大学物理练习册一稳恒磁场 磁感应强度 91如图9-1所示,一条无穷长载流20A的直导线在P点被折成120的钝角,设d=2cm,求P点的磁感应强 度 解:P点在OA延长线上,所以OA上的电流在P的磁感应强度为零 B 作OB的垂线PQ,∠OPQ=30°,OB上电流在P点的磁感应强度大小 B: (sin B,-sin B (sin+sin30°) 图 4丌×10 (1+)=1.73×10-Wb/m2,方向垂直于纸面向外。 4丌×0.02 9-2半径为R的圆弧形导线与一直导线组成回路,回路中通有电流L,如图9-2所示,求弧心O点的磁感应 强度(图中φ为已知量)。 解;圆环电流在圆心处的磁场B=41 2R 圆弧ABC在O处的磁场B=2R2n)方向垂直纸面向里 图9-2 又直线电流的磁场B=H(smbp-smB),,直线AB在O处的磁场 4 B2=“sin2-sim(-9 .,m9_t9方向垂直纸面向里 4 4丌R 22丌R2 弧心O处的磁场B=B1+B2 41(2m-9+2 9-3两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并与很远的电源相连。如图9-3所示,求环中心的磁 感应强度。 解:设铁环被A、B两点分成两圆弧的弧长分别为l1、l2,电阻分别为R1、R2,电流分别为I1、Ⅰ 由图知R1与R2并联,:=R2= 即1h=I2l2 2R1l1 1在O点的磁感应强度 %= 20x Holi 方向垂直于纸面向外 4丌R2 图 Ⅰ2在O点的磁感应强度 %= 方向垂直于纸面向内 2R2R4丌R2
大学物理练习册—稳恒磁场 磁感应强度 9-1 如图 9-1 所示，一条无穷长载流 20 A的直导线在P点被折成 1200 的钝角，设d＝2cm，求P点的磁感应强 度。 解：P 点在 OA 延长线上，所以 OA 上的电流在 P 的磁感应强度为零。 作 OB 的垂线 PQ ，∠OPQ = 30° ，OB 上电流在 P 点的磁感应强度大小 0 0 2 1 (sin sin ) (sin sin 30 ) 4 4 cos30 2 I I B PQ d µ µ π β β π π = − = + ° ° B I P O 1200 d A 图 9-1 4 2 7 ) 1.73 10 Wb/ m 2 1 (1 2 3 4 0.02 4 10 20 − − + = × × × × × = π π ，方向垂直于纸面向外。 9-2 半径为 R 的圆弧形导线与一直导线组成回路，回路中通有电流 I，如图 9-2 所示，求弧心 O 点的磁感应 强度（图中 ϕ 为已知量）。 I A C ϕ I O R B 解：Q圆环电流在圆心处的磁场 R I B 2 µ 0 = ∴圆弧 ABC 在 O 处的磁场 ) 2 2 ( 2 0 1 π µ π −ϕ = R I B 方向垂直纸面向里 图 9-2 又直线电流的磁场 0 2 1 (sin sin ) 4 I B a µ θ θ π = − ，∴直线 AB 在 O 处的磁场 0 0 2 [sin sin( )] 2sin 4 2 2 2 2 4 cos 2 I I B tg a R R µ µ 0 2 ϕ ϕ ϕ µ I π π ϕ π = − − = ⋅ = ϕ 方向垂直纸面向里 弧心 O 处的磁场 0 1 2 (2 2 ) 4 2 I B B B tg R µ ϕ π ϕ π = + = − + 9-3 两根长直导线沿半径方向引到铁环上 A、B 两点，并与很远的电源相连。如图 9-3 所示，求环中心的磁 感应强度。 解：设铁环被 A、B 两点分成两圆弧的弧长分别为l1、l 2 ，电阻分别为 R1、 R2 ，电流分别为 I1、 I 2。 由图知 R1与 R2 并联，∴ l l R R I I 1 2 1 2 2 1 = = 即 I1l1 = I 2 l2 A O B I I ∴ I1在 O 点的磁感应强度 R I l R l R I B 2 0 1 1 0 1 1 1 2 2 4π µ π µ= ⋅ = 方向垂直于纸面向外 图 9-3 ∴ I 2在 O 点的磁感应强度 R I l R l R I B 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 4π µ π µ = ⋅ = 方向垂直于纸面向内 40
大学物理练习册一稳恒磁场 即B、B2大小相等,方向相反。∴B0=B1+B2=0 94一半径为R的薄圆盘,其中半径为r的阴影部分均匀带正电,面电荷密度为+o,其余部分均匀带负电 面电荷密度为-σ(见图9-4)。设此盘以角速度为ω绕其轴线匀速转动时,圆盘中心O处的磁感应强度 为零,问R和r有什么关系?并求该系统的磁矩。 解:(1)取半径为r’、宽为dr'的圆环面元,所带电量dq=ads=a·2m'dr 产生的电流d/=O dB=0d/k0°.0 emdr d r’<r的部分产生的磁场 图94 B.=dB=“odn=方向水平向右 r<r'<R的部分产生的磁场 dB=lo r)方向水平向左 由题意B0=B.-B.