第4章习题 4.1已知系统特征方程如下,试用劳斯判据判别系统稳定性,并指岀位于右半S平面和虚轴上的特征根的 数目 s35+s4+4s3+4s2+2s+1=0 (2)D(s)=s°+3s3+5s4+9s3+8s2+6s+4=0 (3)D(s)=s3+3s4+12s3+20s2+35s+25=0 )D()=s6+s3-2s4-3s3-7s2-4-4=0 答案:(1)有两个根在右半平面,不稳定 (2)有4个根在虚轴上,临界稳定 (3)虚轴上有两个根,临界稳定 (4)有2个根在虚轴上,有2个根在右半平面,不稳定 42已知反馈系统的开环传递函数为 G(s) s2(s3+2s2+9s+10) 试用劳斯判据判别系统稳定性。若系统不稳定,指出位于右半S平面和虚轴上的特征根的数目。 解:闭环特征方程为: s5+2s4+9s3+10s2+s+2=0 s3400 102 第一列数的符号变化一次,所以有一特征根在右半平面 43已知反馈控制系统的开环传递函数为 -K s(s+250, 5+04) 当ωn=90s-,阻尼比ξ=0.2时,试确定K,为何值时系统是稳定的。 *答案:0<K,<36时系统稳定 4.4已知反馈系统的开环传递函数为 k (s)= (0.ls+1)(0.5s+l) 确定系统稳定时的k值范围。 解:闭环特征方程为 s(0.ls+1)0.5s1)+k=0 s(0.05s+06s+1)+k=0 0.05s3+06s2+s+k=0
1 第 4 章习题 4.1 已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的 数目。 （1） Ds s s s s s ( ) = + + + + += 54 3 2 4 4 2 10 （2） Ds s s s s s s ( ) = + + + + + += 654 32 3 5 9 8 6 40 （3） ( ) 3 12 20 35 25 0 5 4 3 2 D s = s + s + s + s + s + = （4） ( ) 2 3 7 4 4 0 6 5 4 3 2 D s = s + s − s − s − s − s − = 答案：（1）有两个根在右半平面，不稳定 （2）有 4 个根在虚轴上，临界稳定 (3) 虚轴上有两个根，临界稳定 （4）有 2 个根在虚轴上，有 2 个根在右半平面，不稳定 4.2 已知反馈系统的开环传递函数为 ( 2 9 10) 2 ( ) 2 3 2 + + + + = s s s s s G s 试用劳斯判据判别系统稳定性。若系统不稳定，指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的数目。 解：闭环特征方程为： 2 9 10 2 0 5 4 3 2 s + s + s + s + s + = 2 4/5 0 10 2 4 0 0 2 10 2 1 9 1 0 1 2 3 4 5 − − s s s s s s 第一列数的符号变化一次，所以有一特征根在右半平面。 4.3 已知反馈控制系统的开环传递函数为 ( 2 ) ( ) 2 2 2 n n n v s s s K G s ζω ω ω + + = 当 1 90 − = s ω n ，阻尼比ζ = 0.2 时，试确定 Kv 为何值时系统是稳定的。 *答案：0 < Kv < 36 时系统稳定。 4.4 已知反馈系统的开环传递函数为： (0.1 1)(0.5 1) ( ) + + = s s s k G s 确定系统稳定时的 k 值范围。 解：闭环特征方程为： s(0.1s +1)(0.5s +1) + k = 0 (0.05 0.6 1) 0 2 s s + s + + k = 0.05 0.6 0 3 2 s + s + s + k =
0.05 06 0.05k-0.6 0.6 k 稳定条件:k>0 0.05k-0.6 0.6 即k0.T>0 试确定闭环系统稳定时,T,K应满足的条件。 答案:当00 当T≥3, 46已知反馈控制系统的传递函数为 试确定闭环系统临界稳定时K的值 解:开环特征方程为: G(s)H(s)=10 (1+k, s) 10(1+kns) s(s-1) 闭环特征方程为 s(s-1)+10(1+kns)=0 即s2+(10kns-1)s+10=0 10 s10k-1 10 10kn-1>0.,kn>0.1稳定 当kn=0.1时,临界稳定 非最小相位系统,当速度及增量k,越大,越稳定 47已知闭环离散系统的特征方程为Dx)=24+023+2+0.36+08=0试判断系统的稳定性。 答案:临界稳定 48如图题4.8所示离散系统,采样周期T=1s,Gh(s)为零阶保持器,而 s(0.2s+1) 要求 (1)K=5时,分析系统的稳定性 (2)确定使系统稳定的K值范围。 R(t CO
