自动控制原理电子教案 第3章离散控制系统的数学模型 由于计算机的飞速发展,计算机控制系统得到广泛的应用,离散系统控制理论 具有越来越重要的地位。由于离散系统中存在采样、保持、数字处理等过程,离散 系统具有一些独特的性能。下面首先讨论采样与保持这些离散系统的特殊问题的数 学描述,然后建立离散系统的数学模型。 3.1信号的采样与保持 3.1.1信号的采样 1.采样过程 如图3.1所示计算机控制系统,被控对象是在连续信号作用下工作的,其控制 信号u1()、输出信号c(t)及其反馈信号f(r)、参考输人信号r(t)等均为连续信号 而计算机的输入、输出信号是离散的数字信号。 1()被控c() 计算机 对象 图3.1计算机控制系统框图 由于计算机处理的是二进制的数椐,其输人信号不能是连续信号,所以误差信 号e()要经过模数转换器(A/①)变成计算机能接受的数字信号e(k7)。这种将连续 信号变为离散信号的过程称为采样。 实际采样装置是多种多样的,但无论其具体实现如何,其基本功能可以用一个 开关表示,通常称为采样开关所示。连续信号e()加在采样开关一端,采样开关以 一定规律开闭,另一端便得到离散信号e'()。采样开关每次闭合时间ε极短,可以 认为是瞬间完成。这样开关闭合一次,就认为得到连续信号e(1)的某一时刻的值 e(kT)。这样的采样开关称为理想采样开关,以后所说的采样开关都是指理想采样 开关,简称为采样开关。 根据采样开关闭合的规律,可以将采样进行分类 如果采样开关是等时间间隔采样,则称为普通采样、均匀采样、周期采样等 采样间隔时间称为采样周期,常用T表示。 如果采样的时间间隔是时变的,则称为非周期采样、非均匀采样等。 如果采样开关采样的时间间隔是随机的,则称为随机采样 一个离散系统中往往存在多个采样开关。如果系统中所有采样开关同时采样, 则称为同步采样,否则称为非同步采样。如果所有采样开关都是均匀采样,但采样 周期不等,则称为多速采样。 下面只研究同步周期采样系统 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 1 - 第 3 章 离散控制系统的数学模型 由于计算机的飞速发展，计算机控制系统得到广泛的应用，离散系统控制理论 具有越来越重要的地位。由于离散系统中存在采样、保持、数字处理等过程，离散 系统具有一些独特的性能。下面首先讨论采样与保持这些离散系统的特殊问题的数 学描述，然后建立离散系统的数学模型。 3.1 信号的采样与保持 3.1.1 信号的采样 1. 采样过程 如图 3.1 所示计算机控制系统，被控对象是在连续信号作用下工作的，其控制 信号 、输出信号 c(t)及其反馈信号 、参考输人信号 r(t)等均为连续信号， 而计算机的输入、输出信号是离散的数字信号。 ( ) 1 u t f (t) A/ D r(t) c(t) 数字 计算机 f (t) D / A e(t) e(kT) u(kT) ( ) 1 u t 被控 对象 反馈装置 图3.1 计算机控制系统框图 由于计算机处理的是二进制的数椐，其输人信号不能是连续信号，所以误差信 号 要经过模数转换器（A/D）变成计算机能接受的数字信号 。这种将连续 信号变为离散信号的过程称为采样。 e(t) e(kT) 实际采样装置是多种多样的，但无论其具体实现如何，其基本功能可以用一个 开关表示，通常称为采样开关所示。连续信号 加在采样开关一端，采样开关以 一定规律开闭，另一端便得到离散信号 。采样开关每次闭合时间 e(t) ( ) * e t ε 极短，可以 认为是瞬间完成。这样开关闭合一次，就认为得到连续信号 的某一时刻的值 。这样的采样开关称为理想采样开关，以后所说的采样开关都是指理想采样 开关，简称为采样开关。 e(t) e(kT) 根据采样开关闭合的规律，可以将采样进行分类。 如果采样开关是等时间间隔采样，则称为普通采样、均匀采样、周期采样等。 采样间隔时间称为采样周期，常用 T 表示。 如果采样的时间间隔是时变的，则称为非周期采样、非均匀采样等。 如果采样开关采样的时间间隔是随机的，则称为随机采样。 一个离散系统中往往存在多个采样开关。如果系统中所有采样开关同时采样， 则称为同步采样，否则称为非同步采样。如果所有采样开关都是均匀采样，但采样 周期不等，则称为多速采样。 下面只研究同步周期采样系统。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 1
自动控制原理电子教案 2.采样信号的数学描述 为了对采样系统进行定量、定性研究,就必须用数学表达式描述信号的采样过 程,研究离散信号的性质。下面首先研究采样信号的数学表达式 连续信号f()经过以周期T均匀采样的理想采样开关,得到离散序列{(kT)} k=01,2,。令f+(t)代表采样信号,可以表达为 f)=∑f(kn)(-k (3.1) 其中δ(-k7)为单位冲激函数(狄拉克δ函数)。由于当t≠kT时,b(t-k7)=0,所以 f()=f(∑6(-kT) (3.2) 若定义 1)=∑5(-An (3.3) f'(n)=f(1)6r() (3.4) 式(3.1)或式(3.4)就是采样信号的数学表达式。由式(3.1)或式(3.4)可求出采样信 号的拉普拉斯变换表达式。对式(3.1)进行拉氏变换,得 F'()=∑fkn)e (3.5) 式(3.5)是采样信号的拉氏变换表达式,后面将由式(3.5)建立Z变换与拉氏变换之 间的重要联系。 下面对式(3.4)进行拉氏变换,可以得到另一形式的采样信号的拉氏变换表达 式。