0且 <v≤ f(x,y)={-2(2x2-y) 0且x2 2x2 其它点 在原点不连续,而在其它点连续。 证设x>0,(x)=2(x-x)=1,所以当点(xy沿y=x2(x>0)趋 于原点时函数f(x,y)的极限为1,而当点(x,y)沿x轴趋于原点时函数 f(x,y)的极限为0,所以函数f(x,y)在原点不连续 对于函数f(x,y)在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线 y?NN=+2(x>0) 上的情况(因为在除去上述曲线和原点的区域上函数显然连续)。 设x>0。在(x1)=(2)点,由于 2(y--x2) lim f( m =0=f(x0,y), lim f(x, y)=0=f(xo, yo), 所以函数∫(xy)在(xn,x)=(xn,x)连续。同理可知函数f(x,y在 (xn,y)=(xn,2x2)也连续。 在(x0,y)=(x,x)点,由于 mf(xy=1m.2-2=2-h=1=x,y), 2(y--x2)2(x2-x2) lim f(x,y)= lim =1=f(x0,y), 所以函数f(x,y)在(x0,y)=(xn,x2)也连续 综上所述,函数f(x,y)除了在原点不连续,在其它点都连续 10.讨论函数 y2≠0, 的连续范围⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > < < ⎟ > < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 其它点 且 且 0, (2 ), 0 2 , 1 , 2 1 , 0 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y x x y x x x y x x f x y 在原点不连续，而在其它点连续。 证 设 x > 0， 2 f x( , x ) = 2 2 2 2 1 1 2 x x x ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎝ ⎠ ，所以当点( , x y)沿 趋 于原点时函数 的极限为 1，而当点 2 y x = (x > 0) f x( , y) ( , x y)沿 轴趋于原点时函数 的极限为 0，所以函数 在原点不连续。 x f x( , y) f x( , y) 对于函数 f x( , y)在其它点的连续性只要考虑函数在下述曲线 2 2 2 ( 0 x > 1 , , 2 2 y x = = y x y = x ) 上的情况（因为在除去上述曲线和原点的区域上函数显然连续）。 设 x0 > 0。在 2 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) 2 x y x = x 点，由于 0 0 0 0 2 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) / 2 1 2( ) 2 lim ( , ) lim 0 ( , ) x y x y x y x y y x y x f x y f x y → → x > − = = = ， 0 0 2 ( , ) ( , ) / 2 lim ( , ) 0 x y x y y x f x y → ≤ = 0 0 = f ( , x y )， 所以函数 f x( , y) 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 1 ( , ) 2 x x 连续。同理可知函数 f x( , y) 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x 2x )也连续。 在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x x )点，由于 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( , )(, ) ( , )(, ) 0 2 2 2 lim ( , ) lim 1 x y x y x y x y x y x x y x x f x y → → x x > > − − = = = 0 0 = f ( , x y )， 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 ( , )(, ) ( , )(, ) 0 / 2 1 1 2( ) 2( ) 2 2 lim ( , ) lim 1 x y x y x y x y x y x y x x x f x y → → x x < ≤ − − = = = 0 0 = f ( , x y )， 所以函数 f x( , y)在 0 0 ( , x y ) = 2 0 0 ( , x x )也连续。 综上所述，函数 f x( , y)除了在原点不连续，在其它点都连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 7