16.06第26讲 频率响应分析 2003.11.5 今天的主题: 1、系统对于正弦输入的稳态响应 2、二阶系统的实例
考虑如下的实验,该实验中稳定的线性系统由正弦输入信号驱 动。 该输入信号的拉普拉斯变换为 如果G(s)是系统的传递函数,则输出量的拉普拉斯变换为
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该输出信号可写成如下形式一一 其中N(s)和D(s)是G()多项式的分子和分母。 其中-2,-2…是系统的零点,-B1,-P2…是系统的极点。 对c()进行部分分式展开可得
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则拉普拉斯逆变换是 由于系统是稳定的,系统所有的极点都位于左半平面。因此所有 的p's都具有正的实部,每一项e"都将随着时间的推移衰减到零。特 别是启动后,若我们等待的时间足够长的话,则 这是系统在频率为的正弦输入信号作用下的稳态响应
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在通常的情况下,两个留数K,和K,的值可以计算出来。回顾: 因此 且稳态响应为
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现在让我们看看G(o)项,它是“s”平面上的点ja到“G”平面 上的点G(jo)的映射。 复数G()也可以表示成实部和虚部之和的形式 或者表示成幅值为M(ω)、相角为叭(ω)的向量
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其中 此外,G(-j)与G(jo)是一对共轭复数。 将这些结果代回到方程中去,可以得到稳态响应
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那么我们将得到什么呢? 频率响应:一个稳定的线性系统,对于频率为a、幅值为A的稳 定的正弦输入信号,暂态分量最终会衰减为0,将产生频率为a、幅 值为A·M(ω),以及相移为如(ω)的稳态正弦输出信号。幅值比M(ω)和 相移叭(ω)满足表达式——一 换句话说,当输入正弦信号经过系统G(s)后,信号的幅值放大 M()倍、相移为叭(o)
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二阶系统的实例—一 无阻尼自然震荡角频率为o、阻尼比为6的二阶系统的传递函数 为 因此 这将产生幅值比 与相移 在低频段,当趋近于零时 在高频段,当趋近于无穷大时 在=时
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******客***** 频率响应图 **********客水***
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