因为δr()是周期函数,所以,可以展开为复数形式的付里叶( Fourier)级数 (3.6) 其中,=2/T为采样角频率;ck由下式计算 (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6),得 将式(3.8)代入式(3.4),得 f(0=0)∑1=1/(k (3.9) 对式(3.9)取拉氏变换,得 F'()=∑Loek 设F(s)=LLf(),由拉氏变换位移定理,得 F(S)ISF(S+ jko,) (3.10) 式(3.10)称为泊松( Poisson)求和公式。它把采样信号f'()的拉氏变换F'(s)与原连 续信号∫(1)的拉氏变换F()联系起来。可以直接从F(S)找出F(s)的频率响应 下面就会看到,由于F(s)表示成s的周期函数,在进行f()的频谱分析时很方便, 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 2 - 2. 采样信号的数学描述 为了对采样系统进行定量、定性研究，就必须用数学表达式描述信号的采样过 程，研究离散信号的性质。下面首先研究采样信号的数学表达式。 连续信号 经过以周期 T 均匀采样的理想采样开关，得到离散序列 。令 f*(t)代表采样信号，可以表达为 f (t) { f (kT)} k = 0,1,2,K ( ) ∑ (3.1) +∞ = = − 0 * ( ) ( ) k f t f kT δ t kT 其中δ (t − kT) 为单位冲激函数(狄拉克δ 函数)。由于当t ≠ kT 时，δ (t − kT) = 0，所以 ( ) ∑ (3.2) +∞ = = − 0 * ( ) ( ) k f t f t δ t kT 若定义 (3.3) ( ) ∑ +∞ = = − 0 ( ) k T δ t δ t kT 则 ( ) ( ) ( ) (3.4) * f t f t t = δ T 式(3.1)或式(3.4)就是采样信号的数学表达式。由式(3.1)或式(3.4)可求出采样信 号的拉普拉斯变换表达式。对式(3.1)进行拉氏变换，得 ∑ (3.5) +∞ = − = 0 * ( ) ( ) k kTs F s f kT e 式(3.5)是采样信号的拉氏变换表达式，后面将由式(3.5)建立 Z 变换与拉氏变换之 间的重要联系。 下面对式(3.4)进行拉氏变换，可以得到另一形式的采样信号的拉氏变换表达 式。因为 (t) δ T 是周期函数，所以，可以展开为复数形式的付里叶(Fourier)级数 (3.6) ( ) jk t k k T s t c e ω δ ∑ +∞ =−∞ = 其中，ω s = 2π / T 为采样角频率；c 由下式计算 k t e dt T c jk t T k T T ω s δ − −∫ = ( ) 1 2 2 T t e dt T jk t T T s 1 ( ) 1 2 2 = = − −∫ ω δ (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6),得 ( ) jk t k T s e T t ω δ ∑ +∞ =−∞ = 1 (3.8) 将式(3.8)代入式(3.4),得 jk t k s e T f t f t ω ∑ +∞ =−∞ = 1 ( ) ( ) * jk t k s f t e T ω ∑ +∞ =−∞ = ( ) 1 (3.9) 对式(3.9)取拉氏变换，得 ∑ [ ] +∞ =−∞ = k jk ts L f t e T F s ω ( ) 1 ( ) * 设 F(s) = L[ f (t)]，由拉氏变换位移定理，得 ∑ +∞ =−∞ = + k s F s jk T F s ( ) 1 ( ) * ω (3.10) 式(3.10)称为泊松(Poisson)求和公式。它把采样信号 的拉氏变换 与原连 续信号 的拉氏变换 联系起来。可以直接从 找出 的频率响应。 下面就会看到，由于 表示成 s 的周期函数，在进行 的频谱分析时很方便， ( ) * f t ( ) * F s f (t) F(s) F(s) ( ) * F s ( ) * F s ( ) * f t 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 2
自动控制原理电子教 可以清楚看出频谱混叠的影响。 上面得到了式(3.5)和(3.10)式表示的采样信号的拉氏变换的两种等价表达式。 虽然这两个式子都是无穷级数,但用式(3.5)通常可以把F'(s)写成闭式,即解析函 数的形式,而用式(3.10)却不能把F(s)写成闭式 3.采样定理 在计算机控制系统中,数字计算机的输出是数字序列,需要经过数一模转换器 ①D/A,将它变成连续的控制信号驱动控制装置。这种将离散信号变为连续信号的过 程称为复现或保持。复现信号的装置通常称为保持器。 为了从离散信号复现出连续信号,需要解决两个问题:第一、理论上能否从离 散信号f'(1)恢复到原连续信号f()?或者说,f()是否包含了f(1)的全部信息? 第二,实际上采用什么样的保持器? 本节首先介绍采样定理,它从理论上给出了信号复现的条件。然后介绍复现信 号的装置,主要介绍最常用的零阶保持器。 显然,采样频率越高,∫'()越接近∫(t)。但实际上采样频率不能任意高,总有 定的限度。采样频率越高,物理上越难实现。那么,釆样频率多高,才有可能从∫'() 恢复到∫(ω)?采样定理从理论上解决了这一难题,它给出了采样信号复现原连续信 号必需的最低采样频率。这一定理首先是由奈奎斯特( Nyquist,1928提出的。