《大学物理》（习题与答案）作业答案3-1~~3-19.pdf_大学文库

大学物理练习册—运动守恒定律冲量和动量定理 3-1 质量m=10kg的物体在力Fx=30+4t N的作用下沿x轴运动，试求（1）在开始 2s内此力的冲量I；（2）如冲量I=300N·s，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速v1=10m/s，在t=6.86s时，此物体的速度v2为多少？解：(1) d (30 4 ) d 68 N s 2 0 2 0 = = + = ⋅ ∫ ∫ I F t t t x x (2) d (30 4 ) d 30 2 2 300 ， 0 0 = = + = + = ∫ ∫ I F t t t t t t t t x t = 6.86s (3) I = p2 − p1 = mv2 − mv1，t = 6.86s ， I = 300 N⋅s ， (300 10 10) 20m/s 10 1 ( ) 1 2 = I − mv1 = − × = m v 3-2 质量 m=1kg 的物体沿 x 轴运动，所受的力如图 3-2 所示。t=0 时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律和动量定理分别求解 t=7s 时此质点的速度。图 3-2 10 O 5 7 F/N t/s 解：(1) ⎩ ⎨ ⎧ − + ≤ ≤ ≤ ≤ = 5 35 5 7 2 0 5 t t t t F 0 ≤ t ≤ 5 ， t t v m 2 d d = ， ∫ = ∫ ， 5 0 0 d 2 d 1 m v t t v 25(m/s) 25 1 = = m v 5 ≤ t ≤ 7 ， 5 35 d d = − t + t v m ， ∫ = ∫ − + ， 7 5 d ( 5 35)d 2 1 m v t t v v 35(m/s) v2 = (2) (7 10) 35(N s) 2 1 d 7 0 = = × = ⋅ ∫ I F t ， mv2 mv1 mv2 I = − = ， 35(m/s) v2 = 动量守恒定律 3-3 两球质量分别为m1=3.0g， m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy描述运动，两者速度分别为v1 8i cm/s ， v v = (8 16 ) cm/s 2 v i j v v v = + ，若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v v 的大小为多少？与x轴的夹角为多少？解：系统动量守恒 m m v m v m v i j v v v v v ( ) 64 80 1 + 2 = 1 1 + 2 2 = + ， v i j v v v = 8 +10 8 10 12.8cm/s 2 2 v = v = + = v ，与 x 轴夹角 = = 51.3° 8 10 α arctan 3-4 如图 3-4 所示，质量为 M 的 1/4 圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为 m 的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。 m M 图 3.4 R 解：系统在水平方向动量守恒 mv + M (−V ) = 0 ， mv = MV 两边对整个下落过程积分 ∫ ∫ = t t m v t M V t 0 0 d d 令 s 和 S 分别为 m 和 M 在水平方向的移动距离，则 ∫ = t s v t 0 d ， = ∫ ，。又 t S V t 0 d ms = MS s = R − S ，所以 R m M m S + = 另解： m 相对于 M 在水平方向的速度 v M m M v v V + ′ = + = 。对整个下落过程积分 ∫ ∫ + ′ = t t v t M m M v t 0 0 d d ， s M m M R + = ， M 在水平方向的移动距离 R m M m S R s + = − = 8

大学物理练习册—运动守恒定律 2 2 2 2 2 2 2 2mr L mr L mr L ∴ E = Ek + Ep = − = − 3-8 质量为 m 的质点在 xOy 平面内运动，其位置矢量为 r a ti b tj v v v = cosω + sinω ，其中 a、b、ω 为常量，求（1）质点动量的大小；（2）质点相对于原点的角动量。解：(1) a ti b tj t r v v v v v ω sinω ω cosω d d = = − + p mv m ( a sin ti b cos tj) v v v v = = ω − ω + ω ， p p mω a sin ω t b cosω t 2 2 2 = = + v (2) L r p a ti b tj m a ti b tj abm k v v v v v v v v = × = ( cosω + sinω ) × ω(− sinω + cosω ) = ω 3-9 质量均为 m 的两个小球 a 和 b 固定在长为 l 的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平面上绕 O 点轴自由转动，杆原来静止。现有一个质量也为 m 的小球 c，垂直于杆以水平速度 o v v 与 b 球碰撞（如图 3-9 所示），并粘在一起。求（1）碰撞前 c 球相对于 O 的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动角速度。解：(1) 0 L r mv v v v = × 方向垂直纸面向下。 0 0 4 3 L = rmv = lmv m m 0 v v a O c b m l/4 l 图 3.9 (2) 系统对o 点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为ω ，则 ) 4 1 ( 4 1 ) 4 3 (2 ) ( 4 3 4 3 lmv0 = l × m × lω + l × m × lω ， l v 19 12 0 ω = 功和动能定理 3-10 一人从 10m深的井中提水，已知水桶与水共重 10kg，求（1）匀速上提时，人所作的功；（2）以a=0.1m/s 2 匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以 0.2kg/m的速率漏水，则人所作的功为多少？解：(1) F − mg = 0， F = mg ， d d 980 J 10 0 10 0 = = = ∫ ∫ A F y mg y (2) F − mg = ma ， F = m(g + a)， d ( ) d 990 J 10 0 10 0 = = + = ∫ ∫ A F y m g a y (3) F − (m − 0.2y)g = 0 ， F = (m − 0.2y)g ， d ( 0.2 ) d 882 J 10 0 10 0 = = − = ∫ ∫ A F y g m y y 3-11 质量m=6kg的物体，在力Fx=3+4x N的作用下，自静止开始沿x轴运动了 3m，若不计摩擦，求（1）力 Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速度。解：(1) d (3 4 ) d 27 J 3 0 3 0 = = + = ∫ ∫ A F x x x x (2) 由动能定理 2 2 2 1 3 2 2 1 2 1 2 1 A = mv + mv = mv ， 3m/s 2 2 = = m A v (3) 由牛顿定律 2 2.5m/s 6 3 4 3 = + × = = m F a x x 3-12 质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为Fx=bt，b为常量，求在T s内此力所作的功。解：由牛顿定律 t v F bt m d d = = ， ∫ = ∫ ， t v bt t m v 0 0 d d m bt v 2 2 = ，t = T 时， m bT v 2 2 = 由动能定理 m b T A mv mv mv 2 8 1 2 1 2 1 2 4 2 2 0 2 = − = = 10