=0即20(2r-R)=0,:R=2r (2)d/的磁距大小dPm=rr2dl= @oTdr r<r部分Pn,=0ny=1omr;方向水平向右 r<r'<R部分Pm=00nJr"oh,、mn(R-r)方向水平向左 Pa=Pan-Pm=40072-R)=400x8R-R)=-320R方向水平向左 95氢原子处在正常态(基态)时,它的电子可看作是在半径为a=0.53×108cm的轨道(称为玻尔轨道) 上作匀速圆周运动,若电子在轨道中心处产生的磁感应强度大小为12.5T,求(1)电子运动的速度大 小?(2)该系统的磁矩。(电子的电荷电量e=16×10c)。 解:(1)作匀速圆周运动的电子,形成电流的电流强度为=e=e." 在轨道中心处产生的磁感应强度B y=4za2B_4×314×053×1003×125=2×10ms o 4×3.14×10-7×1.6×10-19 41
大学物理练习册—稳恒磁场 即 B 、 大小相等，方向相反。 v 1 B v 2 ∴ 2 0 0 1 B =B + B = v v v 9-4 一半径为 R 的薄圆盘，其中半径为 r 的阴影部分均匀带正电，面电荷密度为+σ，其余部分均匀带负电， 面电荷密度为-σ（见图 9-4）。设此盘以角速度为ω绕其轴线匀速转动时，圆盘中心 O 处的磁感应强度 为零，问 R 和 r 有什么关系？并求该系统的磁矩。 r O ω R 解：（1）取半径为 r′、宽为d r′ 的圆环面元，所带电量 d q = σ d s =σ ⋅ 2πr′d r′ 产生的电流 I d q 2 d π ω= ∴ 2 d 2 2 d 2 2 d d 0 0 0 r r r r r I B ′ = ′ ⋅ ⋅ ′ ′ = ′ = µ ωσ σ π π ω µ µ 图 9-4 r′ < r 的部分产生的磁场 0 0 0 2 2 r r B dB dr µ µ ωσ ω + = = ∫ ∫ ′ = σ 方向水平向右 r < r′ < R 的部分产生的磁场 ( ) 2 d 2 d 0 0 B B r R r R r = = ′ = − − ∫ ∫ µ ωσ µ ωσ 方向水平向左 由题意 B0 = B+ − B− = 0 即 (2 ) 0 2 0 r − R = µ ωσ ， ∴ R = 2r （2）d I 的磁距大小 dPm r dI r dr′ = ′ = ′ 2 3 π ωσπ r′ < r 部分 3 0 1 4 r P r m dr 4 + =ωσπ ∫ ′ ′ = ωσπ r 方向水平向右 r < r′ < R 部分 ( ) 4 3 1 4 4 P r dr R r R r m− = ωσπ ∫ ′ ′ = ωσπ − 方向水平向左 ∴ Pm Pm Pm r R R R R 4 4 4 4 4 32 7 ) 8 1 ( 4 1 (2 ) 4 1 = + − − = ωσπ − = ωσπ − = − ωσπ 方向水平向左 9-5 氢原子处在正常态（基态）时，它的电子可看作是在半径为a＝0.53×10-8 cm的轨道（称为玻尔轨道） 上作匀速圆周运动，若电子在轨道中心处产生的磁感应强度大小为 12.5T，求（1）电子运动的速度大 小？（2）该系统的磁矩。（电子的电荷电量e＝1.6×10-19C）。 解：（1）作匀速圆周运动的电子，形成电流的电流强度为 a v e t e I 2π = ⋅ ∆ = I 在轨道中心处产生的磁感应强度 a ev a I B 2 0 0 2 4π µ µ = = ∴ 2.2 10 m s 4 3.14 10 1.6 10 4 4 3.14 (0.53 10 ) 12.5 6 1 7 19 10 2 0 2 − − − − = × ⋅ × × × × × × × × = = e a B v µ π 41
大学物理练习册一稳恒磁场 (2)P=IS 2nxa2seVa_16×10-9×22×10×053×10=933×10Am 9-6已知一均匀磁场的磁感应强度B=2T,方向沿x轴正方向,如图9-6所示,已知ab=cd=40cm,bc= ad=e′=30cm,be=c′=30cm。求:(1)通过图中abcd面的磁通量;(2)通过图中bec面的磁通量; (3)通过图中ae面的磁通量。 解:(1)B垂直穿过平面abcd Φn=B.S=-BS=-2×04×03=-024Wb B 负号表示B线穿入该面 (2)B平行于平面bee,Φm2=B.Ssk= BS coS90=0 (3)穿入平面abcd的磁力线数与穿出aed平面的磁力线数相同 图9-6 中n=-中n1=0.24Wb 9-7两平行长直导线相距d=40cm,每根导线载有等量同向电流,如图9-7所示。求:(1)两导线所在平 面内,与左导线相距x(x在两导线之间)的一点P处的磁感应强度。(2)若=20A,通过图中斜线所示面 积的磁通量(n1=r3=10cm,=25cm) 解:建立如图所示的坐标系 (1)左导线在P点的磁感应强度Bμ.方向垂直纸面向下 右导线在P点的磁感应强度B:=2r(d-x) 方向垂直纸面向下 B=B、+B22xd-、),方向垂直纸面向下 图9-7 (2)在x处取宽为dx的面元dS=ldx设方向垂直纸面向下,其上磁通量 dam =BdS=4o/I 2丌xd-x d s +)·ldx=2.2×10°Wb d 安培环路定律 9-8如图9-8所示的导体圆管,内、外半径分别为a和b,导体内载有电流L,设电流I均匀分布在导体圆 管的横截面上,求:(1)磁感应强度的分布:(2)通过每米导体圆管S平面内(阴影部分)的磁感应 通量 解:(1)作半径为r、圆心在轴线上的圆为积分回路,由安培环路定律 r<a:5B,d=B12m=0,∴B1 图98
