大学物理练习册一分子动理论 理想气体状态方程 5-1一容器内储有氧气,其压强为1.01×105Pa,温度为27C,求:(1)气体分子的数密度:(2)氧气的质 量密度;(3)氧分子的质量;(4)分子间的平均距离(设分子均匀等距分布)。 解:(1)p=mkT,n= 101×10 244×1025m3 kT1.38×10-×(273+27) R m pM_1.0l×10 =p=Rr8.31×(273+27) 44×10 nV244×10 5-2在容积为V的容器中的气体,其压强为p,称得重量为G1。然后放掉一部分气体,气体的压强降至p2, 再称得重量为G2。问在压强p3下,气体的质量密度多大? 解:设容器的质量为m,即放气前容器中气体质量9m,放气后容器中气体质量为m” G 由理想气体状态方程有 2. D RT=8 V=-lRT= RT 上面两式相减得 RT G-G Mmg(G-G)=(P2-p), Mad &p-P 当压强为P时,p=m=MmP=P.G2-G gv p-p 压强、温度的微观意义 5-3将20×102kg的氢气装在40×103m2的容器中,压强为3.9×105Pa,则氢分子的平均平动动能为多少? 解:∵:P=Mad MpI =3A7=3kMP212138×0208398104010=380 5-4体积=10-m3,压强p=10Pa的气体分子平均平动动能的总和为多少? 解:∑E=NkT,其中N为总分子数。∵p=nk7=A7,M=D kT p3-3 572kT=3p=3×105×103=150J
大学物理练习册—分子动理论 16 理想气体状态方程 5-1 一容器内储有氧气，其压强为 1.01105Pa，温度为 270C，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的质 量密度；（3）氧分子的质量；（4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布）。 解：(1) p = nkT ， 25 3 23 5 2.44 10 /m 1.38 10 (273 27) 1.01 10 = + = = − k T p n (2) R M m T pV mol = ， 3 5 3 mol 1.30kg/m 8.31 (273 27) 1.01 10 32 10 = + = = = − RT pM V m (3) mO n 2 = ， 5.33 10 kg 2.44 10 1.30 26 2 25 − = = = n mO (4) 3.45 10 m 2.44 10 1 1 9 3 25 3 − = = = n d 5-2 在容积为 V 的容器中的气体，其压强为 p1，称得重量为 G1。然后放掉一部分气体，气体的压强降至 p2， 再称得重量为 G2。问在压强 p3 下，气体的质量密度多大？ 解：设容器的质量为 m ，即放气前容器中气体质量为 m g G m = − 1 1 ，放气后容器中气体质量为 m g G m = − 2 2 。 由理想气体状态方程有 RT M m g G RT M m pV mol 1 mol 1 1 − = = ， RT M m g G RT M m p V mol 2 mol 2 2 − = = 上面两式相减得 G G p p V M g RT ( ) ( ) 2 1 2 1 mol − = − ， ( ) 2 1 2 1 mol p p G G gV RT M − − = 当压强为 3 p 时， 2 1 3 mol 3 3 2 1 p p G G gV p RT M p V m − − = = = 压强、温度的微观意义 5-3 将 2.010-2kg 的氢气装在 4.010-3m2 的容器中，压强为 3.9105Pa，则氢分子的平均平动动能为多少？ 解： RT M m pV mol = ， mR M pV T mol = 3.88 10 J 2 10 8.31 2 10 3.9 10 4.0 10 1.38 10 2 3 2 3 2 3 22 2 3 5 3 mol 23 − − − − − = = = = mR M p V k T k t 5-4 体积 3 3 10 m − V = ，压强 10 Pa 5 p = 的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解： t N kT 2 3 = ，其中 N 为总分子数。 kT V N p = nkT = ， kT pV N = 10 10 150 J 2 3 2 3 2 3 5 3 = = = = − k T pV k T pV t
大学物理练习册一分子动理论 5-5温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于leV,气 体的温度需多高?(leV=1.6×1019J 解:0°C时,E=kT=×1.38×10-23×273=565×10-21J 100°c时,6022 3×1.38×10-3×373=7.72×10-2J kT= leV=1.6×10J,∴分子具有leV平均动能时,气体温度为 E2×1.6×10 7.73×103K 能量均分、理想气体内能 5-6容积=50×103m3的容器中装有氧气,测得其压强p=2.0×105Pa,求氧气的内能。 MI 2 RT,又p=m-Rr,所以E=1p=3×20×105×50×103=25×105J 5-7若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时,则它们的质量比“和内能比各为多少? 解 RT Pl RT mol He mol He 又∵E RT=-VRT=-pv EH. iH,5 5-8容器内盛有理想气体,其密度为125×10kgm3,温度为273K,压强为1.0×102atm。求:(1)气体的 摩尔质量,并确定是什么气体;(2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能:(3)容器单位体积内 分子的总平动动能;(4)若该气体有0.3mol,其内能是多少? 解:(1)∵M=a= mRT.m=125×102kgm 1.25×10-×8.31×273 M,= 28×10-kg/mol 10×10-2×1013×1 气体是N2或CO ()=,入、》130×273=565×10-2J,转动自由度t=5-3=2 En=k7=138×102×273=37X102J (3)∵P=nk7,∴n=P10×10-2×101×10=269×102m3 38×10-3×273 E4=n·E1=2.69×1023×565×102=1.52×10°J (4)E=-RT=0.3×÷×8.31×273=1.70×103J M, 2 速率分布定律、三种速率 5-9计算气体分子热运动速率介于(v-v/100)和(v+/100之间的分子数占总分子数的百分比。(V为
