16.06第14讲 Quanser模型和状态转移矩阵 John deyst 2003.10.6 今天的主题 1、 Quanser的状态空间模型 、状态微分方程的齐次解 3、状态转移矩阵
Quanser状态空间模型 我们现在将对 Quanser进行状态空间的建模,并且我们将用它作 为后续很多研究问题的例子。构造如下传递函数来表示 Quanser 其中输出量是机械手臂关于其标称零点位置的角度,输入量则是 电机的电压。由于阻尼很小,这里忽略不计,设为零。 定义两个状态量 而且,由传递函数我们可以得到其微分方程
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因此,状态微分方程是 而且,假设我们已知2个输出量,分别是角度和角速度。 该系统的方框图为
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让我们确定传递函数矩阵 由上一次 现在 并且 因此
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时域解的一般形式 现在,我们来研究状态空间方程在时域解的一般形式。已知向量 /矩阵微分方程 首先,我们考虑没有外力作用下的(齐次的)解,它满足方程 回顾该方程的标量形式是 具有指数形式的解 且 记住该解的形式,我们定义矩阵指数为
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其中Φ(t)称为状态转移矩阵。接下来,我们假设该解为 显然,我们知道在零时刻,Φ(t)是单位阵。同样,求导可得 而且,若将开始所设定的解代入此方程,可得 此时,转移矩阵是非常重要的。当不存在输入量时,它决定系统 如何从一个状态随时间“转化”到其它的状态。 这就是齐次方程解的一般形式
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现在,Φ(t)具有一些非常明显但很重要的性质,这些都已经在 Vande veght中得到了证明。 性质1: 性质2
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获得状态转移矩阵的一种很好的方法就是拉普拉斯变换,我们知 道 现在,定义矩阵Φ的拉普拉斯变换是指对①中的每个元素进行 拉普拉斯变换后得到的矩阵 那么,由微分方程 或者 因此
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并且这个 或者,最终地 让我们为 Quanser构造状态转移矩阵 例: 由上面可知,对于 Quanser 因此
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现在假设初始条件已知 因此 从而 现在联立这些方程可以得到 这是一个椭圆的方程,因此状态空间轨迹看起来就好像
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