大学物理练习册—稳恒磁场 （2） 9.33 10 A m 2 1.6 10 2.2 10 0.53 10 2 2 24 2 19 6 10 2 = × ⋅ × × × × × = = ⋅ = = − − − eva a a ev Pm IS π π 磁通量 9-6 已知一均匀磁场的磁感应强度 B＝2T，方向沿 x 轴正方向，如图 9-6 所示，已知 ab＝cd＝40cm，bc＝ ad＝ef＝30cm，be＝cf＝30cm。求：（1）通过图中 abcd 面的磁通量；（2）通过图中 befc 面的磁通量； (3)通过图中 aefd 面的磁通量。 解：（1） B v 垂直穿过平面 abcd B a v z b d e f c O n v x y ∴ 2 0.4 0.3 0.24Wb Φm1 = B ⋅ Sabcd = −BSabcd = − × × = − v v 负号表示 B v 线穿入该面 （2） B v 平行于平面 befc， cos90 0 2 ∴Φm = B ⋅ Sbefc = BS ° = v v 图 9-6 （3）穿入平面 abcd 的磁力线数与穿出 aefd 平面的磁力线数相同 ∴ Φm2 = −Φm1 = 0.24 Wb 9-7 两平行长直导线相距d＝40cm，每根导线载有等量同向电流I，如图 9-7 所示。求：（1）两导线所在平 面内，与左导线相距x（x在两导线之间）的一点P处的磁感应强度。(2)若I＝20A，通过图中斜线所示面 积的磁通量（r1＝r3＝10cm，l＝25cm)。 解：建立如图所示的坐标系 r1 l I x P d I r2 r3 （1）左导线在 P 点的磁感应强度 x I B π µ 2 0 1 = ，方向垂直纸面向下 右导线在 P 点的磁感应强度 2 ( ) 0 2 d x I B − = π µ ，方向垂直纸面向下 ∴ ) 1 1 ( 2 0 1 2 x d x I B B B − = + = + π µ ，方向垂直纸面向下 图 9-7 （2）在 x 处取宽为 dx 的面元 dS=ldx 设方向垂直纸面向下，其上磁通量 l x x d x I m B S ) d 1 1 ( 2 d d 0 ⋅ − Φ = ⋅ = + π v v µ ∴ ) d 2.2 10 Wb 1 1 ( 2 d 0 6 1 2 1 − + ⋅ = × − = ⋅ = + ∫ ∫ r r r l x x d x I Φm B S π v v µ 安培环路定律 9-8 如图 9-8 所示的导体圆管，内、外半径分别为 a 和 b，导体内载有电流 I，设电流 I 均匀分布在导体圆 管的横截面上，求：（1）磁感应强度的分布；（2）通过每米导体圆管 S 平面内（阴影部分）的磁感应 通量。 b a I I S 解：（1）作半径为 r、圆心在轴线上的圆为积分回路，由安培环路定律 r < a ： 1 2 0 1 ⋅ = ⋅ = ∫ B dl B r L π v v ， ∴ B1 = 0 v 图 9-8 42
大学物理练习册一稳恒磁场 ab:B32丌r=01,∴B3= 方向与Ⅰ满足右手螺旋法则 (2)取面元dS=ldr=dr 2T(b rdr=loI HoaN 4z2r(b2-a2 99在半径为R的无限长圆柱形导体内部挖去一半径为r的无限长圆柱体,两柱体的轴线平行,相距为d, 如图99所示。该导体中通有电流l,且I均匀分布在横截面上。求:(1)圆柱导体轴线上的磁感应强 度;(2)空心部分轴线上的磁感应强度。 解:填补法。设在半径为r的空间中通有等量而反向的电流,其电流密度与导体中相同 (1)圆柱导体轴线的磁场由半径为r的无限长圆柱体中电流产生 dI=BI 2nd=HoI= Ho T() 'Tp,B=-HoIr2 2Td(r (2)空心部分轴线上的磁场由半径为R的无限长圆柱体中电流产生 fB2. di=B: 2 md= o/z- H0 T(R-r)'td",B2=Lld 2r(R2 图 9-10如图910所示,两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流,面电流密度分别为和i2,两电流密度 方向平行。求:(1)两面之间的磁感应强度;(2)两面之外空间的磁感应强度 解:无穷大板的磁感应强度大小B=20,建立如图所示坐标系 (1)两板之间,B1 Holl 12 e 2 B2≈~<0 B=B1+B2= (ir-in)e 图9-10 (2)在右板之外时,B-2 a,B2=Ba,:B=B1+B2=(+i) 在左板之外时,B=-出04,B2=-出百n,:B=B十B2=-(1+) 2 43
