大学物理练习册一热力学 热一定律 6-1如图6-1所示,理想气体由a沿acb过程到达b状态,吸收了560J的热量,对外做功356J。(1)如果 它沿ab过程到达b状态时,对外做功220J,它将吸收多少热量?(2)当它由b沿曲线ba返回a状 态时,外界对它做功282J,它将吸收或放出多少热量? 解:根据热力学第一定律Qa=E-EA+A Eb-E。=AE=Qa-Aa=560-356=204J (1)QaB=Eb-En+Aa=204+220=424J (2)gu=E。-E+A0=-204-282=-486J 系统对外界放热486J 图6-1 等值过程 6-21mol单原子理想气体若经两个过程:(1)容积保持不变:(2)压强保持不变,其温度从300K变为350K, 问在这两过程中各吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? 解:(1)等体过程A=0 Q,=△E+A=△E=mi R(T2-T)=1×=×8.31×(350-300)=623J 即吸收热量和内能增量均为623J,而做功为0。 (2)Q R(T2-T)=1××8.31×(350-300)=1039J R(T2-7)=623J A=mvNY%(r2-7)=1×831×(350-300=416J 6-3一理想气体由压强p1=1.52×105Pa,体积1=5:0×103m3,等温膨胀到压强p2=1.01×105Pa,然后再经等 压压缩到原来的体积。试求气体所做的功。 解:气体在等温膨胀过程中所做功为 A,=pdv= Mm的dP=mgh=phn2 PI 52×100×5.0×10h52×105 =310J 101×105 气体在等压压缩过程中所做的功为A4=P2(1-H2)=P21-P2V2 而等温过程由V膨胀到V2时,满足p2V2=p1V1 A=P2V1-p1V1=(1.01×103-1.52×103)×50×103=-255J
大学物理练习册—热力学 热一定律 6-1 如图 6-1 所示，理想气体由 a 沿 acb 过程到达 b 状态，吸收了 560 J 的热量，对外做功 356J。（1）如果 它沿 adb 过程到达 b 状态时，对外做功 220 J，它将吸收多少热量？（2）当它由 b 沿曲线 ba 返回 a 状 态时，外界对它做功 282 J，它将吸收或放出多少热量？ 解：根据热力学第一定律 Qacb = Eb − EA + Aacb O d c b a p − = ∆ = − = 560 − 356 = 204 J Eb Ea E Qavb Aacb (1) = − + = 204 + 220 = 424 J Qadb Eb Ea Aadb (2) = − + = −204 − 282 = −486 J Qba Ea Eb Aba V 图 6-1 系统对外界放热 486J 等值过程 6-2 1mol单原子理想气体若经两个过程：（1）容积保持不变；（2）压强保持不变，其温度从300 K变为350K， 问在这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外作了多少功？ 解：(1) 等体过程 A = 0 8.31 (350 300) 623J 2 3 ( ) 1 2 2 1 mol ∴ = ∆ + = ∆ = R T − T = × × × − = i M m Qv E A E 即吸收热量和内能增量均为 623J，而做功为 0。 (2) 8.31 (350 300) 1039J 2 5 ( ) 1 2 2 2 1 mol − = × × × − = + = R T T i M m Qp ( ) 623J 2 ∆ = R T2 −T1 = i M m E mol ( ) ( ) 1 8.31 (350 300) 416J 2 1 mol = 2 − 1 = R T −T = × × − = M m A p V V 6-3 一理想气体由压强p1=1.52×105 Pa，体积V1=5.0×10-3 m 3 ，等温膨胀到压强p2=1.01×105 Pa，，然后再经等 压压缩到原来的体积。试求气体所做的功。 解：气体在等温膨胀过程中所做功为 310 J 1.01 10 1.52 10 1.52 10 5.0 10 ln d d ln ln 5 5 5 3 1 2 1 1 1 2 1 mol 1 mol 2 1 2 1 = × × = × × × = = = = − ∫ ∫ p p p V V V RT M m RT V M V m A p V V V V V T 气体在等压压缩过程中所做的功为 2 1 2 2 1 2 2 Ap = p (V −V ) = p V − p V 而等温过程由V1 膨胀到V2 时，满足 p2V2 = p1 V1 (1.01 10 1.52 10 ) 5.0 10 255 J 5 5 3 ∴ = 2 1 − 1 1 = × − × × × = − − Ap p V p V 20