并且后 来为香农( Shannon,1948)从信息理论的观点所证明。采样定理的基本内容叙述如下 采样定理:若采样器的采样频率o,大于或等于其输入连续信号f()的频谱中最 高频率am的两倍,即o≥om,则能够从采样信号f()中完全复现f() 采样定理的结论不难从频谱分析所得到的结论作直观的说明。下面根据式(3.10) 分析采样信号的频谱 在式(3.10)中令s=jo,得采样信号的频率特性为 G@+ jko) (3.11) 般说来,连续时间函数f(t)的幅频谱|F(o)是一个单一的连续频谱,其频谱 中最高频率是无限的。如图3.2(a)所示,实际上,当频率相当高时,|F(o)的值很 小。所以,认为实际信号具有有限的最高频率omx。 图3.3连续信号的频谱 将(3.11)式展开得 FO @s)+-FGo-jo,)+-F(o)+-F(o+jo) 广'm+o)-…+r-)+rn)+r(m+) (Oo) 更为一般地有 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 3 - 可以清楚看出频谱混叠的影响。 上面得到了式(3.5)和(3.10)式表示的采样信号的拉氏变换的两种等价表达式。 虽然这两个式子都是无穷级数，但用式(3.5)通常可以把 写成闭式，即解析函 数的形式，而用式(3.10)却不能把 写成闭式。 ( ) * F s ( ) * F s 3. 采样定理 在计算机控制系统中，数字计算机的输出是数字序列，需要经过数—模转换器 (D/A)，将它变成连续的控制信号驱动控制装置。这种将离散信号变为连续信号的过 程称为复现或保持。复现信号的装置通常称为保持器。 为了从离散信号复现出连续信号，需要解决两个问题：第一、理论上能否从离 散信号 恢复到原连续信号 ？或者说， 是否包含了 的全部信息？ 第二，实际上采用什么样的保持器？ ( ) * f t f t( ) ( ) * f t f t( ) 本节首先介绍采样定理，它从理论上给出了信号复现的条件。然后介绍复现信 号的装置，主要介绍最常用的零阶保持器。 显然，采样频率越高， 越接近 。但实际上采样频率不能任意高，总有 一定的限度。采样频率越高，物理上越难实现。那么，采样频率多高，才有可能从 恢复到 ？采样定理从理论上解决了这一难题，它给出了采样信号复现原连续信 号必需的最低采样频率。这一定理首先是由奈奎斯特(Nyquist,1928)提出的。并且后 来为香农(Shannon,1948)从信息理论的观点所证明。采样定理的基本内容叙述如下： ( ) * f t f t( ) ( ) * f t f t( ) 采样定理：若采样器的采样频率ω s 大于或等于其输入连续信号 的频谱中最 高频率 f (t) ω max 的两倍，即ω s ≥ ω max ，则能够从采样信号 ( ) 中完全复现 。 * f t f (t) 采样定理的结论不难从频谱分析所得到的结论作直观的说明。下面根据式(3.10) 分析采样信号的频谱。 在式(3.10)中令 s = jω ，得采样信号的频率特性为 ∑ +∞ =−∞ = + k s F j jk T F j ( ) 1 ( ) * ω ω ω (3.11) 一般说来，连续时间函数 f(t)的幅频谱 F(jω) 是一个单一的连续频谱，其频谱 中最高频率是无限的。如图 3.2(a)所示，实际上，当频率相当高时， F(jω) 的值很 小。所以，认为实际信号具有有限的最高频率ω max 。 图 3.3 连续信号的频谱 将(3.11)式展开得 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) * ω ω ω ω ω F jω T F j j T F j j T F j =L+ − s + − s + + ( + ) +L 1 s F j j T ω ω 令ω = ω o +ω s ，得 ( ) * o s F jω + jω ( ) 1 ( ) 1 ω 0 ω ω 0 F j T F j j T =L+ − s + ( ) 1 0 s F j j T + ω + ω + ( + 2 ) +L 1 0 s F j j T ω ω ( ) 0 * = F jω 更为一般地有 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 3
自动控制原理电子教案 ( k=0±1,+2, 可见,F(jo)是一个周期函数,周期为o,在区间[-omx,Ooma]内 F(O-Jj20,)+=FG@-JOs)+=FGo) +=Fo+jO)+-F(@+j2@s)+ 由于o≤-m或≥om时,F(1o)=0,所以,当满足22mnm,则有 7F(O+kO,)=0k=+1+2 则 ()=1F(o) '(o)-r(o (3.14) 这样,根据F'(o)是一个周期为O,的周期函数和在区间[omx,Om]内, (o)=r|r(o),可知采样信号广的频谱如图3.3()所示 图3.3离散信号的频谱 如果不满足“≥om即a<20m则在区间[om,Oom]内,F'o)≠1F(o) F(o)频谱中各波形会相互重叠,如图3.3(b)所示,这就是“频谱混叠”现象 从图3.3(a)可以看出,当a,≥2om,如果f()经过一个如图3.4(a)所示的 理想滤波器,则可把k=0以外的频率响应都滤掉,如图3.4(b)所示,这时信号的频 谱只是在幅值上为原信号频谱的,而形状一样。因此,∫()经过理想低通滤波器 后,就可以恢复到f(1)了(严格地说,还要线性放大倍)。 