2 s k k s s k s 0 1 2 3 0.6 0.05 0.6 0.6 0.05 1 − − 稳定条件： k > 0 0 0.6 0.05 0.6 > − k − 即 k 0, T > 0 试确定闭环系统稳定时，T,K 应满足的条件。 答案：当0 0 当T ≥ 3, 6 − 3 > T k 4.6 已知反馈控制系统的传递函数为 ( 1) 10 ( ) − = s s G s H s K s = 1+ h ( ) 试确定闭环系统临界稳定时 Kh 的值。 解：开环特征方程为： ( 1) 10(1 ) (1 ) ( 1) 10 ( ) ( ) − + + = − = s s k s k s s s G s H s n n 闭环特征方程为： s(s −1) +10(1+ k s) = 0 n 即 (10 1) 10 0 2 s + kn s − s + = 10 10 1 1 10 0 1 2 s s k s n − 稳定 当 = 0.1 n k 时，临界稳定 非最小相位系统，当速度及增量 n k 越大，越稳定 4.7 已知闭环离散系统的特征方程为 ( ) 0.2 0.36 0.8 0 4 3 2 D z = z + z + z + z + = 试判断系统的稳定性。 答案：临界稳定 4.8 如图题 4.8 所示离散系统，采样周期 T=1s，Gh（s）为零阶保持器，而 (0 .2 1) ( ) + Κ = s s G s 要求： （1）K=5 时，分析系统的稳定性； （2）确定使系统稳定的 K 值范围。 Τ R(t) G (s) h G(s) e(t) _ C(t) ∴0 0, kn > 0.1
解:(1)G(sG()=0-e) (0.2+1) (0.2s+1) 闭环传递函数为,GG(=2) 1+GG(二) k[(0.8+02e-3)z-1.2e-5+02] (z-1(x-e-3)+k[(0.8+02e)z-1.2e-3+0.2 则D()=(z-1)(x-e-)+k[(0.8+0.2e-3)2-1.2e+0.2] 2+[k(0.8+02e-)-1-e-]+e-3+k(0.2-1.2e3) 当k=5时 D()=z2+32+1-5e-5 由于D(1)>0 D(-1)0 由于k(1-e)>0,只要k>0 第二个条件:D(-1)=2+2e3-k(06+14e-)>0 k(06+14e)<2+2e5 第三个条件 即使e5+k(0.2-12e3)<1-e-3=0.9932 k<5.17 综合上三个条件,可得要使系统稳定,则0<k(3.3 49如图题49所示采样控制系统,其中,采样周期T=0.5s 零阶 K 保持器 图题49 (1)求闭环系统的脉冲传递函数 (2)写出系统的差分方程 (3)确定系统稳定的K值范围 解:(1)闭环系统的传递函数为 k[(T-T+e. r-e.(T+r)+] T (二-1)(二-e)+k[(T )z-e(T+r)+] 当r=1,T=0.5时 闭环传递函数为
3 图题 4.8 解：（1） (0.2 1) (1 ) ( ) ( ) 2 + − = − s s k e G s G s TS h ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = − − (0.2 1) 1 ( ) (1 ) 2 1 s s GhG z k z Z 闭环传递函数为：1 ( ) ( ) G G z G G z h h + = ( 1)( ) [(0.8 0.2 ) 1.2 0.2] [(0.8 0.2 ) 1.2 0.2] 5 5 5 5 5 − − + + − + + − + − − − − − z z e k e z e k e z e 则 ( ) ( 1)( ) [(0.8 0.2 ) 1.2 0.2] 5 5 5 = − − + + − + − − − D z z z e k e z e = [ (0.8 0.2 ) 1 ] (0.2 1.2 ) 2 −5 −5 −5 −5 z + k + e − − e z + e + k − e 当 k=5 时， 2 5 ( ) 3 1 5 − D z = z + z + − e 由于 D(1)>0 D(-1) − D k e 由于 (1 ) 0 5 − > − k e ，只要 k > 0 第二个条件： ( 1) 2 2 (0.6 1.4 ) 0 5 5 − = + − + > − − D e k e 5 5 (0.6 1.4 ) 2 2 − − ⇔ k + e < + e ⇔ k < 3.3 第三个条件： 0 2 a < a 即使 (0.2 1.2 ) 1 0.9932 5 5 5 + − < − = − − − e k e e ⇔ k < 5.17 综合上三个条件，可得要使系统稳定，则0 < k〈3.3 4.9 如图题 4.9 所示采样控制系统，其中，采样周期 T=0.5s。 图题 4.9 （1） 求闭环系统的脉冲传递函数； （2） 写出系统的差分方程； （3） 确定系统稳定的 K 值范围。 解：（1）闭环系统的传递函数为： ( 1)( ) [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − + − + ⋅ − + + − + ⋅ − ⋅ + + − − − − − z z e k T e z e T k T e z e T T T T T T 当τ = 1,T = 0.5时， 闭环传递函数为： s(s+1) T 零 阶 K 保持器 r(t) e(t) c(t)