大学物理练习册—稳恒磁场 a b ： B π r µ I 3 0 ⋅ 2 = ，∴ r I B π µ 2 0 3 = ，方向与 I 满足右手螺旋法则 （2）取面元 d S = l d r = d r ∴ a b b a I I a dr r r a b a I b a m ln 2 ( ) 4 2 ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 − = − − − Φ = ∫ π µ π µ π µ 9-9 在半径为 R 的无限长圆柱形导体内部挖去一半径为 r 的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为 d， 如图 9-9 所示。该导体中通有电流 I，且 I 均匀分布在横截面上。求：（1）圆柱导体轴线上的磁感应强 度；（2）空心部分轴线上的磁感应强度。 解：填补法。设在半径为 r 的空间中通有等量而反向的电流，其电流密度与导体中相同 （1）圆柱导体轴线的磁场由半径为 r 的无限长圆柱体中电流产生 图 9-9 R r O O’ d ∴ r R r I B l B d I L 2 0 2 2 1 1 0 1 ( ) d 2 π π π µ µ ⋅ − ⋅ = ⋅ = = ⋅ ∫ v v ， 2 ( ) 2 2 2 0 1 d R r I r B − = π µ （2）空心部分轴线上的磁场由半径为 R 的无限长圆柱体中电流产生 ∴ d R r I B l B d I L 2 0 2 2 2 2 0 2 ( ) d 2 π π π µ µ ⋅ − ⋅ = ⋅ = = ⋅ ∫ v v ， 2 ( ) 2 2 0 2 R r Id B − = π µ 9-10 如图 9-10 所示，两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为 1 i v 和 2i v ，两电流密度 方向平行。求：（1）两面之间的磁感应强度；（2）两面之外空间的磁感应强度。 解：无穷大板的磁感应强度大小 2 0 i B µ = ，建立如图所示坐标系 1i v 2 i v （1）两板之间， e i B x v v 2 0 1 1 µ = ， e i B x v v 2 0 2 2 µ = − ∴ B B B i i e x v v v v ( ) 2 1 2 0 = 1 + 2 = − µ 图 9-10 （2）在右板之外时， e i B x v v 2 0 1 1 µ = ， e i B x v v 2 0 2 2 µ = ， ∴ B B B i i e x v v v v ( ) 2 1 2 0 = 1 + 2 = + µ 在左板之外时， e i B x v v 2 0 1 1 µ = − ， e i B x v v 2 0 2 2 µ = − ，∴ B B B i i e x v v v v ( ) 2 1 2 0 = 1 + 2 = − + µ 43
大学物理练习册一稳恒磁场 9-11如图9-l1所示,一均匀密绕的环形螺线管,匝数N,通有电流,横截面为矩形,圆环内、外半径分别 为R和R2。求:(1)环形螺线管内外的磁场分布;(2)环形螺线管横截面的磁通量 解:(1)磁场分布为以环轴为圆心的一圈圈圆。取一B线为积分回路,方向与B相同。 由安培环路定律,环管内磁场满足 B.d=B2m=HM,得B=<0N 环管外有B·2m=0即B=0 R2+RI (2)在横截面上取一宽度为dr的长条面元,磁通量为 9-1 dpm =BdS=BdS=HoNI 2m.bdr.. Ho Nlbi dr_Ho NIb,R2 磁场对电流的作用(安培力) 9-12半径为R的平面圆形线圈中载有自流l,若线圈置于一个均匀磁场B中,均匀磁场方向与线圈平面 垂直,如图9-12,则(1)线圈上单位长度的电流元所受磁场力为多少?(2)左半圆受力如何?(3 整个圆形线圈又如何? 解:(1)任取一电流元ld,所受磁场力dF=Ma×B 大小dF=lBdl方向指向圆心 (2)由对称性可知,左半圆受力方向水平向右 F左=∫ dF cos a=jIB. Rda. cos a=aIBR 图9-12 (3)右半圆受力水平向左,大小与左半圆相同,所以整个圆形线圈受力为零 9-13半径为R的平面圆形线圈中载有自流l,一载流的无限长直导线通过圆形线圈的圆心放置,并和圆 形线圈共面(相互绝缘),如图9-13所示,则圆形线圈左半圆所受磁力如何?整个圆形线圈所受磁力 又如何? 解:(1)如图在左半圆上任取一电流元ldl,受力大小 d F= IBdI=I.lo/ Rdas da 2丌Rcos 2丌cosa 由对称性可知,左半圆受磁场力方向水平向左 Fr=dF cosa= Hol da= lul 图9-13 (2)右半圆受磁力方向水平向左,且与F左相等,∴F=2F左=0 44