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 4 - ( ) ( ) * * F jω + jkω s = F jω k = 0,±1,±2,L (3.12) 可见， F * ( jω) 是一个周期函数，周期为ω s ，在区间[−ω max ,ω max ]内， ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) * ω ω ω ω ω F jω T F j j T F j j T F j =L+ − s + − s + ( ) 1 s F j j T + ω + ω + ( + 2 ) +L 1 s F j j T ω ω 由于ω ≤ −ω max 或ω ≥ ω max 时， F( jω) = 0 ，所以，当满足 max 2 ω ω ≥ s ，则有 ( ) 0 1 F j + jk s = T ω ω k = ±1,±2,L 则 ( ) 1 ( ) * ω F jω T F j = (3.13) ( ) ω F( jω) T F j * 1 = (3.14) 这样，根据 F * ( jω) 是一个周期为 ω s 的周期函数和在区间 [−ω max ,ω max ] 内， ( ) ω F( jω) T F j * 1 = ,可知采样信号 ( ) 的频谱如图 3.3(a)所示。 * f t 图 3.3 离散信号的频谱 如果不满足 max 2 ω ω ≥ s 即ω < 2ω max 则在区间[−ω max ,ω max ]内， ( ) * F jω ( ) 1 F jω T ≠ 。 F ( jω) * 频谱中各波形会相互重叠，如图 3.3(b)所示，这就是“频谱混叠”现象。 从图 3.3 (a)可以看出，当ω s ≥ 2ω max ，如果 经过一个如图 3.4(a)所示的 理想滤波器，则可把 k=0 以外的频率响应都滤掉，如图 3.4(b)所示，这时信号的频 谱只是在幅值上为原信号频谱的 ( ) * f t T 1 ，而形状一样。因此， 经过理想低通滤波器 后，就可以恢复到 了(严格地说，还要线性放大 ( ) * f t f (t) T 1 倍)。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 4
自动控制原理电子教案 从图3.3(b)可以看出,当o,<2om时,∫()经过理想滤波器后的频谱如图 3.4(c),与原信号频谱相比,产生了畸变。因此恢复不到原信号。这就是采样定理 所指出的结论 采样定理的严格数学证明可参见有关文献。 3.1.2信号的保持 采样定理指出:当采样频率大于原连续信号频谱所含最高频率的两倍时,可以 恢复到原连续信号,只是需要理想滤波器。但这种理想滤波器实际上是不存在的 在工程上,通常用一些特性上与理想滤波器相近的低通滤波器代替。例如“零阶保 持器”、“一阶保持器”以及“高阶保持器”等。 1.零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器( zero-order hold,简记为ZOH),它与一阶、高阶 保持器相比,具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。所以,在离散系统中一般 都采用零阶保持器,很少采用一阶保持器和高阶保持器 零阶保持器的作用是把某一采样时刻kT的采样值f(k7)恒定地保持到下一个采 样时刻(k+1)T,即在t∈[krk+1]区间内,零阶保持器的输出值一直保持为f(k7)。 如图3.5所示 图3.5零阶保持器的功能 加在保持器输入端的离散信号,一般都是数字控制器的输出信号,我们并不了 解它的特性。为了研究保持器的特性,我们用一已知的连续信号f()的采样值f()加 在保持器的输入端,研究其输出波形f()与f()之间的差别,从而可以看出保持器 的特性。 从图3.5可以看出,连续信号f(1)经过采样,得到离散信号f(),f(n)再经过 零阶保持器得到连续的阶梯信号f(t),如果把f(1)的高频分量滤掉,就得到连续光 滑的信号f(),f()与f(t)形状近似相同,只是滞后了半个采样周期,这是零阶保 持器引起的。零阶保持器的滞后效应给系统带来不利的影响。从上面的分析看出 零阶保持器基本上把f()恢复到了f()。 为了满足系统分析、设计的需要,象其它系统元件一样,还必需建立零阶保持 器的数学模型,推导出它的传递函数和频率特性。 考察f(),它是等间隔的阶梯信号,时域表达式为 6()=∑f(k7(-k7)-1(-7-7) (3.15) 取拉氏变换得 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 5 - 从图 3.3(b)可以看出，当ω s < 2ω max 时， 经过理想滤波器后的频谱如图 3.4(c)，与原信号频谱相比，产生了畸变。因此恢复不到原信号。这就是采样定理 所指出的结论。 ( ) * f t 采样定理的严格数学证明可参见有关文献。 3.1.2 信号的保持 采样定理指出：当采样频率大于原连续信号频谱所含最高频率的两倍时，可以 恢复到原连续信号，只是需要理想滤波器。但这种理想滤波器实际上是不存在的。 在工程上，通常用一些特性上与理想滤波器相近的低通滤波器代替。例如“零阶保 持器”、“一阶保持器”以及“高阶保持器”等。 1. 零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器(zero-order hold，简记为 ZOH)，它与一阶、高阶 保持器相比，具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。