当kx,y)-(x23)<min(o,)时 If(x,y)-f(ro, yo)sf(, y)-f(x, yo)+f(x, yo )-f(xo, yo)I ly-yo+ lf(x, yo )-f(xo, yo)l 所以f(x,y)在(x,y)内连续,证毕。 13.证明:若∫和g是D上的连续映射,则映射∫+g与函数 ∫,g>在D上都是连续的 证假设x∈D,由∫和g是连续,vE>0, 3>0,x(x-xk),成立f(x)-f(x0)k, a>0,Vx(x-x0k<a),成立|g(x)-g(x)kE 于是 ∫(x)+g(x)-(∫(x0)+g(x) 4∫(x)-f(x0)+|g(x)-g(x0)≤2E 所以映射∫+g在x连续。又 kf(x),g(x)>-<∫(x)8(x0)斗 ∫(x)-f(x0,g(x)>+<f(x0),g(x)-8(x0)斗 <g(x)lE+lf(xol 由于g连续,所以g的每个分量都连续,从而都局部有界,于是g也 局部有界。根据上式,<∫,g>在x连续,证毕 14.证明复合映射的连续性定理(定理11.2.3) 证假设g在D上连续,∫在Ω上连续,并且x∈D,Ln=g(x)∈Ω。由∫ 在a上连续,VE>0,3n>0,Vm(u-lnkm)成立当 0 0 ( , x y) − < (x , y ) min(δ ,ε )时 f (x, y) − f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) − f (x, y0 ) + 0 0 ( , ) ( , )0 f x y − f x y L y 0 ≤ − y + 0 0 ( , ) ( , )0 f x y − f x y ≤ Lε +ε ， 所以 f (x, y)在 0 0 ( , x y )内连续，证毕。 13．证明：若 f 和 g 是 D 上的连续映射，则映射 f + g 与函数 ＜f , g＞在 D 上都是连续的。 证 假设 x0 ∈D，由 f 和 g 是连续，∀ε > 0， 0 ∃ > δ 0,∀x x (| − x |< δ )，成立 0 | ( f x) − f x( )|< ε ， 1 0, (| | ) 0 1 ∃ > δ ∀x x − x < δ ，成立 0 | ( g x) − g x( ) |< ε ， 于是 0 0 | ( f x) + g(x) − + ( f x( ) g(x ))| 0 0 ≤ − | f (x) f (x ) | + | g(x) − g(x ) | ≤ 2ε ， 所以映射 f + g 在 x0连续。又 0 0 | ( < > f x), g(x) − < f x( ), g(x ) >| 0 | 0 0 = <| ( f x) − f x( ), g(x) > + < f x( ), g(x) − g(x ) > 0 ≤ + | ( g x)| ε | f (x ) | ε ， 由于 g 连续，所以 g 的每个分量都连续，从而都局部有界，于是 g 也 局部有界。根据上式，＜f , g＞在 x0连续，证毕。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.3）。 证 假设 g 在 D 上连续，f 在Ω上连续，并且 0 0 0 x u ∈ D, ( = g x )∈Ω。由 f 在u0 上连续， 0 ∀ε > ∃ 0, η η > 0,∀u u (| − u |< ) 成立 9