大学物理练习册一热力学 气体所做功A=Ax+An=310-255=55J 6-4将500J的热量传给标准状态下2mol的氢。(1)若体积不变,则氢的温度变为多少?(2)若温度不变, 则氢的压强和体积各变为多少?(3)若压强不变,则氢的温度及体积各变为多少? 解:标准状态下,T=273KV=224×10- (1)体积不变A=0,∴Q=△E= R(T2-T1),T2=T1+ g-=273+ 500 =285K (2)温度不变△E=0,∴Q2=A V2=V,exp 2×22.4×10°exp RT 2×8.31×273 2×22.4×10 P2 V2 ×1013×103=908×104Pa (3)压强不变O.=m1+2 PM,R(72-),∴2=Ti+ Q =273+ 500 =282K m i+2 2×-×8.31 M 2 281.6 , 27×2×224×10-3=046m 摩尔热容、绝热过程 6-5如图6-5所示,一理想气体由初态a经准静态过程ab直线变至终态b。已知该理想气体的定容摩尔热容 量C=3R,求该理想气体在ab过程中的摩尔热容量(用R表示)。 解:设理想气体在ab过程中的摩尔热容量为Ca,在一微小过程中 do=ca dT 由热力学第一定律有 do=dE +dA=Cr dT+ pdv (2) 由(1)、(2)得Ca=Cy+p d 图 dt 由理想气体状态方程,lmol气体有p=RT。而ab直线方程为p=k,其中k为斜率 dvR R kv2=rt, dT 2kV C=Cr+p 3R+==-R 2 2 6-6温度为27℃,压强为101×105Pa的一定量氮气,经绝热压缩,使其体积变为原来的1/5,求压缩后氮 气的压强和温度
大学物理练习册—热力学 气体所做功 = + = 310 − 255 = 55 J A AT Ap 6-4 将 500 J 的热量传给标准状态下 2mol 的氢。（1）若体积不变，则氢的温度变为多少？（2）若温度不变， 则氢的压强和体积各变为多少？（3）若压强不变，则氢的温度及体积各变为多少？ 解：标准状态下，T1 = 273K 3 3 omol 22.4 10 m− − V = × (1) 体积不变 A = 0， ( ) 2 2 1 mol R T T i M m ∴QV = ∆E = − ， 285K 8.31 2 5 2 500 273 mol 2 2 1 = × × = + = + Ri M m Q T T V (2) 温度不变 ∆E = 0 ， 1 2 1 mol ln V V RT M m ∴QT = A = 3 3 1 mol 2 1 0.05m 2 8.31 273 500 exp 2 22.4 10 exp = × × = = × × − RT M m Q V V T 1.013 10 9.08 10 Pa 0.05 2 22.4 10 5 4 3 1 2 1 2 × × = × × × = = − p V V p (3) 压强不变 ( ) 2 2 2 1 mol R T T i M m Qp − + = ， 282 K 8.31 2 7 2 500 273 2 2 mol 2 1 = × × = + + ∴ = + R i M m Q T T p 3 3 1 1 2 2 2 22.4 10 0.046m 273 281.6 = = × × × = − V T T V 摩尔热容、绝热过程 6-5 如图 6-5 所示，一理想气体由初态a经准静态过程ab直线变至终态b。已知该理想气体的定容摩尔热容 量CV=3R，求该理想气体在ab过程中的摩尔热容量（用R表示）。 解：设理想气体在 ab 过程中的摩尔热容量为 ，在一微小过程中 Cab p d Q = Cab dT d Q d E d A CV dT p dV （1） 由热力学第一定律有 = + = + （2） 由(1)、(2)得 T V Cab CV p d d = + 由理想气体状态方程，1mol 气体有 pV = RT 。而 ab 直线方程为 p = kV ，其中 k 为斜率 ∴kV = RT 2 ， p R kV R T V d 2 2 d = = ， R R R p R C C p ab V 2 7 2 3 2 ∴ = + = + = 6-6 温度为 27℃，压强为 1.01×105 Pa的一定量氮气，经绝热压缩，使其体积变为原来的 1/5，求压缩后氮 气的压强和温度。 V a b O 图 6-5 21
