2)对于a,B∈R",若a⊥B,则|+|2=1k+.(勾股定理 长度为1的向量称为单位向量。非零向量a≠的单位化:ma,几何意义:同方向 上的单位向量。 正交向量组:两两正交的一组非零向量:标准正交向量组:由单位向量组成的正交向量组。 定理7若a1a2,…Om是正交向量组,则a12a2,…,am线性无关 证明设k1a1+k2a2+…+knam=6.用a1与两边作内积得: (a,ka1+k2a2+…+knxm})=(a1,0)=0(=1.2…,m) 由于a1a2…;an正交,即得:k,a,ax)=0,而(a1,a1)≠0,于是k=0.故无关。 正交基:由正交向量组构成的向量空间的基 标准正交基:由标准正交向量组构成的向量空间的基。 定理8在R"中,若a12a2,…,an线性无关(m≥2),则a12a2,…an与某个正交向量组 月,B2,…,Bn等价。且a1…a,与B1…B1等价(2≤t≤m) 证明令B=a1:B2=a2+kB1(k1为待定系数),要使B2⊥B1,则有求成立 (B,B2)=(B,a2+k1B)=(月B,a2)+k1(B1,B)=0 B2a2) 由于月=a1≠0(线性无关),故(1,B)≠0,从而取k=VB,B)·又从上式可得 a1=B1,a2=B2-kB1 表明a1,a2与B1,月2等价 般已求得正交向量组B1,…,B-1与a12…,a1-1等价(2≤≤m).令85 2) 对于 n ,  R , 若  ⊥  ，则 2 2 2  +  =  +  .（勾股定理） 长度为 1 的向量称为单位向量。非零向量   的单位化：   1 ，几何意义：同方向 上的单位向量。 正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组。 定理 7 若    m , , , 1 2  是正交向量组，则    m , , , 1 2  线性无关。 证明 设 k11 + k2 2 ++ km m =  . 用  i 与两边作内积得： i ,k11 + k22 ++ km m = i , = 0 (i = 1,2,  ,m) . 由于    m , , , 1 2  正交，即得： ki i ,i = 0 ，而 i ,i  0 ，于是 ki = 0 . 故无关。 ■ 正交基：由正交向量组构成的向量空间的基； 标准正交基：由标准正交向量组构成的向量空间的基。 定理 8 在 n R 中，若    m , , , 1 2  线性无关 (m  2) ，则    m , , , 1 2  与某个正交向量组    m , , , 1 2  等价。且  t  t , , , , 1  与 1  等价 (2  t  m) 证明 令 1 =1 ；  2 2 11 = + k （ 1 k 为待定系数）， 要使  2 ⊥ 1 ，则有求成立 1 , 2 = 1 ,2 + k11 = 1 ,2 + k1 1 ,1 = 0 . 由于 1 =1   （线性无关），故 1 ,1  0 ，从而取 1 1 1 2 1 , ,     k = − 。又从上式可得 1 = 1 ，2  2 11 = − k . 表明 1 2 1 2  , 与 , 等价。 一般已求得正交向量组 1 1 , ,    t− 与 1 1 , ,   t− 等价 (2  t  m) . 令