所以，在离散系统中一般 都采用零阶保持器，很少采用一阶保持器和高阶保持器。 零阶保持器的作用是把某一采样时刻 kT 的采样值 恒定地保持到下一个采 样时刻(k+1)T，即在 f (kT) t ∈[kT,(k +1)T ]区间内，零阶保持器的输出值一直保持为 。 如图 3.5 所示。 f (kT) 图 3.5 零阶保持器的功能 加在保持器输入端的离散信号，一般都是数字控制器的输出信号，我们并不了 解它的特性。为了研究保持器的特性，我们用一已知的连续信号 的采样值 加 在保持器的输入端，研究其输出波形 与 之间的差别，从而可以看出保持器 的特性。 f (t) ( ) * f t f (t) h f (t) 从图 3.5 可以看出，连续信号 经过采样，得到离散信号 ， 再经过 零阶保持器得到连续的阶梯信号 ，如果把 的高频分量滤掉，就得到连续光 滑的信号 ， 与 形状近似相同，只是滞后了半个采样周期，这是零阶保 持器引起的。零阶保持器的滞后效应给系统带来不利的影响。从上面的分析看出， 零阶保持器基本上把 恢复到了 。 f (t) ( ) * f t ( ) * f t f (t) h f (t) h ( ) 1f t ( ) 1f t f (t) ( ) * f t f (t) 为了满足系统分析、设计的需要，象其它系统元件一样，还必需建立零阶保持 器的数学模型，推导出它的传递函数和频率特性。 考察 fh (t)，它是等间隔的阶梯信号，时域表达式为 fh (t) ( )[1( ) 1( ) (3.15) 0 f kT t kT t kT T k =∑ − − − − +∞ = ] 取拉氏变换得 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 5
F6(s)=∑(D(r-k)-1(-k- Tle-kTs l-e-7s 因此,零阶保持器的传递函数为 Go(s)=Fh(s)1-e-Ts (3.16) F (S) 零阶保持器的脉冲响应函数为 gm()=L[m(]=1()-1(-7) (3.17) 上式清楚地表明了零阶保持器的特性。go()是高度为1宽度为T的方波,在一个采 样周期内,采样值经过保持器保持,既不放大,也不衰减,对其它采样周期内的输 出没有影响。 零阶保持器的频率特性为 将式(3.18a)写成指数形式可以看出零阶保持器的重要特性 2 所以,零阶保持器的幅、相频率特性分别为 ∠Goh(jo) 19b 幅频特性、相频特性分别如图3.6(a)、(b)所示。 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 6 - ( ) ( ){ [ ] 1( ) 1( ) } 0 F s f kT L t kT t kT T k h =∑ − − − − +∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − + +∞ = ∑ kTs k Ts k e s e s f kT ( 1) 0 1 1 ( ) s e f kT e Ts kTs k − − +∞ = − =∑ 1 ( ) 0 s e−Ts − = 1 kTs k f kT e− +∞ = ∑ 0 ( ) s e−Ts − = 1 F *(s) 因此，零阶保持器的传递函数为 s e F s F s G s Ts h oh − − = = 1 ( ) ( ) ( ) * (3.16) 零阶保持器的脉冲响应函数为 ( ) [ ( )] 1( ) 1( ) 1 goh t = L Goh s = t − t −T − (3.17) 上式清楚地表明了零阶保持器的特性。goh (t) 是高度为 1 宽度为T 的方波，在一个采 样周期内，采样值经过保持器保持，既不放大，也不衰减，对其它采样周期内的输 出没有影响。 零阶保持器的频率特性为 ω ω ω j e G j j T oh − − = 1 ( ) (3.18a) 将式(3.18a)写成指数形式可以看出零阶保持器的重要特性。 2 2 ( ) 2 2 2 j e e G j e T j T T j j oh ω ω ω ω ω − − − = 2 sin 2 2 T e T j ω ω ω − = 2 2 2 sin T j e T T T ω ω ω − = (3.18b) 所以，零阶保持器的幅、相频率特性分别为 G j = T ⋅ oh ( ω) 2 2 sin T T ω ω (3.19a) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∠ = − − 2 2 ( ) T oh T G j ω π ω ω sin sin ω ω T T 2 0 2 0 p ≥ (3.19b) 幅频特性、相频特性分别如图 3.6(a)、(b)所示。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 6
