) ˆ 2 2 y t u t r r X t r r X t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = 8.4 设被控对象的状态方程为 [ ] x xu & y x = − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 0 1 2 3 0 1 2 0 (1)设计一个全维状态观测器，使其极点配置在 s1 = −10 ， s2 = −10 ； (2)画出全维状态观测器及被控对象的状态变量图。 解：（1）系统能控、能观，并且为可控标准形 全维观测器系统矩阵为： [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + = 2 2 3 2 1 2 0 2 3 0 1 1 1 0 1 0 h h h h A C 观测器特征方程为 ( 1 (2 3) (6 2 2) 0 0 0 1 2 λI − A − + C）= λ + h + λ + h + h + = 期望特征方程为 ( 10) 20 100 0 2 2 λ + = λ + λ + = 得 h0 = 8.5 23.5 h1 = 所以，输出反馈矩阵为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 23.5 8.5 (2)全维状态观测器及被控对象状态变量图为： 被控对象部分 状态观测器部分 8.5 使被控系统的动态方程为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 1 0 1 1 2 2 0 0 1 3 1 0 1 0 0 5 u u x x & ， y = [0 0 1]x ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 2 u y _ _ s 1 s 1 2 (0) 2 x (0) 1 x 2 x 1 x 3 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ s 1 s 1 2 ˆ (0) 2 x ˆ (0) 1 x yˆ _ 3 _ 2 8.5 23.5 _ _ _
试检査受控系统能控性、能观测性;求输出至输入的反馈矩阵H,使闭环极点位于-0.57,-0.22±1.3, 并画出状态变量图。 解:系统50=(ABC)中矩阵对(AC)组成可观测规范型,所以系统ξ是完全可观测的。 下面分别检查系统由每个输入分量a1和2的可控性 205 bI Ab 0 Ab、A2b 都是非奇异矩阵,这样,由每个输入分量看,系统都是独享可控的 系统的特征方程式 f6()=2+32+2-5 显然是不稳的 对ξ采用输出反馈控制策略u=ν+1+y 其中:H=[1h2,则闭环系统5n=(A+ BHC B C)系统矩阵 20 A+BHC=10-1 2p001 013 01 10h-2h2-1 01h,-3 则闭环特征方程式 )=3+(3-h2)2+(1-h1+2h2)+(2h1-5) 要使闭环极点位于0.57,-0.22±13 则h=3,h 86已知系统{Ab [-111] 020 检查系统的能观性;设计(n-q)维观测器,并使所有极点配置在-4 解:rank(c)=1。所以系统的最小维状态观测器使n-q=3-1=2维的。为构造该系统的2维观测器, 首先选取 100 C 010所以 010
试检查受控系统能控性、能观测性；求输出至输入的反馈矩阵 H ，使闭环极点位于 − 0.57 ，− 0.22 ± j1.3 ， 并画出状态变量图。 解：系统 ( ) ξ 0 = A B C 中矩阵对(A C) 组成可观测规范型，所以系统ξ 0 是完全可观测的。 下面分别检查系统由每个输入分量 1 u 和 2 u 的可控性 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = 0 1 5 1 2 1 2 0 5 1 2 Qc1 b1 Ab1 A b [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = 1 5 14 2 1 10 0 5 25 2 2 Qc2 b2 Ab2 A b 都是非奇异矩阵，这样，由每个输入分量看，系统都是独享可控的 系统的特征方程式 ( ) 3 5 3 2 f0 λ = λ + λ + λ − 显然是不稳的 对ξ 0 采用输出反馈控制策略u = v +1+ y 其中： [ ]T H = h1 h2 ，则闭环系统 (A BHC B C) ξ H = + 系统矩阵 [ ] 0 0 1 0 1 1 2 2 0 0 1 3 1 0 1 0 0 5 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − h h A BHC 、 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 0 1 3 1 0 2 1 0 0 5 2 2 1 2 1 h h h h 则闭环特征方程式 ( ) (3 ) (1 2 ) (2 5) 1 2 1 2 2 3 f λ = λ + − h λ + − h + h λ + h − 要使闭环极点位于0.57 ， − 0.22 ± j1.3 则 3 h1 = ， 2 h2 = 8.6 已知系统{ } A b c ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 0 2 0 3 1 1 1 2 0 A ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 b ，c = [−1 1 1] 检查系统的能观性；设计(n − q)维观测器，并使所有极点配置在 − 4 。 解：rank(c) = 1。所以系统的最小维状态观测器使 n − q = 3 −1 = 2维的。为构造该系统的 2 维观测器， 首先选取 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 C C T 所以 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 T
于是HT=|4-21=447b=0- 3-2 A21A2 设能使观测器的两个极点均位于4处的输出内反馈增益阵为m=[mn1m2m 则得 det[s/-(A1+mA21)=(s+4)2 即s2+(-3m1+2m2+1)s+(2m1-8m2-1)=s2+8s+16 得:M=[m1m2]=[-45-325 则可求得观测器得各函数矩阵: 2 F=A1+m41=4-2 12.511 3.25 5.754.5 12511-4.5 21.375 G=A2+m42-Fm=,+ -5754.5-3.25 H=b+Mb2=o +m 00T101「10 R=T 01001|=01 1-11‖001 004.545 =0103.25=3.25 1-111|225 则要设计的2维观测器为 12.511 4.5 ) 21.375 -5.754.5 4.75 3.2s/() x(0)=|01(0+350 1-1225
于是 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − − 21 22 1 11 12 3 2 1 4 2 1 1 2 0 A A A A TAT ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 0 0 b b Tb 设能使观测器的两个极点均位于-4 处的输出内反馈增益阵为 [ ] T m = m1 m2 m3 则得 2 11 21 det[sI − (A + mA )] = (s + 4) 即 ( 3 2 1) (2 8 1) 8 16 2 1 2 1 2 2 s + − m + m + s + m − m − = s + s + 得： [ ][ ] T T M = m1 m2 = − 4.5 − 3.25 则可求得观测器得各函数矩阵： [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + = 5.75 4.5 12.5 11 3 2 3.25 4.5 4 2 1 2 F A11 mA21 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⋅ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + − = 4.75 21.375 3.25 4.5 5.75 4.5 12.5 11 1 3.25 4.5 1 0 G A12 mA22 Fm ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + = 3.25 4.5 0 0 H b1 Mb2 m ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 I R T ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = − 2.25 3.25 4.5 1 3.25 4.5 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 I m Q T 则要设计的 2 维观测器为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ( ) 2.25 3.25 4.5 ( ) 1 1 0 1 1 0 ( ) ˆ ( ) 3.25 4.5 4.75 21.375 5.75 4.5 12.5 11 ( ) X t z t y t Z &t z y u t
