2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 A=a 0,当 时 A取到最小值A()= (2)用小圆台法 z(=)2-(x2)x-=z(x2)2-(=)x 例7.8求曲线y=lnx,(2≤x≤6)上的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段y=lnx,(2≤x≤6)的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6及此曲线段 所围平面图形的面积最小。 【解】设切点为x,则切线方程为y=-(x-x)+lnx,该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积为 S(o)=L[lno+-(x-xo)-Inx]dx =4In x +--6In 6+2In 2 由S(x0)=0,得x0=4。又有 S(2)=4ln2+8-6ln6+2ln2, S(x0)=8ln2+4-6ln6+2ln2, S(6)=4ln6+x-6ln6+2ln2, 所以S(x0)最小,故所求切线方程为y=ln4+:(x-4) 例79过点(10)作曲线y=√x-2的切线,该切线与上述曲线及x轴围成一平面图形A。 (1)求A的面积; (2)求A绕x轴旋转一周所成旋转体体积。 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 4www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2 1 A′ = a − ， A′′ = 2a > 0 ，当 2 1 a = 时， A 取到最小值 6 2 3 1 ) 2 1 A( = − 。 （2） 用小圆台法 ∫ ∫ − − − 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ) ] 2 ) ( ) ] [( ) ( 2 [( dx x x dx x x π π π 30 2 +1 = 。 例 7.8 求曲线 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 上的一条切线，使该切线与直线 x = 2, x = 6 所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 的一条切线，使该切线与直线 x = 2, x = 6 及此曲线段 所围平面图形的面积最小。 【解】设切点为 x0 ，则切线方程为 0 0 0 ( ) ln 1 x x x x y = − + ，该切线与直线 x = 2, x = 6 所围成平面图形面积为 ∫ = + − − 6 2 0 0 0 0 ( ) ln ] 1 ( ) [ln x x x dx x S x x 6ln 6 2ln 2 16 4ln 0 = 0 + − + x x 由 ( ) 0 ，得 。 又有 S′ x0 = x0 = 4 6ln 6 2 ln 2, 3 8 (6) 4 ln 6 ( ) 8ln 2 4 6ln 6 2 ln 2, (2) 4 ln 2 8 6ln 6 2 ln 2, 0 = + − + = + − + = + − + S S x S 所以 ( ) 最小，故所求切线方程为 0 S x ( 4) 4 1 y = ln 4 + x − . 例 7.9 过点(1,0)作曲线 y = x − 2 的切线，该切线与上述曲线及 x 轴围成一平面图形 A 。 （1）求 A 的面积； （2）求 A 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积。 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805