大学物理练习册一热力学 解:由绝热过程方程PH=P21…=12=5,P=(yP=52×101×10=961×10Pa 又绝热过程方程Tl=TV2,:T2=(y7=5×(273+27)=571K 6-7如图6-7所示,将96g氧气从40L绝热压缩到原体积的一半(1→2),此时气体的温度为127℃,然后 等温膨胀到原体积(2→3)。(1)求以上两过程中,系统吸收的热量、对外所做的功和内能的变化:(2 若通过等容过程直接将氧气由上述的初态变化到终态(1→3),则系统吸收的热量、对外所做的功和 内能的变化又为多少? 解:(1)1-2为绝热压缩过程 Q12=0,A R(T2-T1) 由绝热过程方程T2y2=TV,y= i+27 图6 =()372=()3×(273+127)=303K A R(72 831×(4 2-3为等温膨胀过程△E2=0,A23=Q3 RT2ln=×8.31×400×ln2=6912J V,32 所以1-2-3过程中:Q=Q2+Q23=Q2=6912J,A=A12+A13=-6045+6912=867J, △E=△E12+△E23=6045+0=6045J (2)A3=0,△E=6045J,Q3=A13+△E=0+6045=6045J 6-8某理想气体在p图上其等温线的斜率与绝热线的斜率之比约为0714,当此理想气体由压强p=2×0帕、 体积=0.5升之状态绝热膨胀到体积增大一倍时,求此过程中气体所作的功 解:等温:pV T,pd+dp=0,所以等温线斜率 d =-P 绝热:pH"=C,p-d+p"dp=0,所以绝热线斜率(a)=-y2 % 0.714,即 0714解得i=5,即该理想气体分子为双原子分子 由绝热过程方程p=p22体积增大一倍时,压强为
大学物理练习册—热力学 解：由绝热过程方程 ， γ γ 1 1 2V2 p V = p 5 2 7 = + = i i γ ， ( ) 5 1.01 10 9.61 10 Pa 5 5 5 7 1 2 1 ∴ 2 = p = × × = × V V p γ 又绝热过程方程 ， 1 2 2 1 1 1 − − = γ γ TV T V ( ) 55 (273 27) 571K 2 1 1 2 1 ∴ 2 = = × + = − T V V T γ 6-7 如图 6-7 所示，将 96g 氧气从 40L 绝热压缩到原体积的一半（1 2），此时气体的温度为 127℃，然后 等温膨胀到原体积（2→3）。（1）求以上两过程中，系统吸收的热量、对外所做的功和内能的变化；（2） 若通过等容过程直接将氧气由上述的初态变化到终态（1 3），则系统吸收的热量、对外所做的功和 内能的变化又为多少？ → → 解：（1）1-2 为绝热压缩过程 1 2 3 p ∴Q12 = 0 ， ( ) 2 2 1 mol 12 12 R T T i M m A = −∆E = − − 由绝热过程方程 ， 1 1 1 1 2 2 − − = γ γ T V T V 5 2 7 = + = i i γ ， O V 图 6-7 ) (273 127) 303K 2 1 ( ) ( 5 2 2 5 2 1 2 ∴ 1 = T = × + = V V T 8.31 (400 303) 6045J 2 5 32 96 ( ) 2 2 1 mol 12 = − R T − T = − × × × − = − i M m A 2-3 为等温膨胀过程 ∆E23 = 0 ， 8.31 400 ln 2 6912J 32 96 ln 1 2 2 mol 23 = 23 = = × × × = V V RT M m A Q 所以 1-2-3 过程中： 6912 J Q = Q12 + Q23 = Q23 = ， 6045 6912 867 J A = A12 + A23 = − + = ， 6045 0 6045 J ∆E = ∆E12 + ∆E23 = + = （2） A13 = 0 ， ∆E = 6045 J ， 0 6045 6045 J Q13 = A13 + ∆E = + = 6-8 某理想气体在p-V图上其等温线的斜率与绝热线的斜率之比约为 0.714，当此理想气体由压强p=2×l05 帕、 体积V=0.5 升之状态绝热膨胀到体积增大一倍时，求此过程中气体所作的功。 解：等温： RT M m pV mol = ， p dV +V d p = 0 ，所以等温线斜率 V p V p )T = − d d ( 绝热： pV γ = C ， pγV γ −1 dV +V γ d p = 0 ，所以绝热线斜率 V p V p )Q = −γ d d ( 0.714 1 ) d d ( ) d d ( ∴ = = γ Q T V p V p ，即 0.714 2 = i + i 解得 i = 5 ，即该理想气体分子为双原子分子。 由绝热过程方程 体积增大一倍时，压强为 γ γ p1V1 = p2V2 22
