大学物理练习册一质点运动学 运 动量 1-1质点在xOy平面内的运动方程为x=3,y=27+3。求:(1)=2s时质点的位矢、速度和加速度:(2)从r=ls 到2s这段时间内,质点位移的大小和方向:(3)0~1s和1~2s两时间段,质点的平均速度;(4)写 出轨道方程 解:(1)r=317+(212+3,==3+4,a=F =2s时,F=61+11j,卩=3i+8j,a=4 (2)AF=F2-F=(6i+11j)-(3i+5j) 与x轴正向的夹角= arctan=634° (3)i1 2x2 y= 1-2一质点在xOy平面内运动,初始时刻位于x=1m,y=2m处,它的速度为v=10,vy=t2。试求2秒时质 点的位置矢量和加速度矢量 解: F=(512+1)+(t3+2)j,v=10i+t2,a 0i+2t d t 2s时,F=21i 10+4j 1-3一质点具有恒定加速度a=6+4j,在0时,其速度为零,位置矢量=101,求(1)任意时刻 质点的速度和位置矢量:(2)质点的轨道方程 解:质点作匀加速运动 (1)=0+a1=6+4),F=+1+a=107+(67+4y2=(10+31)+227 (2)y=22,12=},x=10+3y,…y=2(x-10) 1-4路灯距地面高度为H,行人身高为h,若人以匀速V背向路灯行走,人头顶影子的移动速度ν为多少? 解:设x轴方向水平向左,影子到灯杆距离为x,人到灯杆距离为x’,由几何关系得 X-x dx h dx h ,X= H H-h dt h-h dt h-h 图1-4 直线运动 1-5一质点沿x轴运动,其加速度a与位置坐标x的关系为a=3+6x2,若质点在原点处的速度为零,试求其在任 意位置处的速度 dv dydx d
大学物理练习册—质点运动学 运动量 1-1 质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t，y=2t 2 +3。求：（1）t=2s时质点的位矢、速度和加速度；（2）从t=1s 到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向；（3）0 ~1 s和1 ~ 2 s两时间段，质点的平均速度；（4）写 出轨道方程。 解：(1) r t i t j v v v 3 (2 3) 2 = + + ， i t j t r v v v v v 3 4 d d = = + ， j t r a v v v 4 d d 2 2 = = t = 2s 时， r i j v v v = 6 +11 ，v i j v v v = 3 + 8 ， a j v v = 4 (2) r r r i j i j i j v v v v v v v v v (6 11 ) (3 5 ) 3 6 ∆ = 2 − 1 = + − + = + ， 3 6 45 2 2 ∆r = + = v ， 与 x 轴正向的夹角 = = 63.4° 3 6 θ arctan (3) i j i j j t r r v v v v v v v v v 3 2 1 (3 5 ) 3 1 1 0 1 = + + − = ∆ − = ， i j i j t r r v v v v v v v v 3 6 1 3 6 2 2 1 2 = + + = ∆ − = (4) 3 x t = ， 3 9 2 3 3 2 2 2 ⎟ + = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x y 1-2 一质点在xOy平面内运动，初始时刻位于x =1m，y=2m处，它的速度为vｘ=10t， vｙ= t ２ 。试求 2 秒时质 点的位置矢量和加速度矢量。 解： t t x vx 10 d d = = ， ∫ = ∫ ， 。 x t x t t 1 0 d 10 d 5 1 2 x = t + 2 d d t t y vy = = ， ∫ = ∫ ， y t y t t 0 2 2 d d 2 3 1 3 y = t + r t i t j v v v 2) 3 1 (5 1) ( 2 3 = + + + ， v t i t j v v v 2 =10 + ， i t j t v a v v v v 10 2 d d = = + t = 2s 时， r i j v v v 3 14 = 21 + ， a i j v v v =10 + 4 1-3 一质点具有恒定加速度 a i j ，在 t=0 时，其速度为零，位置矢量 v v v = 6 + 4 r i v v 10 0 = ，求（1）任意时刻 质点的速度和位置矢量；（2）质点的轨道方程。 解：质点作匀加速运动 (1) v v a t t i t j v v v v v 6 4 = 0 + = + ， r r v t a t i i j t t i t j v v v v v v v v v 2 2 2 2 0 0 (6 4 ) (10 3 ) 2 2 1 10 2 1 = + + = + + = + + (2) y = 2t 2 ， 2 2 y t = ， 2 3 10 y x = + ， ( 10) 3 2 ∴ y = x − 1-4 路灯距地面高度为 H，行人身高为 h，若人以匀速 V 背向路灯行走，人头顶影子的移动速度 v 为多少？ 解：设 x 轴方向水平向左，影子到灯杆距离为 x ，人到灯杆距离为 x′，由几何关系得 V H h x x x H h − ′ = ， x H h H x ′ − = ， V H h H t x H h H t x v − = ′ − = = d d d d 图 1-4 直线运动 1-5 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为a=3+6x 2 ，若质点在原点处的速度为零，试求其在任 意位置处的速度。 解： 2 3 6 d d d d d d d d x x v v t x x v t v a = = = = + ， ∫ = ∫ + ， v x v v x x 0 2 0 d (3 6 ) d 2 3 3 2 2 1 v = x + x ， 3 ∴v = 6x + 4x 1