大学物理练习册—运动守恒定律另解： t m bt x v t d 2 d d 2 = = ， m b T t m bt A F x bt T x 8 d 2 d 2 4 0 2 = = = ∫ ∫ 保守力的功和势能 3-13 质量为 m 的小球系在长为 l 的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从静止释放，如图 3-13 所示，当小球下摆θ 角时，（1）绳中张力T v 对小球做功吗？合外力 F T mg v v v = + 对小球所做的功为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆θ 角时的速率。解：(1) T r v v ⊥ d ， = ⋅ d = 0 ∫ A T r T v v ，张力T v 对小球不做功。 O T v mg v 图 3-13 ∫ ∫ ∫ ∫ = − = = + ⋅ = ⋅ = − ⋅ + 2 1 d sin ( ) d d (d d ) y y F mg y mgl A T mg r mg r mg j xi yj θ v v v v v v v v (2) ∆Ep = mg( y2 − y1 ) = −mglsinθ ，可见重力的功等于小球势能增量的负值。 (3) 由动能定理 2 2 1 mglsinθ = mv ，v = 2glsinθ 3-14 质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、大小为 B 的常力，另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x 2 ，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。解：(1) B x A F = − 2 ， F = 0 时， B A x0 = (2) ) 1 1 d d ( 0 1 1 2 0 0 x x x A x A A F x x x x x = = = − ∫ ∫ ， d d ( ) 2 2 0 0 0 A F x B x B x x x x x x = = − = − ∫ ∫ 、只与始末位置有关，即两力均为保守力。 A1 A2 (3) Bx AB x A B x x x x B x A x A E F x x x x x p ) ( ) 2 1 1 d ( ) d ( 0 0 2 0 0 = = − = − + − = + − ∫ ∫ 功能原理和机械能守恒 3-15 如图 3-15 所示，一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端 A 处，斜面的倾角为 α ，高度为 h，物块与斜面的动摩擦因数为µ ，今有一质量为 m 的子弹以速度 0 v v 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。 0 v v α h 解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒子弹射入物块后的速度大小为，则 1 v 0 1 mv cosα = (m + m′)v ， m m mv v + ′ = 0 cosα 1 A 图 3.15 取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为，由功能定理 2 v m m v m m v m m gh h m m g ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 sin ( ) cos 2 2 2 1 + ′ = + ′ − + ′ − + ′ α µ α 11

大学物理练习册—运动守恒定律 2 ( cot 1) cos 2 0 2 ⎟ − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ′ ∴ = µ α α gh m m mv v 3-16 劲度系数为 k 的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物体A，放在光滑水平面上，当把弹簧压缩 x。后，再靠着 A 放一质量为 mB 的物体B ，如图 3-16 所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止状态，若撤去外力，试求 A 与 B 离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。解：(1) 弹簧到达原长时 A开始减速， A、 B 分离。 x O x0 A B 设此时速度大小为v ，由机械能守恒 2 2 0 ( ) 2 1 2 1 kx m m v = A + B ， mA mB K v x + = 0 图 3-16 (2) A、 B 分离后， A继续向右移动到最大距离处，则 m x 2 2 2 1 2 1 A m m v = kx ， A B A A m m m m x k m x v + = = 0 3-17 如图 3-17 所示，天文观测台有一半径为 R 的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。 θ 解：由机械能守恒 R 2 2 1 mgR(1− sinθ ) = mv ， 2 (1 sin ) 2 v = gR − θ 冰块离开屋面时，由牛顿定律 R v mg m 2 sinθ = ， 3 2 ∴ sinθ = ， = = 41.8° 3 2 θ arcsin v gR gR 3 2 = 2 (1 − sinθ ) = 图 3.17 碰撞 3-18 一质量为m0以速率v0运动的粒子，碰到一质量为 2 m0的静止粒子。结果，质量为m0的粒子偏转了 450 ，并具有末速v0/2。求质量为 2 m0的粒子偏转后的速率和方向。解： • 0 2m 0 v 2 碰撞前后动量守恒 α ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ° = = ° + α α sin 45 2 sin 2 cos 45 2 cos 2 0 0 0 0 0 0 0 0 m v v m m v v m v m x y • m0 0 v v 0 0 5 2 2 0.368 4 v v v = − = ， = ° ° = 28.7 4 sin 45 arcsin 0 v v α 3-19 图 3-19 所示，一质量为 m 的小球 A 与一质量为 M 的斜面体 B 发生完全弹性碰撞。（1）若斜面体放置在光滑的水平面上，小球碰撞后竖直弹起，则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少？（2）若斜面体固定在水平面上，碰撞后小球运动的速度大小为多少？运动方向与水平方向的夹角为多少？解：(1) 以小球和斜面为研究对象，水平方向动量守恒。 A B θ v v 设碰撞后小球和斜面速度大小为v′ 、V ，则图 3-19 12

《大学物理》（习题与答案） 作业答案3-1~~3-19

《大学物理》（习题与答案）作业答案3-1~~3-19