自动控制原理电子教案 图3.6零阶保持器的幅频特性、相频特性 从图3.6(a)可见,零阶保持器的频谱和理想滤波器的频谱图3.4(a)具有相同的 特征,但有一些差别。零阶保持器也是低通滤波器,但没有截止频率,它除了允许 基带频谱通过外,还允许附加的各次谐波频谱通过一小部分,而且,零阶保持器具 有半个采样周期的纯滞后。因此,由零阶保持器复现的信号与原信号有些差别。因 为 所以,当采样周期T取得越小,上述差别也就越小 零阶保持器本身比较简单,容易实现。步进电机就是一个实际的例子。它接受 个脉冲信号后转动一步,至下一个信号到来之前,其转角一直保持不变。计算机 的寄存器和数一模转换器,也具有零阶保持作用。寄存器把kT时刻的数字一直保持 到下一个采样时刻,而数一模转换器把数字(数码)转换成模拟量,从而恢复原信号 最后需要指出的是,对于连续系统,频率特性有明确的物理意义,由于连续系 统的输入、输出均是连续信号,所以我们可以用单个频率的谐波信号的输入与其响 应的关系来定义它的频率特性。而零阶保持器的输入是离散量,不接受一定频率的 连续谐波信号。所以,零阶保持器的频率特性不能用某频率的正弦信号输入时 输出与输入的幅值比及相位差来解释,更不能用相应的测试连续系统频率特性的实 验方法得到。 2.一阶保持器 阶保持器是一种基于两个采样值f(kn)与f[(k-门线性外推规律恢复离散信 号的保持器。它的外推输出为 f+D)=(km+<(k7)-/[k-门 阶保持器的脉冲响应如图3.7(a)所示。可见,为了保证线性外推,每个时刻 的采样值的作用都是延续两个采样周期。作为现在时刻的采样值在第一个采样周期 的外推斜率为正,起着式(3.20)的斜率中第一项「(kn的作用,但到第二个采样周 期新的采样值出现后,它就变成过去时刻的采样值了,应起式(3.20)的斜率中第二 项二/(k-门的作用,所以在第二个采样周期里,其斜率为负,即 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 7 - 图 3.6 零阶保持器的幅频特性、相频特性 从图 3.6(a)可见，零阶保持器的频谱和理想滤波器的频谱图 3.4(a)具有相同的 特征，但有一些差别。零阶保持器也是低通滤波器，但没有截止频率，它除了允许 基带频谱通过外，还允许附加的各次谐波频谱通过一小部分，而且，零阶保持器具 有半个采样周期的纯滞后。因此，由零阶保持器复现的信号与原信号有些差别。因 为 0 lim T→ 1 2 2 sin = T T ω ω 所以，当采样周期 T 取得越小，上述差别也就越小。 零阶保持器本身比较简单，容易实现。步进电机就是一个实际的例子。它接受 一个脉冲信号后转动一步，至下一个信号到来之前，其转角一直保持不变。计算机 的寄存器和数—模转换器，也具有零阶保持作用。寄存器把 kT 时刻的数字一直保持 到下一个采样时刻，而数—模转换器把数字(数码)转换成模拟量，从而恢复原信号。 最后需要指出的是，对于连续系统，频率特性有明确的物理意义，由于连续系 统的输入、输出均是连续信号，所以我们可以用单个频率的谐波信号的输入与其响 应的关系来定义它的频率特性。而零阶保持器的输入是离散量，不接受一定频率的 连续谐波信号。所以，零阶保持器的频率特性不能用某ω 频率的正弦信号输入时， 输出与输入的幅值比及相位差来解释，更不能用相应的测试连续系统频率特性的实 验方法得到。 2. 一阶保持器 一阶保持器是一种基于两个采样值 f (kT) 与 f [(k −1)T ]线性外推规律恢复离散信 号的保持器。它的外推输出为 f (kT +τ ) = f (kT) [( ) ] τ T f (kT) − f k −1 T + (0 < τ < T ) (3.20) 一阶保持器的脉冲响应如图 3.7(a)所示。可见，为了保证线性外推，每个时刻 的采样值的作用都是延续两个采样周期。作为现在时刻的采样值在第一个采样周期 的外推斜率为正，起着式(3.20)的斜率中第一项 T f (kT) 的作用，但到第二个采样周 期新的采样值出现后，它就变成过去时刻的采样值了，应起式(3.20)的斜率中第二 项 [ ] ( ) T − f k −1 T 的作用，所以在第二个采样周期里，其斜率为负，即 T 1 − 。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 7
自动控制原理电子教案 图3.7一阶保持器的时域特性 将脉冲响应函数分解成如图3.7(b)的叠加,可得一阶保持器的传递函数 Gn(s)=1+1-2 =T(1+7s)( (3.21) 一阶保持器的频率特性为 Gh(o)=7(1+jo7) G,(jo)=TVI+(oT) (3.23a) ∠G(jo)=g-lo-oT (3.23b) 阶保持器的幅频特性、相频特性如图3.8(a)、(b)所示。为了便于与零阶保持 器比较,图中同时用虚线画出了零阶保持器的幅、相频率特性曲线 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 8 - 图 3.7 一阶保持器的时域特性 将脉冲响应函数分解成如图 3.7(b)的叠加，可得一阶保持器的传递函数 Gh (s) = Ts Ts Ts Ts e Ts e s e Ts e s Ts s 2 2 2 2 2 1 1 2 − 2 − 1 − 1 − + − − + + 2 ) 1 (1 )( Ts e T Ts −Ts − = + (3.21) 一阶保持器的频率特性为 G ( jω) h 2 ) 1 (1 )( j T e T j T j T ω ω − ω − = + (3.22) 2 2 2 2 sin ( ) 1 ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + T T Gh j T T ω ω ω ω (3.23a) ∠ Gh ( jω) = tg ωT −ωT −1 (3.23b) 一阶保持器的幅频特性、相频特性如图 3.8(a)、(b)所示。为了便于与零阶保持 器比较，图中同时用虚线画出了零阶保持器的幅、相频率特性曲线。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 8