大学物理练习册一热力学 p2=()p1=(0.5 所做的功A=-AE= R(T2-7)=(p1V1-p2V2) =7(2×10×05×10-758×10×1x10)=605J 循环过程 6-9设有一以理想气体为工作物质的热机循环,如图69所示,试证明其效率为n=1-y PI 解:由图知,ab为等容过程,ca为等压过程,其中ab为吸热过程,ca为放热过程 (-T),a=11C(-Z) 2 7 Q1 Q 绝热 又等容过程中P=,等压过程中2= 图6-9 6-101mol理想气体在400K和300K之间完成一卡诺循环,在400K的等温线上,起始体积为000lm3,最 后体积为0005m3。试计算气体在此循环中所作的功,以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的 热量 解:如图1→2为400K等温过程,吸热:3→4为300K等温过程,放热。 O RTln2=1×831×400×ln 0.005 0.00÷5.35×10J g21A..2g O 5.35×103=401×103 OL T O T O A=Q1-Q2=535×103-401×103=1.34×103J 6-1一定量的理想气体,经历如图6-11所示循环过程,其中AB和CD为等压过程,BC和DA为绝热过程。 已知B点的温度为71,C点的温度为Tc=72。(1)证明其效率为1z(2)该循环是卡诺循环 解:(1)循环过程中,AB为吸热过程,CD为放热过程 图6-11
大学物理练习册—热力学 ( ) (0.5) 2 10 7.58 10 Pa 1.4 5 4 1 2 1 2 = p = × × = × V V p γ 所做的功 ( ) 2 ( ) 2 2 1 1 1 2 2 mol p V p V i R T T i M m A = −∆E = − − = − (2 10 0.5 10 7.58 10 1 10 ) 60.5J 2 5 5 3 4 3 = × × × − × × × = − − 循环过程 6-9 设有—以理想气体为工作物质的热机循环，如图 6-9 所示，试证明其效率为 1 1 1 2 1 2 1 − − = − p p V V η γ 。 解：由图知，ab 为等容过程，ca 为等压过程，其中 ab 为吸热过程，ca 为放热过程 ( ) mol ab CV Tb Ta M m Q = − ， ( ) mol ca Cp Tc Ta M m Q = − p a b c V2 V1 1 绝热 1 1 1 1 1 1 2 − − = − − − ∴ = − = − = − a b a c b a c a V p ab ca T T T T T T T T C C Q Q Q Q η γ p1 p2 又等容过程中 a b T T p p = 2 1 ，等压过程中 2 1 V V T T a c = O V 图 6-9 得 1 1 1 2 1 2 1 − − = − p p V V η γ 6-10 1mol理想气体在 400 K和 300 K之间完成一卡诺循环，在 400 K的等温线上，起始体积为 0.001m 3 ，最 后体积为 0.005m3 。试计算气体在此循环中所作的功，以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的 热量。 解：如图1→ 2 为 400K 等温过程，吸热；3 → 4 为300K 等温过程，放热。 5.35 10 J 0.001 0.005 ln 1 8.31 400 ln 3 1 2 1 mol 1 = 12 = = × × × = × V V RT M m Q Q 1 1 2 1 2 1 1 Q A T T Q Q Qη卡 = − = − = ， 1 2 1 2 Q Q T T ∴ = ，有 5.35 10 4.01 10 J 400 300 3 3 1 1 2 2 = Q = × × = × T T Q 5.35 10 4.01 10 1.34 10 J 3 3 3 A = Q1 −Q2 = × − × = × 6-11 一定量的理想气体，经历如图 6-11 所示循环过程，其中AB和CD为等压过程，BC和DA为绝热过程。 已知B点的温度为TB=T1，C点的温度为TC=T2。（1）证明其效率为 1 2 1 T T η = − ；（2）该循环是卡诺循环 吗？ C A B D O V p 解：（1）循环过程中，AB 为吸热过程，CD 为放热过程 23 图 6-11
大学物理练习册一热力学 MC,闭-)3-n7a-02 C( -TO -T, D等压过程有 TD B-C、D-A绝热过程有VTB=VT,T4=VT TA TD T, TE Ve TB T8 TC (2)不是卡诺循环。卡诺循环由两等温过程和两绝热过程组成。其中的T1、T2是两恒定热源的温度。 而这里的T、T2不是过程中的恒定温度,只是两点的温度。 6-12一台家用冰箱(设为理想卡诺致冷机)放在室温为27℃的房间里。当制作一块-13℃的冰块时吸热 195×103J。求(1)该冰箱的致冷系数:(2)制作该冰块时所需的功;(3)若冰箱以1.95×102Js速率吸 取热量,所要求的电功率为多少瓦? T 26 解:(1)W= 6.5 T-72300-260 44921.95×10 ().=g 6.53×104J 3×10 t1.95×105/1.95×10230w 6-13已知1mol理想气体的定容热容为Cr,开始温度为T,体积为V,经过下列三个可逆过程:先等温 膨胀到体积为V2(=2V1),再等容升压使压强恢复到初始压强,最后等压压缩到原来的体积,如图6-13 所示。设该气体的比热比为y,求(1)每一个过程的熵变是多少?(2)整个循环过程系统的熵变是多少? 解(AS2-2=f dO=-rTIn -= RIn 2 P l(V1,T1) dg CrdT =C In -=C In -=C In 2 T do rIC, dT 图6-13 =C. In-=C In-=-C In 2=-yCu In 2 T T 4