大学物理练习册—稳恒磁场 9-11 如图 9-11 所示，一均匀密绕的环形螺线管，匝数N，通有电流I，横截面为矩形，圆环内、外半径分别 为R1和R2。求：（1）环形螺线管内外的磁场分布；（2）环形螺线管横截面的磁通量。 解：（1）磁场分布为以环轴为圆心的一圈圈圆。取一 B v 线为积分回路，方向与 B v 相同。 由安培环路定律，环管内磁场满足 R2 R1 B l B πr µ NI 0 ⋅ d = ⋅ 2 = ∫ v v L ，得 r NI B π µ 2 0 = b 环管外有 B ⋅ 2πr = 0 即 B = 0 （2）在横截面上取一宽度为 dr 的长条面元，磁通量为 图 9-11 b r r NI m B S B S d 2 d d d 0 Φ = ⋅ = = ⋅ π v v µ ，∴ 1 0 0 2 ln 2 d 2 Φ 2 1 R NIb R r NIb r R R m π µ π µ = = ∫ 磁场对电流的作用（安培力） 9-12 半径为 R 的平面圆形线圈中载有自流 I， 若线圈置于一个均匀磁场 B v 中，均匀磁场方向与线圈平面 垂直，如图 9-12，则（1）线圈上单位长度的电流元所受磁场力为多少？（2）左半圆受力如何？（3） 整个圆形线圈又如何？ 解：（1）任取一电流元 Idl v ，所受磁场力 dF = Idl × B v v v B v I R 大小 dF = IBdl 方向指向圆心 （2）由对称性可知，左半圆受力方向水平向右 2 2 F dF cos IB Rd cos IBR π π α α α − 左 = = ∫ ∫ ⋅ ⋅ =α 图 9-12 （3）右半圆受力水平向左，大小与左半圆相同，所以整个圆形线圈受力为零。 9-13 半径为 R 的平面圆形线圈中载有自流 I，一载流 I’的无限长直导线通过圆形线圈的圆心放置，并和圆 形线圈共面（相互绝缘），如图 9-13 所示，则圆形线圈左半圆所受磁力如何？整个圆形线圈所受磁力 又如何？ I R I’ 解：（1）如图在左半圆上任取一电流元 Idl v ，受力大小 0 0 2 cos 2 cos I II d dF IBdl I Rd R µ µ α α π α π ′ ′ = = ⋅ ⋅ = ⋅ α 由对称性可知，左半圆受磁场力方向水平向左 ∴ 2 0 0 2 1 cos 2 2 II F dF d II π π µ α α µ π − ′ = = = ′ 左 ∫ ∫ 图 9-13 （2）右半圆受磁力方向水平向左，且与 F 左 相等，∴ 2 0 F F = 左 = µ II′ 44
大学物理练习册一稳恒磁场 9-14一无限长薄金属板,宽为a,通有电流l,其旁有一矩形线圈ABCD,通有电流l2,线圈与金属板共面 如图9-14所示。求:(1)在AB和CD处产生的磁感应强度:(2)薄金属板对AB和CD边的作用力 解:建立如图所示坐标系 (1)在金属板上x处取一宽为dx的面长条,其中电流 d 11 dx d在AB处的磁感应强度大小 d BaB 方向垂直纸面向下 2+b+c 2T(a+b-x) 图9-14 金属板上所有面长条在AB处产生的磁场方向相同 BB=JdBBsHollfdx 0l1a+b方向垂直纸面向下 2Ta oa+b- b 同理可得B=0l1na+b+c 方向垂直纸面向下 b+c FAB=∫M×B=4l21na+b I1I2, a+b 2a b∫a=∠o 2a I1I2 a+b+c 同理FCD-2ab+c 磁力矩 9-15在垂直于通有电流1的长直导线平面内有一扇形载流线圈abcd,半径分别为R1和R2,对长直导线张角 为a,线圈中通有电流l2,如图所示。求:(1)线圈各边所受的力:(2)线圈所受的力矩。 解:(1)bc和da上电流元方向与B同向∴Fk=Fd=0 在ab上距l1为处取电流元团,受力dF=x×B l2 1d⊥B,:dF=1dl.B=出n12dr,方向垂直于纸面向外 uoIn12 dr uoI112R 图9-15 ∫dF 同理F=nlnR2,方向垂直于纸面向内 RI (2)在距l1为处取一宽为d的面扇形,由扇形面积S=-r2a 磁矩为dPm=2dS=lrdr方向垂直于纸面向下
大学物理练习册—稳恒磁场 9-14 一无限长薄金属板，宽为a，通有电流I1，其旁有一矩形线圈ABCD，通有电流I2，线圈与金属板共面， 如图 9-14 所示。求：（1）I1在AB和CD处产生的磁感应强度；（2）薄金属板对AB和CD边的作用力。 解：建立如图所示坐标系 a b c D C I2 A B （1）在金属板上 x 处取一宽为 dx 的面长条，其中电流 I1 I 1 dI dx a = dI 在 AB 处的磁感应强度大小 0 2 ( ) AB dI d B a b x µ π = + − 方向垂直纸面向下 图 9-14 金属板上所有面长条在 AB 处产生的磁场方向相同 ∴ 0 1 0 1 0 ln 2 2 a AB AB I I dx a b B Bd a a b x a b µ µ π π + = = ∫ ∫ = + − 方向垂直纸面向下 同理可得 0 1 ln 2 CD I abc B a b c µ π + + = + 方向垂直纸面向下 （2） 0 0 1 2 1 2 ln ln 2 2 AB AB AB AB I I a b I I l a b F B Idl dli i a b a b µ µ π π + + = × ∫ ∫ = = v v v v v 同理 0 1 2 ln 2 CD I I l abc F i a b c µ π + + = + v v 磁力矩 9-15 在垂直于通有电流I1的长直导线平面内有一扇形载流线圈abcd，半径分别为R1和R2，对长直导线张角 为α ，线圈中通有电流I2，如图所示。