自动控制原理电子教案 图3.9—阶保持器的幅频特性、相频特性 从图3.8可以看出,一阶保持器的幅频特性较零阶的为高,复现效果好,同时 又引进较大的高频分量,一阶保持器的迟后相移也比零阶保持器的大。从保持器的 脉冲响应容易看出,零阶保持器只能较好地复现阶跃函数信号,而一阶保持器能较 好地复现速度函数信号。 3.2差分方程 321差分方程的概念 对于采样控制系统,系统中一些元件是连续式的,这些连续式元件,仍可由微 分方程或传递函数描述,但由于系统中某些地方的信号是断续的或采样的,所以 需要用差分方程或Z传递函数描述连续元件输入输出采样时刻的值之间的关系。 在离散时间系统中,信号的自变量k是离散的整型值,需要用差分方程描述系统 的动态特性 定义:差分方程由未知序列y(k)及其移位序列yk+1),yk+2)…或 y(k-1),y(k-2 以及激励x(k)及其移位序列x(k+1),x(k+2),…或 x(k-1),x(k-2),…构成。例如 k+3)-y2(k)=x(k) 3y(k+2)-2y(k+1)y(k)=x(k) 3k2y(k+2)+n2,y(k)=x(k) (3.26) y(k)-7y(k-1)+16y(k-2)-12y(k-3)=x(k) 差分方程的阶数定义为未知序列的自变量序号中最高值与最低值之差。例如 (324)、(327)是3阶差分方程,(325)、(2.26是2阶差分方程 若差分方程中的未知序列是递增方式,即由y(k)、y(k+1)、y(k+2),…等组 成的差分方程,称为前向差分方程。若差分方程中的未知序列的序号是递减方式 即由y(k)、y(k-1)、y(k-2)…等组成的差分方程,称为后向差分方程。例如 (324)~(326)是前向差分方程,(227)为后向差分方程。两种形式的差分方程描述系 统没有本质的差别。对某一离散系统,是用前向差分方程,还是用后向差分方程描 述,要根据具体情况而定 若差分方程中每一项包含的未知序列或(和)其移位序列仅以线性形式出现,则称 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 9 - 图 3.9 一阶保持器的幅频特性、相频特性 从图 3.8 可以看出，一阶保持器的幅频特性较零阶的为高，复现效果好，同时 又引进较大的高频分量，一阶保持器的迟后相移也比零阶保持器的大。从保持器的 脉冲响应容易看出，零阶保持器只能较好地复现阶跃函数信号，而一阶保持器能较 好地复现速度函数信号。 3.2 差分方程 3.2.1 差分方程的概念 对于采样控制系统，系统中一些元件是连续式的，这些连续式元件，仍可由微 分方程或传递函数描述，但由于系统中某些地方的信号是断续的或采样的，所以， 需要用差分方程或 Z 传递函数描述连续元件输入输出采样时刻的值之间的关系。 在离散时间系统中，信号的自变量 是离散的整型值，需要用差分方程描述系统 的动态特性。 k 定义：差分方程由未知序列 y(k) 及其移位序列 y(k +1), y(k + 2), L 或 y(k −1), y(k − 2), L ，以及激励 x(k) 及其移位序列 x(k +1), x(k + 2), L 或 x(k −1), x(k − 2), L构成。例如： (3.24) ( 3) ( ) ( ) 2 y k + − y k = x k 3y(k + 2) − 2y(k +1) y(k) = x(k) (3.25) ( ) ( ) 1 2 3 ( 2) 2 y k x k k k y k = + + + (3.26) y(k) − 7y(k −1) +16y(k − 2) −12y(k − 3) = x(k) (3.27) 差分方程的阶数定义为未知序列的自变量序号中最高值与最低值之差。例如 (3.24)、(3.27)是 3 阶差分方程，(3.25)、(2.26)是 2 阶差分方程。 若差分方程中的未知序列是递增方式，即由 y(k) 、 y(k +1) 、 y(k + 2) ,LL等组 成的差分方程，称为前向差分方程。若差分方程中的未知序列的序号是递减方式， 即由 、 、 ,LL等组成的差分方程，称为后向差分方程。例如， (3.24)～(3.26)是前向差分方程，(2.27)为后向差分方程。两种形式的差分方程描述系 统没有本质的差别。对某一离散系统，是用前向差分方程，还是用后向差分方程描 述，要根据具体情况而定。 y(k) y(k −1) y(k − 2) 若差分方程中每一项包含的未知序列或(和)其移位序列仅以线性形式出现，则称 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 9
自动控制原理电子教案 为线性差分方程,否则称为非线性差分方程。例如,(2.26)、(327是线性差分方程 (3.24)、(325)是非线性差分方程,因为其中包含非线性项y2(k)和y(k+1)y(k) 若差分方程中每一项的系数与离散变量k无关,则称为常系数差分方程,否则 称为变系数差分方程。例如,(3.26)为变系数线性差分方程,(324)、(3.25)为常系数 非线性差分方程,(3,27)是常系数线性差分方程 差分方程中的自变量可以是时间,但并不限于时间,根据其所描述的具体系统 而定。例如,在电路系统中,常以各节点的序号或各回路的序号为变量。 对于完全离散系统,其输入输出信号均为离散信号,这时系统无法用微分方程 或其它连续模型描述,只能用差分方程、Z传递函数等离散模型描述。下面举例说明。 