16.06第12讲 状态空间建模 John deyst 2003.10.1 今天的主题 1、N阶微分方程的状态空间模型 、传递函数的状态空间模型 3、举例
我们希望能够找到一种方法,能够从任意一个n阶线性定常的 般形式的微分方程组中构造出一个n维的状态空间模型。设输出量a (标量)与输入量r(标量)之间的关系由线性定常微分方程表示。 我们定义状态量为ω及其n-1阶导数 这样,我们就得到了n个状态量(与微分方程的阶次相同)。现 在我们对x求导,直到x(n-1)
!" # $%&' ()*+,-./ # 0 123/4 56478394 5647: ;?1 &@ 4A BC D EF GHI # 458JKL71M NO PD Q 1
我们也需要xn的导数,它是 这是我们从原始的微分方程中获得的。 接着,我们在状态定义中做替换 这样,我们可以获得n个状态量和输入量之间的一阶微分方程 可用向量矩阵符号表示如下
RST D UV EV WX,YH1 Z[ N &@,\]^ EF _`YH # 4a394: _bc4defg>?hi1
而且,由于输出量是 由于我们已知A,B,C和D矩阵,则我们就能够确定状态空间 模型。 我们可以绘制出该系统的方框图,如下所示:
jk =l3/4V =lmn a de oGp& 1 _`qr/s<tuv hiw?x
例: 那么,这里就有二个状态量(二阶方程) 因此,由原始的微分方程,可得 向量/矩阵方程为 且输出量O=x1,因此
x yz E{G|}# 45}7 ~ =WX _H c4deA k3/4 ~
现在,假设我们已知一个无零点的传递函数,而不是一个微分方 程,则 这恰好是原始微分方程的传递函数,因此我们可以立即得到这个 传递函数的状态空间模型。这可以从上面的部分导出! 但是,如果存在一个零点又将如何呢?举个例子。 将其分解成两个传递函数,其中的一个仅包含极点,而另一个仅 包含零点
MN 2mn # j V # o EVWX ~_`HE# 1E_` D/ V hN #h#1 C# C, # j # 1
第一个方框就可以简单地由我们之前讨论过的状态空间模型来 表示。然而,现在输出量是x的各阶导数的线性组合。尤其 因此,在时域内我们有 或者最终 因此,零点是由C矩阵的各个元素产生
#uG_` ¡¢=:£¤¥¦ § >?1¨j MN3/4V ©D$%+ª1«C ~ N¬®| ¯°±² ~ V=de©#³´µ¶1
例: 将G(s)分解成两个传递函数 对第一个方框,我们可以获得其状态空间模型,它的微分方程是 状态量定义为 则由微分方程 因此,我们的状态微分方程是
x # O #u _`YHC UV 4&@A o= ~ V
对于第二个方框,我们有 或者在时域内 因此 让我们通过方框图来研究本系统。 零点是由状态量x2向前反馈产生的,这种向前反馈的组合由矩 阵C产生
Ol}#u | ¯°N¬® ~ ·¸¦uv§¹º»<t1 V= 4 c£¼½µ¶ E c£¼½+ª=d eµ¶1