大学物理练习册—分子动理论 17 5-5 温度为 0℃和 100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于 1eV，气 体的温度需多高？（1eV=1.610-19J） 解： 0C 时， 1.38 10 273 5.65 10 J 2 3 2 3 23 21 0 − − t= = k T = = 100C 时， 1.38 10 373 7.72 10 J 2 3 2 3 23 21 100 − − t= = k T = = 1eV 1.6 10 J −19 = ， 分子具有 1eV 平均动能时，气体温度为 7.73 10 K 3 1.38 10 2 1.6 10 3 2 3 23 19 = = = − − K T t 能量均分、理想气体内能 5-6 容积 V=5.010-3m3 的容器中装有氧气，测得其压强 p=2.0105Pa，求氧气的内能。 解： RT i M m E mol 2 = ，又 RT M m pV mol = ，所以 2.0 10 5.0 10 2.5 10 J 2 5 2 5 3 3 = = = − pV i E 5-7 若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时，则它们的质量比 m e m H H2 和内能比 E e E H H2 各为多少？ 解： RT M M pV 2 2 molH H = RT M M pV mol He He = ， 2 1 4 2 mol He mol H He H2 2 = = = M M M M 又 pV i RT i RT i M M E mol 2 2 2 = = = ， 3 5 He H He H2 2 = = i i E E 5-8 容器内盛有理想气体，其密度为 1.2510-2kg/m3，温度为 273K，压强为 1.010-2 atm。求：（1）气体的 摩尔质量，并确定是什么气体；（2）气体分子的平均平动动能和平均转动动能；（3）容器单位体积内 分子的总平动动能；（4）若该气体有 0.3mol，其内能是多少？ 解：(1) pV mRT Mmol = , 2 3 1.25 10 kg/m − = V m ， 28 10 kg/mol 1.0 10 1.013 10 1.25 10 8.31 273 3 2 5 2 mol − − − = M = 气体是 N2 或 CO (2) 1.38 10 273 5.65 10 J 2 3 2 3 −23 −21 t = k T = = ， 转动自由度 i = 5−3= 2 1.38 10 273 3.77 10 J 2 −23 −21 = = = k T i 转 (3) p = nkT, 23 3 23 2 5 2.69 10 /m 1.38 10 273 1.0 10 1.01 10 = = = − − k T p n 2.69 10 5.65 10 1.52 10 J 23 21 3 = = = − Ek n t (4) 8.31 273 1.70 10 J 2 5 0.3 2 3 mol = RT = = i M m E 速率分布定律、三种速率 5-9 计算气体分子热运动速率介于（vp-vp/100）和（vp+vp/100）之间的分子数占总分子数的百分比。（ p v 为
大学物理练习册一分子动理论 最概然速率) 解:速率区间较小时△=/)A=4x27 y2△ 2kT 当=,-n=09时,x=09:=,+=101)时,x=10:Ax=0 所以 AN 4 N (0.99) 0.02=1.66 5-10有N个粒子,其速率分布函数为 f(v)=C(0≤v≤10) f(v)=0 其中C为常数。(1)作速率分布曲线:(2)由1求常数C:(3)求粒子的平均速率 解:(1)速率分布曲线如右图 f(v) (2)由归一化条件「f(v)dv=1,「cdv=cv=1,得c (3)i=f()dv=]v-cdv=2 vo=2 5-11(1)某气体在平衡温度T2时的最概然速率与它在平衡温度T时的方均根速率相等,求T/T1:(2) 如已知这种气体的压强p和密度p,试导出其方均根速率表达式 解:(1)∵v ,由题意 723 (2)由理想气体状态方程p MP,即 RT p V RT M 3RT 3p M 5-12图5-12是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求:(1)氢气分子和 氧气分子的最概然速率;(2)两种气体的温度。 解:(1)由V=,RT可知,在相同温度下,Mn大的气体v小, 所以曲线Ⅱ对应氢气的分布,即vpm=2000ms 2000 v/(m s) M vpn32×2000=500ms 图5-12