k(0.5-1+e2)2-e2.1.5+1] (二-1)(二-e2)+k[(0.5-1+e2)z-e2.1.5+l k(0.11=+0.09) 2+(0.11k-161)+0.09k+06 (2)c(k+2)+(0.11k-16)c(k+1)+(0.09k+0.61)=0.11k(k+1)+0.09k(k) (3)0<k<4.36 4.10已知系统的状态方程为 =-2x1 试用李雅普若夫稳定判据判断系统的稳定性。 *答案:V(x)=x1+-x x)=2x+x28=2x1x2+x2(-2x1-x2)=-x2半负定 所以平衡状态是大范围内渐近稳定的 4.11已知系统状态方程为 k=0-10x+02 当Q1时,P=?若选Q为正半定矩阵,Q=?对应P=?并判断系统稳定性 4.12设线性定常离散系统状态方程为 x(k+1)=001x(k 试求使系统渐进稳定的K值范围 *答案:0<K<2时系统渐进稳定 4.13非线性系统线性部分的极坐标图,非线性部分的负倒幅特性如图题413所示。试判断系统是否稳 定,是否存在自激振荡。 图题43 a 0←X/a R b) ∞←X/a v=I G(a) G(a)/-1 No(X/a)
4 ( 1)( ) [(0.5 1 ) 1.5 1] [(0.5 1 ) 1.5 1] 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − − + − + − ⋅ + − + − ⋅ + − − − − − z z e k e z e k e z e (0.11 1.61) 0.09 0.61 (0.11 0.09) 2 + − + + + = z k z k k z （2）c(k + 2) + (0.11k -1.61)c(k +1) + (0.09k + 0.61) = 0.11kr(k +1) + 0.09kr(k) (3) 0 0 试求使系统渐进稳定的 K 值范围。 *答案：0 < K < 2 时系统渐进稳定。 4.13 非线性系统线性部分的极坐标图，非线性部分的负倒幅特性如图题 4.13 所示。试判断系统是否稳 定，是否存在自激振荡。 图题 4.13 I m I m I m ϖ = ∞ I m ϖ = ∞ ϖ = ∞ ϖ = ∞ Re Re Re Re 0 0 0 0 ∞ ← X / a X / a ↑ ∞ ∞ ← X / a a a a • • ( / ) 1 N0 X a ( / ) 1 N0 X a − ( / ) 1 0 N X a − ( / ) 1 0 N X a − b v = Ι v = Ι v = v = Ι Ⅱ Ⅱ X / a ↑ ∞ G( jϖ ) G( jϖ ) G( jϖ ) G( jϖ ) ( ) a ( ) d ( ) b ( ) c
*答案(a)存在自激振荡(b)存在自激振荡c)a点是自振点b不是自振点(d)不稳定 414已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= (S+1)(0.1s+1) ,用奈式判据判断闭环系统的稳定性 答案:稳定 4.15已知单位反馈系统开环传递函数为 K G(s)= (1+0.1s)(+0.5s)(1+s) 试求当K为何值时,闭环系统稳定。 *答案:K=20时,临界稳定,020时,不稳定 4.16已知单位反馈系统的开环传递函数为 K s-1 用奈氏判据判断系统的稳定性。 答案:当k≥1时,稳定 当0<k<1时,不稳定 当k<0时,不稳定 4.17单位负反馈系统的开环对数幅频特性渐进线如图题417所示。 -20 db/dec -40 db/dec 20 db/dec 0.10.2 -40 db/dec 图题4.17 (1)写出系统开环传递函数和频率特性表达式 (2)判别闭环系统的稳定性; 答案:(1)G(s)= 2(1+5s) s(1+10s)(+0.25s) (2)稳定 4.18设单位反馈控制系统的开环传递函数为 as+I 试确定使相位裕量y=45°的a值。 答案:a=0.786 4.19如图题419所示非线性系统,分析系统稳定性和自激振荡的稳定性,并确定稳定自激振荡的振幅和 频率