求：（1）线圈各边所受的力；（2）线圈所受的力矩。 解：（1）bc 和 da 上电流元方向与 B v 同向 ∴ F F bc = da = 0 v v a b c I1 α d R2 R1 图 9-15 在ab上距I1 为r处取电流元 I 2dl v ，受力 dF = I 2dl × B v v v I2 Q I 2dl ⊥ B v v ，∴ 0 1 2 2 2 I I dF I dl B dr r µ π = ⋅ = ，方向垂直于纸面向外 2 1 0 0 1 2 1 2 2 1 ln 2 2 R ab R I I dr I I R F dF r R µ µ π π = = ∫ ∫ = 同理 0 1 2 2 1 ln 2 cd I I R F R µ π = ，方向垂直于纸面向内 （2）在距I1 为r处取一宽为dr的面扇形，由扇形面积 1 2 2 S = r ⋅α ∴ dS =αrdr 磁矩为 d d P I m = = 2 S I 2 αrdr 方向垂直于纸面向下 45
大学物理练习册一稳恒磁场 磁力矩大小为aM=dpn,B=1amuh-,nh=n1xdtr 2丌 2 M=olla R2 「dh 2 2r(2-R1)方向向右 16如图9-16所示.一矩形载流线圈由20匝相互绝缘的细导线绕成,可绕y轴转动,线圈中载有电流l 0.10A,放在磁感应强度B=0.50T的均匀磁场中,B的方向平行于x轴,求维持线圈在图示位置 时的力矩 解:矩形截流平面线圈的磁矩大小为Pm=NS,所受磁力矩大小为 M= Pm. bsin 6= NIB sin60°=20×0.1×0.1×0.05×0.5×=43×10-(Nm) 方向沿y负向 维持线圈在图示位置所需力矩M外=43×10-5(Nm) 10cm)5cm 图9-16 917一半径为R的带电薄圆盘,电荷面密度为a,放在均匀磁场B中,B的方向与盘面平行,如图9-17 所示。若圆盘绕其轴线以角速度ω转动,试求:(1)圆盘的磁矩;(2)场作用于圆盘的磁力矩 解:(1)取半径为r,宽为d的圆环,电量如=a·2rlr B 转动形成电流d=cq= word O 其磁距dPn=丌 图9-17 Pn=]dpn=7ooR,方向沿轴线向上 (2)Pn所受磁力矩大小M=FmxB=dPmB=m0rb方向垂直纸面向里 M=∫dM=「 Too Br2d= TOOR'B方向垂直纸面向里 场对运动电荷的作用 9-18两个正的点电荷q,相距为d,并排平行运动,速度为v。求它们之间的相互作用力,这个力是斥力还 是吸引力? 解:如图所示,上电荷q在下电荷q处产生的磁感应强度为B=.,方向垂直纸面向里
大学物理练习册—稳恒磁场 磁力矩大小为 0 0 1 1 2 2 2 2 m I I I dM dP I B rdr dr r µ µ α α π π = ⋅ = ⋅ = ∴ 2 1 0 0 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 R R I I I I M dr R R µ µ α α π π = = ∫ − 方向向右 9-16 如图 9-16 所示．一矩形载流线圈由 20 匝相互绝缘的细导线绕成，可绕 y 轴转动，线圈中载有电流 I ＝0.10 A，放在磁感应强度 B＝0.50 T 的均匀磁场中， B v 的方向平行于 x 轴，求维持线圈在图示位置 时的力矩。 解：矩形截流平面线圈的磁矩大小为 Pm = NIS ，所受磁力矩大小为 3 3 sin sin 60 20 0.1 0.1 0.05 0.5 4.3 10 (N m) 2 M B Pm θ NISB − = ⋅ = ° = × × × × × = × ⋅ 方向沿 y 负向 ∴维持线圈在图示位置所需力矩 3 M 4.3 10 j N m − = × ⋅ v v 外 （ ） 9-17 一半径为 R 的带电薄圆盘，电荷面密度为σ ，放在均匀磁场 B v 中， B v 的方向与盘面平行，如图 9-17 所示。若圆盘绕其轴线以角速度 ω 转动，试求：（1）圆盘的磁矩；（2）场作用于圆盘的磁力矩。 300 O z y x 10cm B v 5cm 图 9-16 解：（1）取半径为 r，宽为 dr 的圆环，电量 dq = σ ⋅ 2π rdr B v σ ω O 转动形成电流 R 2 dI dq rdr ω ωσ π = ⋅ = 其磁距 2 3 d d P r m = = π I πωσ r dr 图 9-17 4 0 4 1 p d p R R m = m = πωσ ∫ ，方向沿轴线向上 （2） 所受磁力矩大小 pm 3 dM = × d Pm B = d Pm ⋅ B = πωσ Br dr v v 方向垂直纸面向里 ∴ 3 0 1 4 R M 4 = = ∫ ∫ dM πωσ Br dr = πωσ R B 方向垂直纸面向里 磁场对运动电荷的作用 9-18 两个正的点电荷 q，相距为 d，并排平行运动，速度为 v。求它们之间的相互作用力，这个力是斥力还 是吸引力？ 解：如图所示，上电荷 q 在下电荷 q 处产生的磁感应强度为 d qv B 2 0 4 = ⋅ π µ ，方向垂直纸面向里 46
