2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (2)求上述二曲线与x轴所围图形的面积 【解】(1)由a /x=ln√x,解得a=e,切点为(e,1) 2 2 (2)面积为A=a√xdx-.ln√xdx=2e2-e2 7.12旋转体的体积 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法) 平面区域 D=(x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x)绕x轴旋转生成的旋转体的体积为 V:=r/(x)dr 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法)平面区域 D={x,y)asx≤b,0≤y≤f( 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为V,=2af(x) 例.6求由曲线y=√2-x2,y=√x及y轴所围平面区域绕x轴及绕y轴旋转生成的旋 转体的体积 【解】F1=x2-x)-=x, -2(-x2-k=202-2 例77设常数0<a<1,直线y=ax与抛物线y=x所围成图形的面积为A,他们与宜 线x=1所围成的图形面积为A (1)试确定a的值,使A1+A2达到最小,并求出最小值 (2)求该最小值所对应的图形绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】(1)4=(ax-x2)=a A=∫(x-axkh 326 A=A+42=1a-1 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 3www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (2)求上述二曲线与 x 轴所围图形的面积 【解】（1）由 0 2 0 1 2 1 x x a = ， 0 0 a x = ln x ，解得 ，切点为（ ） −1 a = e ,12 e (2) 面积为 A a xdx xdx e e ∫ ∫ = − 2 2 0 1 ln 2 1 2 1 3 2 2 2 = e − e − 2 1 6 1 2 = e − 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x)}绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫ = b a x V f (x)dx 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫ = b a y V 2πx f (x)dx 例 7.6 求由曲线 y = 2 − x , y = x 2 及 轴所围平面区域绕 轴及绕 轴旋转生成的旋 转体的体积. y x y 【解】 π [ ] π 6 7 (2 ) 1 0 2 = − − = ∫ V x x dx x ， π ( ) π 15 20 2 22 2 2 1 0 2 − = − − = ∫ V x x dx y 例 7.7 设常数0 < a <1，直线 y = ax 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们与直 线 所围成的图形面积为 。 2 y = x A1 x =1 A2 （1） 试确定 a 的值，使 达到最小，并求出最小值； A1 + A2 （2） 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】（1） A ax x dx = a ∫ = − 0 2 1 ( ) 3 6 1 a ， 3 1 2 2 6 1 3 2 1 ( ) a a A x ax dx a = − = − + ∫ 3 1 2 1 3 1 3 A = A1 + A2 = a − a + , 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805