解显然函数f(xy在区域{xyx2+y2≠0}上连续,所以只要考虑函 数∫(x,y)在原点的连续性。由|x2y|x(x2+y2),得到 所以 m x y 即函数在原点也连续。因此函数f(x,y)在平面上点点连续。 11.设f()在区间(a,b)上具有连续导数,D=(a,b)×(a,b)。定义D上的 函数 f(x)-f(y) ≠y, F(x,y) x= y 证明:对于任何c∈(a,b)成立 lim F(x, y)=f( 证由题设,利用 Lagrange中值定理f(x)-f(y)=f()(x-y),其中ξ介 于x和y之间。所以 m0(xy)=xm。()=f(c), lim F(x, y)=lim f(x)=f(c) 综合上面两式可得 lim F(x, y)=f(c) 12.设二元函数f(x,y)在开集DcR2内对于变量x是连续的,对于变 量y满足 Lipschitz条件 其中(x,y),(x,y")∈D,L为常数(通常称为 Lipschitz常数)。证明 f(x,y)在D内连续 证假设(xn,)∈D,由于函数对于变量x是连续,vE>0, 30>0.,Vx(x-xk<a),成立 f(x, yo)-f(o, yo)<8解 显然函数 f x( , y)在区域{ } 2 2 ( , x y) x + y ≠ 0 上连续，所以只要考虑函 数 f x( , y)在原点的连续性。由 2 1 2 | | | | ( 2 2 x y x ≤ x + y )，得到 2 2 2 1 | | 2 x y x x y ≤ + ， 所以 ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y → = 2 2 2 ( , ) (0,0) lim 0 x y x y → x y = + ， 即函数在原点也连续。因此函数 f x( , y)在平面上点点连续。 11．设 f (t)在区间(a,b)上具有连续导数，D = (a,b) × (a,b) 。定义 上的 函数 D ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b)成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 证 由题设，利用 Lagrange 中值定理 f x( ) − f ( y) = f '(ξ )(x − y) ，其中ξ 介 于 x和 y 之间。所以 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) lim '( ) ( ) x y c c x y c c x y F x y f ξ f c → → ≠ = = ′ , ( , ) ( , ) lim ( , ) lim '( ) ( ) x y c c x c x y F x y f x f c → → = = = ′ , 综合上面两式可得 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 是连续的，对于变 量 x y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤L | y'− y′′ |， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 f (x, y)在D内连续。 证 假设 ( , x y 0 0 )∈D ，由于函数对于变量 x 是连续， ∀ > ε 0 ， 0 ∃ > δ 0,∀x x (| − x |< δ )，成立 0 0 0 f ( , x y ) − f (x , y ) < ε 。 8