2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 第7讲定积分的应用综合例题 7.1定积分应用的两种思想 定积分应用问题的特征 解决定积分应用问题的两种思路: 元素相加法:利用定积分定义一个量。 分小取近似 fsx 求和取极限:1=∑/(5)Ax=f(x 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其徽分的方法。 分小取微分:M≈dI=f(x)x 积分求增量:=f(x)x=F(b)-F(a) 7.2定积分在几何方面的应用 7.2.1平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积D={(x,y)≤x≤b,(x)≤y≤g(x) A=Tg(x)-f(x)]x 注:若连续函数f(x)在区间ab上变号,则A=/(x)表示正负面积的代数和,有时 称为代数面积。 例71求y=与y=x+-围成的面积 【解】由2,解得交点a=-1,b=3。A=[x+÷-x 16 y=x+- 例72求非负常数a,使y=x-x2与y=ax所围封闭区域之面积为 【解当0<a<1时,(x-x2-am)d= a= <0(舍 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 第 7 讲 定积分的应用 综合例题 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分应用问题的特征： z 解决定积分应用问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ( )i i ∆I ≈ f ξ ∆x ; 求和取极限: ∑ ∫ = ∆ = = → b a n i i i I lim f ( ) x f (x)dx 1 0 ξ λ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ∆I ≈ dI = f ( ) x dx ; 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) . b a = = − ∫ 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} [ ] ∫ = − b a A g(x) f (x) dx 。 注：若连续函数 在区间 上变号，则 表示正负面积的代数和，有时 称为代数面积。 f (x) [a,b] ∫ = b a A f (x)dx 例 7.1 求 2 2 x y = 与 2 3 y = x + 围成的面积. 【解】 由 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = 2 3 2 2 y x x y ，解得交点 a = −1,b = 3 。 3 16 2 2 3 3 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + − ∫− dx x A x 。 例 7.2 求非负常数 a ，使 与2 y = x − x y = ax 所围封闭区域之面积为 4 9 。 【解】 当0 < a <1时， 4 9 ( ) 1 0 2 − − = ∫ −a x x ax dx ， 0 2 3 1 3 a = − < （舍） 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805