量的长度满足如下性质: 1°|a20:且|l=0a=0:(正定性) ka=|k(k∈R)(齐次性) a,B)≤kal:( Cauchy不等式) a1∑a1∑b2 4P+川≤l+f:(三角不等式) (1°,2°的证明用定义;4°利用3°来证明。3°证明如下) 证明当a,B线性相关时,则存在k∈C,使得β=ka或a=kB.若B=ka则 (a, B)=ka, ka)=k(a, a)=ka, a) aB =a, aXB, B= k(a, a)2=k (a, ay 对于a=B类似可证。故当a,B线性相关时,|(a,B)=|: 设a,B线性无关,则M∈R,y=a+1B≠日,由性质ⅲ),(y,y)=(+1,a+1) 0,即(a,a)+2(a,B)+(B,P2>0,即二次实系数方程 (aa)+2a,px+(B,B2=0没有实根故4a,B)2-4(aaNB,B)<0,于是Ka, 当a≠O,B≠θ时 02y≤1.于是引入如下定义: 定义5(向量的夹角)对于a,B∈R",当a≠0,B≠0时,定义a,B的夹角为 (a,B) p=arccos aB (0≤q≤丌) 若(a,B)=0,则称a与B正交,记为a⊥B,这时g= 性质: 1)b⊥a,a∈R84 向量的长度满足如下性质： 1º   0 ；且  = 0  = ；（正定性） 2º k = k  ;(k  R) （齐次性） 3º ,    ； （Cauchy 不等式） 即    = = =  n i i n i i n i aibi a b 1 2 1 2 1 4º  +    +  ； （三角不等式） （1º，2º的证明用定义；4º利用 3º来证明。3º证明如下） 证明 当 , 线性相关时，则存在 k C ，使得  = k 或  = k . 若  = k 则 , = , k = k , = k ,   , , , , 2 2 = = k = k 对于  = k 类似可证。故当 , 线性相关时， , =   ； 设 , 线性无关，则 t R， =  + t   ，由性质ⅲ），  , =  + t, + t ＞ 0 ， 即 2 , + 2 , t + , t ＞ 0 ，即二次实系数方程 2 , + 2 , t + , t =0 没有实根,故 4 , 4 , , 2 − ＜0，于是 ,  ＜   ■ 当   ,   时， 1 ,      . 于是引入如下定义： 定义 5（向量的夹角）对于 n ,  R ，当   ,   时，定义 , 的夹角为：      , = arccos ，(0     ) 若 , = 0 ，则称  与  正交，记为  ⊥  ，这时 2   = . 性质： 1） n  ⊥,  R ;