大学物理练习册—热力学 (1 ) (1 ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 mol mol B A C D B C B A C D p B A p D C AB CD T T T T T T T T T T C T T M m C T T M m Q Q − − = − − − = − − − η = − = − Q A－B、C－D 等压过程有 B A B A T T V V = ， C D C D T T V V = B－C、D－A 绝热过程有 VB TB VC TC ， −1 −1 = γ γ VA TA VD TD −1 −1 = γ γ C D C D B A B A T T V V T T V V 1 1 ( ) ( ) − − ∴ = γ γ 即 γ γ ( ) ( ) C D B A T T T T = 有 C D B A T T T T = 1 2 1 1 T T T T B C ∴ η = − = − （2） 不是卡诺循环。卡诺循环由两等温过程和两绝热过程组成。其中的 、 是两恒定热源的温度。 而这里的 、 不是过程中的恒定温度，只是两点的温度。 T1 T2 T1 T2 6-12 一台家用冰箱(设为理想卡诺致冷机)放在室温为 27℃的房间里。当制作一块-13℃的冰块时吸热 。求(1)该冰箱的致冷系数；(2)制作该冰块时所需的功;(3)若冰箱以 速率吸 取热量，所要求的电功率为多少瓦？ 1.95 10 J 5 × 1.95 10 J/s 2 × 解：(1) 6.5 300 260 260 1 2 2 = − = − = T T T wc (2) 3 10 J 6.5 1.95 10 , 4 5 2 2 = × × = = = c c w Q A A Q w (3) 30W 1.95 10 /1.95 10 3 10 5 2 4 = × × × = = t A p 6-13 已知 1mol 理想气体的定容热容为 ，开始温度为 ，体积为 ，经过下列三个可逆过程：先等温 膨胀到体积为 ，再等容升压使压强恢复到初始压强，最后等压压缩到原来的体积，如图 6-13 所示。设该气体的比热比为 CV T1 V1 ( 2 ) V2 = V1 γ ，求(1)每一个过程的熵变是多少?(2)整个循环过程系统的熵变是多少? 解：(1) ln ln 2 1 d d 1 1 2 2 1 2 1 12 R V V RT T Q T T Q ∆S = = = = ∫ ∫ 3 O 1(V1,T1) 2 p ln ln ln 2 d d 2 3 2 3 3 2 3 2 23 V V V V C p p C T T C T C T T Q ∆S = = = = = ∫ ∫ V ln ln ln 2 ln 2 d d 3 1 3 1 1 3 1 3 31 p p p V p C C V V C T T C T C T T Q ∆S = = = = = − = −γ ∫ ∫ 图 6-13 24
大学物理练习册一热力学 (2)△S=△S1+△S23+△S31=Rln2+Cpln2-C,ln2=0 6-14根据熵增加原理说明,为什么θ℃的冰自发融化为0℃的水的过程是不可逆过程?(提示:环境和冰 组成一个孤立系统,冰融化时,环境温度至少略高于0℃) 解:将冰和环境视为一孤立系统,冰在0℃上发生相变时从环境中吸热Q,环境温度为T(高于0℃),相 变前后系统的熵变为两部分熵变之和,即 AS=AS,+△S dg r dg@ Q 根据熵增加原理:在封闭系统中发生的任何不可逆过程,都导致了整个系统的熵的增加,系统的总熵 只有在可逆过程中才是不变的。所以0℃的冰自发融化为0℃的水的过程是不可逆过程
大学物理练习册—热力学 (2)∆S = ∆S12 + ∆S23 + ∆S31 = Rln 2 + CV ln 2 − Cp ln 2 = 0 6-14 根据熵增加原理说明，为什么 0℃的冰自发融化为 0℃的水的过程是不可逆过程？（提示：环境和冰 组成一个孤立系统，冰融化时，环境温度至少略高于 0℃）。 解：将冰和环境视为一孤立系统，冰在 0℃上发生相变时从环境中吸热Q ，环境温度为T （高于 0℃），相 变前后系统的熵变为两部分熵变之和，即 0 273 d d 0 ∆ = ∆ 1 + ∆ 2 = + = − > ∫ ∫ T Q Q T Q T Q S S S 根据熵增加原理：在封闭系统中发生的任何不可逆过程，都导致了整个系统的熵的增加，系统的总熵 只有在可逆过程中才是不变的。所以 0℃的冰自发融化为 0℃的水的过程是不可逆过程。 25
