16.06第34讲 开环和闭环行为,二阶系统范例 2003.11.26 今天的主题: 相角裕量与阻尼比 2、二阶系统模型和频域指标
1 16.06 第 34 讲 开环和闭环行为，二阶系统范例 2003.11.26 今天的主题： 1、相角裕量与阻尼比 2、二阶系统模型和频域指标
当我们在时域上对控制系统进行分析研究时,我们运用二阶系统 作为研究各种指标如超调量、上升时间、调节时间等的模型。尽管这 些指标特别针对二阶系统,但是我们也会发现对于分析更复杂的系统 它们也是很有用的。我们所作的基本假设是,对大多数系统来说,存 在一对主导极点,它们可以决定更大、更复杂系统的总的行为。我们 研究了调节时间、超调量以及峰值时间与二阶系统的无阻尼自然振荡 角频率on和阻尼比之间的关系。 同样的方式,我们可以将二阶频率响应与无阻尼自然振荡角频率 以及阻尼比联系起来,并可以推导出很多用来估计闭环系统频率响应 的指标。 首先,考虑如下具有两个实数极点的二阶系统 而且,如果我们引入单位反馈,可以得到如下根轨迹
2 当我们在时域上对控制系统进行分析研究时，我们运用二阶系统 作为研究各种指标如超调量、上升时间、调节时间等的模型。尽管这 些指标特别针对二阶系统，但是我们也会发现对于分析更复杂的系统 它们也是很有用的。我们所作的基本假设是，对大多数系统来说，存 在一对主导极点，它们可以决定更大、更复杂系统的总的行为。我们 研究了调节时间、超调量以及峰值时间与二阶系统的无阻尼自然振荡 角频率ωn和阻尼比ζ 之间的关系。 同样的方式，我们可以将二阶频率响应与无阻尼自然振荡角频率 以及阻尼比联系起来，并可以推导出很多用来估计闭环系统频率响应 的指标。 首先，考虑如下具有两个实数极点的二阶系统 而且，如果我们引入单位反馈，可以得到如下根轨迹
相应的闭环系统是 而且,我们可以立即确定与闭环系统的无阻尼自然振荡角频率和 阻尼比相应的开环增益和开环极点位置 因此,我们可以将原始的开环传递函数写成 现在,让我们根据奈奎斯特图来考虑该反馈系统
3 相应的闭环系统是 而且，我们可以立即确定与闭环系统的无阻尼自然振荡角频率和 阻尼比相应的开环增益和开环极点位置。 因此，我们可以将原始的开环传递函数写成 现在，让我们根据奈奎斯特图来考虑该反馈系统
开环系统的幅值和相位是 其中a和B角的定义如上图所示。现在,让我们研究一下-1点附 近区域内的奈奎斯特图,奈奎斯特图是 如图所示,相角裕量φ是使奈奎斯特曲线刚好通过-1点所需的相 角位移量,它由奈奎斯特图上-1点到开环传递函数幅值为1的点间的 弧线所决定的
4 开环系统的幅值和相位是 其中α 和β 角的定义如上图所示。现在，让我们研究一下-1 点附 近区域内的奈奎斯特图，奈奎斯特图是 如图所示，相角裕量φm是使奈奎斯特曲线刚好通过-1 点所需的相 角位移量，它由奈奎斯特图上-1 点到开环传递函数幅值为 1 的点间的 弧线所决定的
为了确定相角裕量,我们需要确定开环频率响应的幅值为1所对 应的特定输入频率,该频率也称为穿越(剪切)频率,因为在该点 幅值由大于1变为小于1,穿越频率用符号a表示。在手边的例子当 中,我们可以通过令开环频率响应的幅值为1来获得o的表达式 并且解出相应的二阶方程,对于它的正实数根,可以得到 因此,在穿越频率点处的开环频率响应的相位是 将其代入相角裕量方程可得,对于一个二阶闭环系统,存在着阻 尼比和相角裕量之间的直接联系 这种关系在下一页的图中予以列出
5 为了确定相角裕量，我们需要确定开环频率响应的幅值为 1 所对 应的特定输入频率，该频率也称为穿越（剪切）频率，因为在该点， 幅值由大于 1 变为小于 1，穿越频率用符号ωc 表示。在手边的例子当 中，我们可以通过令开环频率响应的幅值为 1 来获得ωc 的表达式 并且解出相应的二阶方程，对于它的正实数根，可以得到 因此，在穿越频率点处的开环频率响应的相位是 将其代入相角裕量方程可得，对于一个二阶闭环系统，存在着阻 尼比和相角裕量之间的直接联系 这种关系在下一页的图中予以列出
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如图中所示,此关系几乎是线性的,大概是 因此,譬如,如果我们希望闭环系统对于阶跃输入信号的响应与 二阶系统相似,阻尼比大约是0.5,则相角裕量必须在50度左右的范 围内。 现在让我们考虑闭环频率响应,通常,这看起来有点像 我们定义 M=谐振峰值 On=谐振峰值点所对应的频率 O=带宽 注意:幅值0.707对应于-3db
7 如图中所示，此关系几乎是线性的，大概是 因此，譬如，如果我们希望闭环系统对于阶跃输入信号的响应与 二阶系统相似，阻尼比大约是 0.5，则相角裕量必须在 50 度左右的范 围内。 现在让我们考虑闭环频率响应，通常，这看起来有点像 我们定义 M p =谐振峰值 ωp =谐振峰值点所对应的频率 ωb =带宽 注意：幅值 0.707 对应于-3db
谐振峰值M是闭环系统频率响应的最大幅值,该峰值对应的频 率记为ω,通常称为峰值频率。带宽a定义为,幅值至少是零频点 幅值的0.707倍的频率范围。 为获得峰值点的频率,我们将二阶系统的闭环频率响应写成 对频率求一阶导,令其等于零,可得 代回到幅值方程,可得 在下图中标出这些符号
8 谐振峰值M p 是闭环系统频率响应的最大幅值，该峰值对应的频 率记为ωp ，通常称为峰值频率。带宽ωb 定义为，幅值至少是零频点 幅值的 0.707 倍的频率范围。 为获得峰值点的频率，我们将二阶系统的闭环频率响应写成 对频率求一阶导，令其等于零，可得 代回到幅值方程，可得 在下图中标出这些符号
令幅值等于0.707,方程两边同时取平方,求解相应的关于带宽 与无阻尼自然振荡角频率之比的二阶方程,就可以确定系统的带宽 可得 该方程,连同穿越频率一起绘制在下图中。此外,穿越频率和带 宽之比也画在下图中。 可以观察到,带宽与穿越频率之比等于阻尼比,近似为常数 (0.8)
9 令幅值等于 0.707，方程两边同时取平方，求解相应的关于带宽 与无阻尼自然振荡角频率之比的二阶方程，就可以确定系统的带宽。 可得 该方程，连同穿越频率一起绘制在下图中。此外，穿越频率和带 宽之比也画在下图中。 可以观察到，带宽与穿越频率之比等于阻尼比，近似为常数 （0.8）