例3.1实时运算的计算装置或数字控制器,它在t=kT时的输出值为y(kT) 为了计算它,可能应用了现在时刻的输入值x(kT),及取自寄存器的过去时刻的输入 值x(k-1],x(k-2)门],…,和过去时刻的输出值y(k-1)7,y(k-2)7], 假设计算程序是线性的,则可以用差分方程描述为 y(kT)=b0x(k7)+b1x(k-1)7]+…+bmx(k-m)门]-a1y(k-1)7 -a2y[(k-2)7 anyl( -n)rI y(kT)+a1y{(k-1)7]+a2y{(k-2)门]+…+any(k-n)7] box(k7)+b1x[(k-1)7]+…+bmx(k-m)门 (3.29) 式中,a1,b1为加权系数 322微分方程描述的差分化 在计算机控制系统中,被控对象往往是连续系统,一般用微分方程描述,但由 于计算机控制系统是离散系统,所以需要建立被控对象的差分方程数学模型。事实 上,连续系统的输入和输出关系可以用微分方程描述,但在离散时刻的数学关系也 可以用差分方程描述。在工程上,常常由连续系统的微分方程描述,得到等价的差 分方程描述。因此,下面介绍由微分方程描述变换为差分方程描述的方法 下面介绍两种常用的变换方法。首先介绍一种等价变换方法,然后介绍一种近 似变换方法 1.等价变换方法 首先考虑一阶线性微分方程 y(1)=Kx(1) (3.30) 设系统的采样周期是T,并设系统输入在一个采样周期内保持不变,即 x(t=x(kr) kTst<(k+lT (331) 因为采样周期T很小,所以,上述假设是合理的。这时,方程(3.30)成为 dy(r) +y()=Kx(k7) (332) 当kT≤t<(k+1)T时,方程(3.32)有一个特解 y,(0)=kx(kT (333) 它的全解的一般形式是 y(r=Ce r+Kx(kT) 其中C是积分常数。当t=kT时,得 kT y(kT)=Ce r +kx(kr) 因此, 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 10 - 为线性差分方程，否则称为非线性差分方程。例如， (2.26)、(3.27)是线性差分方程。 (3.24)、 (3.25)是非线性差分方程，因为其中包含非线性项 y 2 (k)和 y(k +1) y(k) 。 若差分方程中每一项的系数与离散变量 无关，则称为常系数差分方程，否则 称为变系数差分方程。例如，(3.26)为变系数线性差分方程，(3.24)、 (3.25)为常系数 非线性差分方程，(3.27)是常系数线性差分方程。 k 差分方程中的自变量可以是时间，但并不限于时间，根据其所描述的具体系统 而定。例如，在电路系统中，常以各节点的序号或各回路的序号为变量。 对于完全离散系统，其输入输出信号均为离散信号，这时系统无法用微分方程 或其它连续模型描述，只能用差分方程、Z 传递函数等离散模型描述。下面举例说明。 例 3.1 实时运算的计算装置或数字控制器，它在 t = kT 时的输出值为 。 为了计算它，可能应用了现在时刻的输入值 ，及取自寄存器的过去时刻的输入 值 ， ，…，和过去时刻的输出值 y(kT) x(kT) x[(k −1)T] x[(k − 2)T] y[(k −1)T]， y[(k − 2)T] ，… 假设计算程序是线性的，则可以用差分方程描述为 ( ) ( ) [( 1) ] [( ) ] [( 1) ] y kT = b0 x kT + b1 x k − T +L+ bm x k − m T − a1 y k − T [( 2) ] −a2 y k − T a y[(k n)T] −L− n − （3.28） 或 ( ) [( 1) ] [( 2) ] [( ) ] y kT + a1 y k − T + a2 y k − T +L+ an y k − n T ( ) [( 1) ] [( ) ] = b0 x kT + b1 x k − T +L+ bm x k − m T （3.29） 式中，a1，b1为加权系数。 3.2.2 微分方程描述的差分化 在计算机控制系统中，被控对象往往是连续系统，一般用微分方程描述，但由 于计算机控制系统是离散系统，所以需要建立被控对象的差分方程数学模型。事实 上，连续系统的输入和输出关系可以用微分方程描述，但在离散时刻的数学关系也 可以用差分方程描述。在工程上，常常由连续系统的微分方程描述，得到等价的差 分方程描述。因此，下面介绍由微分方程描述变换为差分方程描述的方法。 下面介绍两种常用的变换方法。首先介绍一种等价变换方法，然后介绍一种近 似变换方法。 1. 等价变换方法 首先考虑一阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) y t Kx t dt dy t τ + = (3.30) 设系统的采样周期是 T，并设系统输入在一个采样周期内保持不变，即 x(t) = x(kT) kT ≤ t < (k +1)T (3.31) 因为采样周期 T 很小，所以，上述假设是合理的。这时，方程(3.30)成为 ( ) ( ) ( ) y t Kx kT dt dy t τ + = (3.32) 当 kT ≤ t < (k +1)T 时，方程(3.32)有一个特解 y (t) Kx(kT) (3.33) p = 它的全解的一般形式是 y(t) Ce Kx(kT) t = + − τ (3.34) 其中 C 是积分常数。当t = kT 时，得 y(kT) Ce Kx(kT) kT = + − τ 因此， 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 10