大学物理练习册一质点运动学 1-6一小球由静止下落,由于阻力作用,其加速度a与速度ν的关系为a=A-Bv,其中A和B为常数,求t 时刻小球的速度。 d v 1-7一质点沿x轴运动,已知速度v=8+21,当|=8s时,质点在原点左边52m处。求:(1)质点的加速度和 运动方程;(2)初速度和初位置 dv=2m =8+2ms,∫x=∫(8+2d,x=81+180m (2)vo=8m/s,x0=-180m 曲线运动 1-8质量m=0.kg的小球沿半径R=1m的圆周运动,角位移O=2-3,求r=ls时小球所受外力的大小和方向 osde ar,a dr12t2, a. =Ra=12Rt, a,=Ro=16Rt d t t=s时,a,=12ms3,an=16ms2,a=√2+162=20ms =m=01×20=2N,F与切线方向夹角B=ann= arctan1p=531° 1-9一质点沿半径为R的圆周运动,质点所经过的弧长与时间的关系为s=b+ct2,其中b、c为正常数 且R>b2,求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的时间。 解: av=c,an= (6+ct) (b+ct) b+ct, a d t R R 1-10一张CD光盘音轨区域的内半径R1=22cm,外半径R2=56cm,径向音轨密度n=650条/mm。在CD唱机 内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动一条音轨,激光束相对光盘是以μ=1.3m/s的恒定线速度运 动的。求(1)这张光盘的全部放音时间是多少?(2)激光束到达离盘心=50cm处时,光盘转动的 角速度和角加速度各为多少? 解:(1)在距离中心为r、宽度为dr内音轨的长度为2mmdr, 激光划过这些音轨所需的时间dt=2md,整张CD的放音时间 1-a-2m1=m(-R)x260 130(562-22)=465=694min (2)0=,r=50cm时,Os、130=26ad6,a≈qo_vdr__ r=50cm时,a= 1302 -3.31×10-3rad/s2 2r×53×6500 相对运动 1-11一列火车以36km/h的速率向东行驶时,相对于地面匀速竖直下落的雨滴在车窗上形成的雨迹与竖直方 向成309角。求(1)雨滴相对于地面的水平分速度多大?相对于列车的水平分速度多大?(2)雨滴 相对于地面的速率如何?相对于列车的速率如何? 解:v 雨对地 车对地
大学物理练习册—质点运动学 1-6 一小球由静止下落，由于阻力作用，其加速度 a 与速度 v 的关系为 a=A-Bv，其中 A 和 B 为常数，求 t 时刻小球的速度。 解： A Bv t v a = = − d d ， ∫ ∫ = − v t t A Bv v 0 0 d d ， (1 ) Bt e B A v − = − 1-7 一质点沿 x 轴运动，已知速度 v=8+2t，当 t=8s 时，质点在原点左边 52m 处。求：（1）质点的加速度和 运动方程；（2）初速度和初位置。 解：(1) 2 2m/s d d = = t v a ， 8 2 m/s d d t t x v = = + ， ∫ = ∫ + ， − x t x t t 52 8 d (8 2 ) d 8 180m 2 x = t + t − (2) v0 = 8m/s ， x0 = −180m 曲线运动 1-8 质量m=0.1kg的小球沿半径R=1m的圆周运动，角位移θ =t ４ -3，求t=1s时小球所受外力的大小和方向。 解： 3 4 d d t t = = θ ω ， 2 12 d d t t = = ω α ， at = Rα =12Rt 2 ， 2 6 a R 16Rt n = ω = t =1s 时， at =12m/s 2 ， an =16m/s 2 ， 12 16 20m/s 2 2 a = + = F ma v v = ， F = ma = 0.1× 20 = 2 N v ， F v 与切线方向夹角 = = = 53.13° 12 16 arctan arctan t n a a β 1-9 一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系为 2 2 1 s = bt + ct ，其中b、c为正常数， 且Rc>b2 ，求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的时间。 解： b ct t s v = = + d d ， c t v at = = d d ， R b ct R v an 2 2 ( + ) = = ， at = an ， c R b ct = + 2 ( ) ， c Rc b t − = 1-10 一张CD光盘音轨区域的内半径R1=2.2cm，外半径R2=5.6cm，径向音轨密度n=650 条/mm。在CD唱机 内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v=1.3m/s的恒定线速度运 动的。