5 *答案（a）存在自激振荡(b)存在自激振荡 （c）a 点是自振点,b 不是自振点 （d）不稳定 4.14 已知单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1)(0.1 1) 10 ( ) + + = s s G s ,用奈式判据判断闭环系统的稳定性。 答案：稳定 4.15 已知单位反馈系统开环传递函数为 (1 0.1 )(1 0.5 )(1 ) ( ) s s s K G s + + + = 试求当 K 为何值时，闭环系统稳定。 *答案： K = 20 时，临界稳定，0 20 时，不稳定 4.16 已知单位反馈系统的开环传递函数为 1 ( ) − = s K G s 用奈氏判据判断系统的稳定性。 答案：当 k ≥ 1时，稳定 当0 < k < 1时，不稳定 当 k < 0时，不稳定 4.17 单位负反馈系统的开环对数幅频特性渐进线如图题 4.17 所示。 1 4 0.1 0.2 L(w) w -20 db/dec -40 db/dec -20 db/dec -40 db/dec 图题 4.17 （1）写出系统开环传递函数和频率特性表达式； （2）判别闭环系统的稳定性； 答案： （1） (1 10 )(1 0.25 ) 2(1 5 ) ( ) s s s s G s + + + = （2）稳定 4.18 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 2 1 ( ) s as G s + = 试确定使相位裕量γ ＝４５ 0 的 a 值。 答案：α = 0.786 4.19 如图题 4.19 所示非线性系统，分析系统稳定性和自激振荡的稳定性，并确定稳定自激振荡的振幅和 频率
[+ 图题4.19 答案:D=,8M 420如图题420所示双位继电器非线性系统,其中,a=1,M=3,分析自激振荡的稳定性,并确定稳定自 激振荡的振幅和频率。 s(s+1)(s+2) 图题4.20 答案:=√2,A 2 42Ⅰ如图题421所示非线性系统,试用描述函数法分析系统自激振荡的稳定性,并确定自激振荡的振幅 和频率。 图题421 解:Go)=-10 jo(+1) 2+1 N(A) 46 (2+1)o 解得:=4.97 A=0.5 422已知非线性控制系统结构如图题422所示。为使系统不产生自振,试利用描述函数法确定继电特 性参数a,b的值。 3 o. &st lys+ly
6 4 1 2 s s( ) + 0 M -M 图题 4.19 答案： π ω M A 8 = 1, = 4.20 如图题 4.20 所示双位继电器非线性系统，其中，a=1，M=3，分析自激振荡的稳定性，并确定稳定自 激振荡的振幅和频率。 4 ss s ( )( ) + + 1 2 0 M -M -a a 图题 4.20 答案： 3 2 ω = 2, A = 4.21 如图题 4.21 所示非线性系统，试用描述函数法分析系统自激振荡的稳定性，并确定自激振荡的振幅 和频率。 图题 4.21 解： j (j 1) 10 (j ) + = ω ω G ω 1 10 Re 2 + − = ω (ω 1)ω 10 Im 2 + − = b a A a j N(A) 4b 4 1 π 2 2 π − = − − − 由 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − = − − + − b a A a b ( 1) 4 10 1 4 10 2 2 2 2 π ω ω π ω 解得：ω = 4.97 A = 0.5 4.22 已知非线性控制系统结构如图题 4.22 所示。为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特 性参数 a,b 的值。 ( 1) 10 s s + − ( )( ) 0.8 1 1 3 s s + s + e c 0 a r u b
图题422 答案:a>b 423如图题423所示非线性系统,已知非线性环节的描述函数为NA)=3,分析系统自激振荡的稳 定性;若自激振荡稳定,确定自激振荡的振幅和频率。 s(s+1)(s+2) 答案:A=√2 424非线性系统结构如图题424所示,分析系统运动并计算自振参数 图题4.24 *答案:输出端的振幅为:X=12.72频率=1 425非线性系统的方框图如图题425所示。试绘制初始条件为c(0)=-3,c(0)=0的相轨迹以及对应的 时间响应曲线。并讨论饱和非线性特性对系统暂态响应指标的影响。 s(s+1 图题425 *答案 426设系统如图题4.26所示,假设系统仅受初始条件作用,试画e-e平面上的相轨迹 ·
