大学物理练习册一运动守恒定律 另解:dx=d=Dnd,A=「F,dx=丁5bd;=b67 保守力的功和势能 3-13质量为m的小球系在长为l的轻绳一端,绳的另一端固定,把小球拉至水平位置,从静止释放,如图 3-13所示,当小球下摆O角时,(1)绳中张力T对小球做功吗?合外力F=T+mg对小球所做的功 为多少?(2)在此过程中,小球势能的增量为多少?并与(1)的结果比较:(3)利用动能定理求小 球下摆O角时的速率。 解:(1)7⊥dF,A1=「7dF=0,张力7对小球不做功 A=(+mg).di= mg.dr=-mg j(dxi+dyi) mg dy=mgl sin 0 图3-13 (2)ΔE=mg(y2-y)=- mgl sinθ,可见重力的功等于小球势能增量的负值。 (3)由动能定理mg{inBs m2,v=√2 gain 8 3-14质量为m的质点沿x轴正方向运动,它受到两个力的作用,一个力是指向原点、大小为B的常力 另一个力沿x轴正方向、大小为Ax2,A、B为常数。(1)试确定质点的平衡位置:;(2)求当质点从 平衡位置运动到任意位置x处时两力各做的功,并判断两力是否为保守力:(3)以平衡位置为势能 零点,求任意位置处质点的势能。 解:(1)F、AB,F=0时,x0= B 2)A,=Fd A2=F2 d B(xo-x) A、A2只与始末位置有关,即两力均为保守力 )E,=. Fdx=.(2-B)dx=A-=)+B(x-xo)=-+ Bx-2vAB 功能原理和机械能守恒 3-15如图3-15所示,一质量为m’的物块放置在斜面的最底端A处,斜面的倾角为α,高度为h,物 块与斜面的动摩擦因数为,今有一质量为m的子弹以速度v沿水平方向射入物块并留在其中,且 使物块沿斜面向上滑动,求物块滑出顶端时的速度大小。 解:以物块和子弹为研究对象,碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒 子弹射入物块后的速度大小为v1,则 mvo cosa=(m+mv,, v,= 图3.15 取斜面底部为势能零点,物块滑出顶端时的速度大小为v2,由功能定理 u(m+m)g cosa sina 2 m+m)u2 -(m+m)v,-(m+ mgh大学物理练习册—运动守恒定律 另解： t m bt x v t d 2 d d 2 = = ， m b T t m bt A F x bt T x 8 d 2 d 2 4 0 2 = = = ∫ ∫ 保守力的功和势能 3-13 质量为 m 的小球系在长为 l 的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从静止释放，如图 3-13 所示，当小球下摆θ 角时，（1）绳中张力T v 对小球做功吗？合外力 F T mg v v v = + 对小球所做的功 为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小 球下摆θ 角时的速率。 解：(1) T r v v ⊥ d ， = ⋅ d = 0 ∫ A T r T v v ，张力T v 对小球不做功。 O T v mg v 图 3-13 ∫ ∫ ∫ ∫ = − = = + ⋅ = ⋅ = − ⋅ + 2 1 d sin ( ) d d (d d ) y y F mg y mgl A T mg r mg r mg j xi yj θ v v v v v v v v (2) ∆Ep = mg( y2 − y1 ) = −mglsinθ ，可见重力的功等于小球势能增量的负值。 (3) 由动能定理 2 2 1 mglsinθ = mv ，v = 2glsinθ 3-14 质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、大小为 B 的常力， 另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x 2 ，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从 平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能 零点，求任意位置处质点的势能。 解：(1) B x A F = − 2 ， F = 0 时， B A x0 = (2) ) 1 1 d d ( 0 1 1 2 0 0 x x x A x A A F x x x x x = = = − ∫ ∫ ， d d ( ) 2 2 0 0 0 A F x B x B x x x x x x = = − = − ∫ ∫ 、 只与始末位置有关，即两力均为保守力。 A1 A2 (3) Bx AB x A B x x x x B x A x A E F x x x x x p ) ( ) 2 1 1 d ( ) d ( 0 0 2 0 0 = = − = − + − = + − ∫ ∫ 功能原理和机械能守恒 3-15 如图 3-15 所示，一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端 A 处，斜面的倾角为 α ，高度为 h，物 块与斜面的动摩擦因数为µ ，今有一质量为 m 的子弹以速度 0 v v 沿水平方向射入物块并留在其中，且 使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。 0 v v α h 解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒 子弹射入物块后的速度大小为 ，则 1 v 0 1 mv cosα = (m + m′)v ， m m mv v + ′ = 0 cosα 1 A 图 3.15 取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为 ，由功能定理 2 v m m v m m v m m gh h m m g ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 sin ( ) cos 2 2 2 1 + ′ = + ′ − + ′ − + ′ α µ α 11