f(x, y) x v+ (x-y) (2)f(x,y) x2(1+x2)-y2(1+y2) x2+y2 (3) f(x,y)=xsin-+sin- 解(1)由于 f(x, y)=lin x1(1+kx)2 (1+kx)2+k2x41+k2 所以二重极限不存在。 由皿/(x)、0=0,y≠0,可知 limlim f(x,y)=0。同理可知 lim lim f(x,y)=0。所以二次极限存在且都等于0。 (2)由于 limf(x,y)=limx(+x)-kx2(1+k2x2)1-k2 (1+k2) 所以二重极限不存在。又 lilim f (x, y)=-lim(1+y=-1, lilim f(x, y)=lim(1+x)=1 x→0y→0 所以二次极限都存在但不相等。 (3)由于f(x,y)图x|+1y,所以limf(x,y)=0。 由于 lim yin(y≠0)和 lim xsin(x≠0)都不存在,所以两个二次 极限都不存在 9.验证函数（1） 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + − = ； （2） 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) ( , ) x y x x y y f x y + + − + = ； （3） x y y f x y x 1 sin 1 ( , ) = sin + 。 解 (1) 由于 2 4 2 4 2 2 4 0 0 (1 ) 1 lim ( , ) lim x x (1 ) 1 y x kx x kx f x y 2 → → x kx k x k = + + = = + + + ， 所以二重极限不存在。 由 2 0 0 lim ( , ) 0, 0 x f x y y → y = = ≠ ，可知 0 0 limlim ( , ) 0 y x f x y → → = 。同理可知 。所以二次极限存在且都等于 0。 0 0 limlim ( , ) 0 x y f x y → → = （2）由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 (1 ) (1 ) 1 lim ( , ) lim x x (1 ) 1 y kx 2 x x k x k x k f x y → → x k k = + − + − = = + + ， 所以二重极限不存在。又 l y x i → → m 0 0 lim f x( , y) = −l y im →0 (1+ y 2 ) = −1， 。 2 0 0 0 limlim ( , ) lim(1 ) 1 x y x f x y x → → → = + = 所以二次极限都存在但不相等。 （3）由于| f x( , y) |≤ + | x | | y |，所以 0 0 lim ( , ) 0 x y f x y → → = 。 由于 0 1 lim sin ( 0) x y y → x ≠ 和 0 1 lim sin ( 0) y x x → y ≠ 都不存在，所以两个二次 极限都不存在。 9. 验证函数 6