求（1）这张光盘的全部放音时间是多少？（2）激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的 角速度和角加速度各为多少？ 解：(1) 在距离中心为 r 、宽度为d r 内音轨的长度为 2πrn d r ， 激光划过这些音轨所需的时间 v rn r t 2 d d π = ，整张 CD 的放音时间 (5.6 2.2 ) 4166s 69.4min 130 6500 ( ) 2 d d 2 2 2 1 2 2 2 1 − = = × = = = − = ∫ ∫ π π π R R v n v rn r t t R R (2) r v ω = ， r = 5.0 cm 时， 26rad/s 5.0 130 ω = = ， r n v rn v r v t r r v t 3 2 2 2 d 2 2 d d d π π ω α = = − = − = − r = 5.0 cm 时， 3 2 3 2 3.31 10 rad/s 2 5 6500 130 − = − × × × = − π α 相对运动 1-11 一列火车以 36km/h的速率向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴在车窗上形成的雨迹与竖直方 向成 300 角。求（1）雨滴相对于地面的水平分速度多大？相对于列车的水平分速度多大？（2）雨滴 相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？ 解： 雨对地 雨对车 车对地 v v v v v v = + 2
大学物理练习册一质点运动学 (1)雨滴相对于地面的水平分速度v2=0 雨滴相对于列车的水平分速度v2=-36kmh=-10m/s 雨对地 对地|tan60°=36tan60°=624km/h=173ms 车对地 下对=下动地/cos60°36/c0s60=-72kmh=20ms 1-12飞机A以v=1000km/h的速率相对于地面向南飞行,同时另一架飞机B以v=800km/h的速率相对于地面 向东偏南30方向飞行。求A机相对于B机速度的大小和方向。 解: B对地 AB=√2地+地-2地D地C060 10002+8002-2×1000×800×cos60° 917km/h sina="对地V对地Sin301000-800×0.5 917 0.6543 a=40.9°即A机相对于B机的速度方向为向西偏南40.9° 1-13一人在静水中以1.1m/s的速度划船,现欲横渡一宽为1.00×103m、水流速度为0.55m/s的大河。(1) 若要横渡到正对岸的一点,划行方向应如何?所需时间为多少?(2)如要用最短的时间过河,划行 方向应如何?到达对岸什么位置? 解:丙沿对地=下船对水+下 (1)a=arcc arccos 船对水 1000 1000 1000 V沿对地V船对水Sn60°1.1×sin60°1050s !V水对地 B= arctan=aen10=634° 0.55 1000 1000 V水对地 船对水 1.10=500m,船到达对岸下游500m处 3
大学物理练习册—质点运动学 y x 车对地 v v v雨对车 v 30° (1) 雨滴相对于地面的水平分速度 v1x = 0 雨滴相对于列车的水平分速度 36 km/h 10m/s v2 x = − = − 雨对地 v v (2) v雨对地 = v车对地 tan 60° = 36 tan 60° = 62.4 km/h =17.3m/s v v v雨对车 = v车对地 / cos 60° = 36 / cos60° = 72 km/h = 20m/s v v 1-12 飞机A以va=1000km/h的速率相对于地面向南飞行，同时另一架飞机B以vb=800km/h的速率相对于地面 向东偏南 300 方向飞行。求A机相对于B机速度的大小和方向。 解：v A对地 v A对B vB对地 v v v = + 东 917km/h 1000 800 2 1000 800 cos60 2 cos60 2 2 2 2 = = + − × × × ° vA对B = v A对地 +v B对地 − vA对地 ⋅vB对地 ° 0.6543 917 sin30 1000 800 0.5 sin = − × = − ° = A B A B v v v 对 对地 对地 α α = 40.9° 即 A 机相对于 B 机的速度方向为向西偏南 40.9°。 1-13 一人在静水中以 的速度划船，现欲横渡一宽为 、水流速度为 的大河。（1） 若要横渡到正对岸的一点，划行方向应如何？所需时间为多少？（2）如要用最短的时间过河，划行 方向应如何？到达对岸什么位置？ 1.1m/s 1.00 10 m3 × 0.55m/s α v A对地 v vB对地 v v A对B v 30° v水对地 v v船对水 v v 船对水 v v船对地 v v水对地 v α β 解：v船对地 v船对水 v水对地 v v v = + (1) = = = 60° 1.10 0.55 arccos arccos 船对水 水对地 v v α 1050s 1.1 sin60 1000 sin60 1000 1000 = × ° = ° = = v船对地 v船对水 t (2) = = = 63.4° 0.55 1.10 arctan arctan 水对地 船对水 v v β 500m 1.10 1000 0.55 1000 = × = × = 船对水 水对地 v x v ， 船到达对岸下游500m 处。 3