大学物理练习册—分子动理论 18 最概然速率） 解：速率区间较小时 e v v k T m f v v N N kT mv = = − 2 2 2 3 2 ) 2 ( ) 4 ( 令 p v v x = , m kT vp 2 = ， x e x N N x = − 2 4 2 当 .099 0.99 100 = − = v x = v v v p p p 时， ； 1.01 1.01 100 = + = v x = v v v p p p 时， ； x = 0.02 所以 (0.99) 0.02 1.66% 4 2 2 (0.99) = = − e N N 5-10 有 N 个粒子，其速率分布函数为 f (v) = C （0≤v≤v0） f (v) = 0 （v＞v0） 其中 C 为常数。（1）作速率分布曲线；（2）由 v0 求常数 C；（3）求粒子的平均速率。 解：(1) 速率分布曲线如右图。 (2) 由归一化条件 = 0 f (v) d v 1， d 0 1 0 0 = = c v cv v ，得 0 1 v c = (3) 2 2 ( )d d 0 2 0 0 0 0 v v c v vf v v v c v v = = = = 5-11（1）某气体在平衡温度 T2 时的最概然速率与它在平衡温度 Tl 时的方均根速率相等，求 T2／T1；（2） 如已知这种气体的压强 p 和密度ρ，试导出其方均根速率表达式。 解：(1) mol 2 M RT v p = ， mol 2 3 M RT v = ， 由题意 mol 1 mol 2 2 3 M RT M RT = ，得 2 3 1 2 = T T (2) 由理想气体状态方程 RT M m pV mol = ， RT M p V m mol = = ，即 p M RT = mol p M RT v 3 3 mol 2 = = 5-12 图 5-12 是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求：（1）氢气分子和 氧气分子的最概然速率；（2）两种气体的温度。 解：(1) 由 mol 2 M RT vp = 可知，在相同温度下， Mmol 大的气体 p v 小， 所以曲线 对应氢气的分布，即 2000 m/s H2 vp = 2000 500 m/s 32 2 2 2 2 2 p H mol O mol H O = v = = M M v p O f(v) v/(m·s-1 ) 2000 II I 图 5-12 f (v) v C 0 0 v
物理练习册一分子动理论 (2)由,=2 RT a Mmol'V22×103×(200481×10K 2R 磁撞频率与自由程 5-13(1)如果理想气体的温度保持不变,当压强降为原值的一半时,分子的平均碰撞频率和平均自由程 为原来的多少?(2)如果压强保持不变,温度降为原值的一半,则分子的平均碰撞频率和平均自由 程又为原来的多少? 解:∵z=√2mdin,A= P kT AMMol p 16xR d2 kT ZM kT k 设原平均碰撞频率为z。,平均自由程为石 (1)当T保持不变,p降为原值一半时,2。3 A=2A0 (2)当P保持不变,T降为原值一半时,z=√z,元 5-14设氮分子的有效直径为10×10-10m。(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程;(2)如 果温度不变,气压降到1.33×104Pa,则平均碰撞次数和平均自由程又为多少? 解:(1)B=1.013×10Pa,T=273K,-8R78×8.31×273-454ms AmMol vrx28×10-3 P 1.013×10 269×1035m-3 KT1.38×10-23×273 z=√2m1n=√2x×(1.0×1010)2×454×2.69×102=542×10°s =、2mm==42 8.38×10-m (2)p=1.33X10Pa时,n=p1310 KT1.38×103x273=33×106m3 z=√2mn=√2m×(10×10-9)2×454×3.53×10=0712s 454 638m 0.712
大学物理练习册—分子动理论 19 (2) 由 mol 2 M RT vp = 得 4.81 10 K 2 8.31 2 10 (2000) 2 2 3 2 2 mol = = = − R M v T p 碰撞频率与自由程 5-13 （1）如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程 为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由 程又为原来的多少？ 解： Z d vn 2 = 2 ， d n 2 2 1 = ， kT p n = ， mol 8 M RT v = T p k R d k T p M RT Z d 2 mol 2 8 16 2 = = ， d p kT 2 2 = 设原平均碰撞频率为 Z0 ，平均自由程为 0 (1) 当 T 保持不变， p 降为原值一半时， 2 0 1 Z Z = ，1 = 20 (2) 当 P 保持不变，T 降为原值一半时， Z1 = 2Z0 ， 2 0 2 1 = 5-14 设氮分子的有效直径为 1010-10 m。（1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程；（2）如 果温度不变，气压降到 1.3310-4 Pa，则平均碰撞次数和平均自由程又为多少? 解： (1) 1.013 10 Pa 5 P0 = ，T0 = 273K ， 1 3 mol 0 454m s 28 10 8 8 8.31 273 − − = = = M RT v 25 3 23 5 0 2.69 10 m 1.38 10 273 1.013 10 − − = = = KT p n 2 10 2 25 8 1 2 2 (1.0 10 ) 454 2.69 10 5.42 10 s − − Z = d vn = = 8.38 10 m 5.42 18 454 2 1 7 2 8 − = = = = Z v d n (2) ' 1.33 10 Pa −4 p = 时， 16 3 23 4 0 3.53 10 m 1.38 10 273 ' 1.33 10 − − − = = = KT p n 2 10 2 16 1 2 2 (1.0 10 ) 454 3.53 10 0.712s − − Z = d vn = = 638m 0.712 454 2 1 2 = = = = Z v d n