2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 当a21时,」(x-x2-ax9 1+ 2.参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 L:{=0)(≤4s确定,其中0)0连续可号,02,则区域的面积 y=y(1) 为A=y()x()d。 例73求椭圆+=1围的区域的面积 【解】解法一第一象限部分的边界为 0≤x≤3, A=4 x dx=242 cos tdt=6T 解法二椭圆。+个4=1的参数方程为 x=3cost,y=2sint,0≤t≤ A=4yt=4(d(0=423n(-3=6r 3极坐标系下区域的面积 设区域D为(x= p cos p,y= psin),D=(x,y)≤g≤B0≤p≤p()} 则其面积为A=nlp(k 例74求心形线r=a(1+cosq)(a>0)所围的面积 解】4=1"r(oMe=r(oko 4a cos'ydo=8a2cos* tdr 例75已知曲线y=a√x(a>0)与曲线y=ln√x在点(x,y)处有公切线。 (1)求常数a及切点之坐标值 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 2www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 当 a ≥1时， 4 9 ( ) 0 1 2 − − = ∫ −a x x ax dx ， 3 2 3 a =1+ . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 ( ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = = α t β y y t x x t L ( ) ( ) : )确定, 其中 连续可导, , 则区域的面积 为 。 x(t), y(t) y(t) ≥ 0 ∫ = ′ β α A y(t)x (t)dt 例 7.3 求椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 围的区域的面积. 【解】解法一 第一象限部分的边界为 9 , 0 3 3 2 2 y = − x ≤ x ≤ , π π 9 24 cos 6 3 2 4 2 0 2 1 0 2 = − = = ∫ ∫ A x dx tdt 。 解法二 椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 的参数方程为 4 3cos , 2sin , 0 π x = t y = t ≤ t ≤ ， ∫ ∫ = = 0 2 3 0 4 4 ( ) ( ) π A ydx y t dx t 4 π 2sin ( 3sin ) 6π 0 2 = − = ∫ t t dt 3.极坐标系下区域的面积 设区域 D 为（ x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ ）， D = {(x, y)α ≤ϕ ≤ β,0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}， 则其面积为 ( ) ∫ = β α A ρ ϕ dϕ 2 2 1 。 例 7.4 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)所围的面积. 【解】 ( ) ∫ ∫ = = π π ϕ ϕ ϕ ϕ 0 2 2 0 2 ( ) 2 1 A r d r d 2 2 0 2 4 0 2 4 2 3 8 cos 2 4a cos dϕ a tdt πa ϕ π π = = = ∫ ∫ 。 例 7.5 已知曲线 y = a x （ a > 0）与曲线 y = ln x 在点( , ) 处有公切线。 0 0 x y (1)求常数 a 及切点之坐标值 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805