7 图题 4.22 *答案： a b 3π 8 > 4.23 如图题 4.23 所示非线性系统，已知非线性环节的描述函数为 2 4 3 N(A) = A ，分析系统自激振荡的稳 定性；若自激振荡稳定，确定自激振荡的振幅和频率。 答案： A = 2 4.24 非线性系统结构如图题 4.24 所示，分析系统运动并计算自振参数。 图题 4.24 *答案：输出端的振幅为： X = 12.72 频率ω = 1 4.25 非线性系统的方框图如图题 4.25 所示。试绘制初始条件为 (0) 3, (0) 0 . c = − c = 的相轨迹以及对应的 时间响应曲线。并讨论饱和非线性特性对系统暂态响应指标的影响。 图题 4.25 *答案： 4.26 设系统如图题 4.26 所示，假设系统仅受初始条件作用，试画 . e − e平面上的相轨迹。 ⊗ − ( ) 1 10 s s + e c 2 0 r = 0 2 + • s 1 ⊗ ⊗ − + + s r e 1 c . M c −M 0 ( 1 )( 2 ) 1 s s + s + ⊗ − ( )2 1 10 s s + e c 2 0 1 r = 0 0 0 1 1 1 2
图题426 *解:(1)求微分方程:由结构图知 = =-&&=- 当e≠0时 Me>o 0 当e=0时,&-1-認。其中e=0为开关线。 (2)求相轨迹 当e>0时, =-M &&e-md& =-2M+c 可见,在e>0区域内,相轨迹是开口向左的抛物线,顶点在e轴上。 当e<0时,同理可得 &=2Me+C2 相轨迹是一条开口向右的抛物线,顶点在e轴上。 当e=0时,&-1-認, 此时相轨迹在开关线上,u发生突跳。设突跳时刻为b,将上式在b时刻积分 l 由于u跳跃,幅值为有限值±2M,所以 udt=0 改0)-0)=-[u(t)-(0) △40)=-△a(0) 当e由负向正运动穿过开关线时 △(0)=2M 所以在开关线上 2M &0 △0) 相轨迹图 2M&0 (2)由上面的分析可画出相轨迹,如图所示,相轨迹在开关线上有幅度为2M的跳跃,当必0时,相 轨迹下跳,当&0时,相轨迹上跳,最终收敛于坐标原点。 427试绘制图题427所示系统的c-c相平面图,并分析系统运动特性。初始条件为c(0)=0,c(0)=2。 K=1 图题4.27
8 图题 4.26 *解：（1）求微分方程：由结构图知 u = c && e = −c − c& e&= −c&− c &&= −c&− u e &&= −c&− u&= −u − u& 当e ≠ 0 时， u&= 0 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 0 M e M e e && 当e = 0 时，&e&= −u − u&。其中e = 0 为开关线。 （2） 求相轨迹： 当e > 0 时， e &&= −M M de de e = − & & e&de&= −Mde& 1 2 e& = −2Me + c 可见，在e > 0 区域内，相轨迹是开口向左的抛物线，顶点在e 轴上。 当e ∆ = 2 0 2 0 ( )0 M e M e e t & & & 相轨迹图 （2）由上面的分析可画出相轨迹，如图所示，相轨迹在开关线上有幅度为 2M 的跳跃，当e&> 0 时，相 轨迹下跳，当e&< 0 时，相轨迹上跳，最终收敛于坐标原点。 4.27 试绘制图题 4.27 所示系统的c− c . 相平面图，并分析系统运动特性。初始条件为 (0) 0, (0) 2 . c = c = 。 图题 4.27 ⊗ − s e 1 c K = 1 2 0 1 • e& e 0
*解:由结构图知 &={2e-11 &={-2c-1≤c≤1 c+l c1时,&-c-1 积分得+(c+1)2=6 相轨迹是圆心在点(0,-1)半径为√6的圆弧 当c<-1时,&=-C+1 同理积分得+(c-1)2=6 相轨迹是圆心在点(0,1)半径为√6的圆弧 整个相轨迹形成闭和的环形,如图所示。说明系统运动为等幅振荡,且和初始条件有关
9 *解：由结构图知 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 1 1 2 1 1 1 1 e e e e e e c && 又e = −c 所以 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = 1 1 2 1 1 1 1 c c c c c c c && 由初始条件 (0) 0, (0) 2 . c = c = 积分，当 −1 ≤ c ≤ 1时， c &&= −2c c&dc&= −2cdc 得 2 4 2 2 c& = − c + 1 4 2 2 2 + = c& c 相轨迹为一椭圆，且 当c =1时，c&= ± 2 当c = −1时，c&= ± 2 当c >1时，c &&= −c −1 积分得 ( 1) 6 2 2 c& + c + = 相轨迹是圆心在点（0，-1）半径为 6 的圆弧。 当c < −1时，c &&= −c +1 同理积分得 ( 1) 6 2 2 c& + c − = 相轨迹是圆心在点（0，1）半径为 6 的圆弧。 整个相轨迹形成闭和的环形，如图所示。说明系统运动为等幅振荡，且和初始条件有关。 c 0 c& −1 1 − 2 2