大学物理练习册一稳恒磁场 下电荷受磁力大小F=qB=9方向指向上电荷q,即相互吸引 下电荷受电场力大小F= 方向背向上电荷q,即相互排斥 48. d FE_11 =>1,相互排 Eolo v 1 919一电子的动能为10eV,在垂直于均匀磁场的平面内作圆周运动。巳知磁场B=1.0G,电子电荷为-e =1.6×10C,质量m=91×1053kg。求:(1)电子的轨道半径R:(2)电子的回旋周期T:(3)沿磁 场方向观察,电子是顺时针方向还是逆时针方向回旋? 解:(1)EA=1my2,;=(2E 轨道半径R= m(2Em)(2×10×16×10-9x9.1×10 =10.67cm 1.6×10-9×1×10 (2)T= 2mR2m2×3.14×9.1×10-31 eB16×10-9×1×10 3.6×10 (3)∵FL=-e×B,∴顺时针回旋 9-20一块样品如图9-19所示,已知它的横截面积为S,宽为γ,厚为d,载有电流l,外磁场B垂直于电 流(图中B垂直于纸面向外)。设单位体积中有n个载流子,每个载流子的电荷为q,平均定向速率为 v(1)证明:样品中存在一个大小为E=vB的电场,并指出E的方向:(2)上、下两边a、b的电势 差U,哪边电势高?(3)霍耳常数定义为R ES 证明 (注意讨论q为正和负的情 况) 解:(1)在平衡时,运动电荷受洛仑兹力和霍尔电场的作用 洛仑兹力F1=×B方向竖直向上 OB I 即a边积累正电荷,b边积累负电荷 所以霍尔电场由a边指向b边 b 图920 φ×B+qEn=0,∴EH=-×B,大小EH=VB (2)Ub=JEn:dl=j(-×B)dl=vBda边电势高 (3)由霍尔常数定义EH=RH-即R S R nq 磁力的功 47
大学物理练习册—稳恒磁场 下电荷受磁力大小 2 2 2 0 4 d q v Fm qvB π µ = = 方向指向上电荷 q，即相互吸引 下电荷受电场力大小 2 0 2 4 d q FE πε = 方向背向上电荷 q，即相互排斥 1 1 1 2 2 2 0 0 = = > v c F v F B E ε µ ，相互排斥。 9-19 一电子的动能为 10eV，在垂直于均匀磁场的平面内作圆周运动。巳知磁场B＝1.0G，电子电荷为 -e ＝1.6×10-19C，质量m＝9.1×10-31kg。求：（1）电子的轨道半径R；（2）电子的回旋周期T；（3）沿磁 场方向观察，电子是顺时针方向还是逆时针方向回旋？ 解：（1）Q Ek mv 2 2 1 = ，∴ ) 2 ( 2 1 m E v k = 轨道半径 10.67cm 1.6 10 1 10 (2 ) (2 10 1.6 10 9.1 10 ) 19 4 19 31 2 1 2 1 = × × × × × × × × = = = − − − − eB E m eB mv R k （2） 3.6 10 s 1.6 10 1 10 2 2 2 3.14 9.1 10 7 19 4 31 − − − − = × × × × × × × = = = eB m v R T π π （3）Q FL ev B v v v = − × ， ∴顺时针回旋 9-20 一块样品如图 9-19 所示，已知它的横截面积为 S，宽为 w，厚为 d，载有电流 I，外磁场 B v 垂直于电 流（图中 B v 垂直于纸面向外）。设单位体积中有 n 个载流子，每个载流子的电荷为 q，平均定向速率为 v。（1）证明：样品中存在一个大小为 E＝vB 的电场，并指出 E v 的方向；（2）上、下两边 a、b 的电势 差 U，哪边电势高？（3）霍耳常数定义为 IB ES RH = ，证明： nq RH 1 = 。（注意讨论 q 为正和负的情 况） 解：（ a 1）在平衡时，运动电荷受洛仑兹力和霍尔电场的作用 d B I v b 图 9-20 洛仑兹力 FL qv B v v v = × 方向竖直向上 即 a 边积累正电荷，b 边积累负电荷 所以霍尔电场由 a 边指向 b 边 Q qv × B + q EH = 0 v v v ，∴ E H v B v v v = − × ，大小 E H = vB （2）U E dl v B dl vBd a 边电势高 b a b a ab = ∫ H ⋅ = ∫ − × ⋅ = v v v v v ( ) （3）由霍尔常数定义 S IB E H = RH 即 vB S IB RH = ∴ qnSv nq vS I vS RH 1 = = = ，得证。 磁力的功 47
大学物理练习册一稳恒磁场 9-21题9-15中,若线圈在磁力作用下转到平衡位置,求磁场所做的功 解:开始时磁通量为:= BS cos024S,平衡位置时:2=BS A=Ip=(中2-9)=1BS=×0.1×0.5×0.1×0.05=1.25×10-J -22半径R=0.1m的半圆形闭合线圈,载有电流l=10A,放在B=0.5T的均匀磁场中,磁场方向与线圈面 平行,如图9-22所示。求:(1)线圈所受磁力矩的大小和方向(以直径为转轴):(2)若线圈受磁力 矩的作用转到线圈平面与磁场垂直的位置,则磁力矩作功 解:(1)∵M=PnXB,Fn=S万=1丌R2n,∴M=xR2×B 大小M=mR2B=×314×10×(0.1)2×0.5=785×10-2Nm 方向竖直向上 (2)A=1△p=I(2-)=l中2=1·B·丌R2=7.85×10-2J 图922 磁介质 9-23螺绕环中心周长l=10cm,环上均匀密绕N=200匝的线圈,线圈中通有电流/=100mA。(1)求管内的 磁感应强度B和磁场强度H0:(2)若管内充满相对磁导率=4200的磁性物质,则管内的B和H是 多少? 解:(1)在螺绕环截面积较小时,可将环内磁场视为均匀的。由安培环路定律 B0·d=B·2m=B0·=山N,∴Bo= M4z×107×200×012.5×104T o 0=B0=N2200200/m方向如图 0.1 NI (2)由安培环路定律∮H·dl=H=M,∴H A N B=H=4041=4200B0=105T 9-24一无限长、半径为R1的直圆柱形铜导线(≈灿)外包一层相对磁导率为4的圆筒形磁介质,其内外半 径分别为R1和R2,铜导线内有电流强度/通过,电流在横截面上均匀分布。求磁场强度和磁感应强度的 分布,并画出Hr曲线和B一r曲线。 解:以铜导线轴线为圆心作半径为r的圆为积分回路,方向与电流满足右手螺旋定律。由安培环路定律 TH d=H2Tr Ir rR2:H32r=1,∴H I B3=HoH3 2TI
大学物理练习册—稳恒磁场 9-21 题 9-15 中，若线圈在磁力作用下转到平衡位置，求磁场所做的功。 解：开始时磁通量为： BS BS 2 1 cos 1 φ = θ = ，平衡位置时： φ = BS 2 ∴ 0.1 0.5 0.1 0.05 1.25 10 J 2 1 2 1 ( ) 4 2 1 − A = I∆φ = I φ −φ = IBS = × × × × = × 9-22 半径 R＝0.1m 的半圆形闭合线圈，载有电流 I＝10A，放在 B=0.5T 的均匀磁场中，磁场方向与线圈面 平行，如图 9-22 所示。求：（1）线圈所受磁力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2）若线圈受磁力 矩的作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则磁力矩作功 R 图 9-22 I 解：（1）Q M Pm B v v v = × ， Pm ISn I R n v v v 2 2 1 = = ⋅ π ，∴ M I R n B v v v = × 2 2 1 π B v 大小 3.14 10 (0.1) 0.5 7.85 10 N m 2 1 2 1 2 2 2 = = × × × × = × ⋅ − M πI R B 方向竖直向上 （2） 7.85 10 J 2 1 ( ) 2 2 2 1 2 − A = I∆φ = I φ −φ = I φ = I ⋅ B ⋅ π R = × 磁介质 9-23 螺绕环中心周长l＝10cm，环上均匀密绕N＝200 匝的线圈，线圈中通有电流I＝100mA。（1）求管内的 磁感应强度 B0 v 和磁场强度 H0 v ；（2）若管内充满相对磁导率µr＝4200 的磁性物质，则管内的 B v 和 H v 是 多少？ 解：（1）在螺绕环截面积较小时，可将环内磁场视为均匀的。由安培环路定律 B dl B r B l NI L 0 0 π 0 µ 0 ∫ ⋅ = ⋅ 2 = ⋅ = v v ，∴ 2.5 10 T 0.1 4 10 200 0.1 4 7 0 0 − − = × × × × = = µ π l NI B 200A m 0.1 200 0.1 0 0 0 = × = = = l B NI H µ 方向如图 （2）由安培环路定律 H dl Hl NI L ∫ ⋅ = = v v ，∴ = = 200A m l NI H = = 0 = 4200 B0 = 1.05T l NI B µH µ µ r 9-24 一无限长、半径为R1的直圆柱形铜导线（µ≈µ0）外包一层相对磁导率为µr的圆筒形磁介质，其内外半 径分别为R1和R2，铜导线内有电流强度I通过，电流在横截面上均匀分布。求磁场强度和磁感应强度的 分布，并画出H—r曲线和B—r曲线。 解：以铜导线轴线为圆心作半径为 r 的圆为积分回路，方向与电流满足右手螺旋定律。由安培环路定律 2 L ∫ H d⋅ = l H ⋅ πr r v r R2： H 3 ⋅ 2π r = I ， ∴ 3 2 I H π r = ， 0 3 3 0 2 I B H r µ µ π = = 48