的嵌入链P=(P1)互通(也称为Q一互通),其中pn=(-x、4,则对于任意h,状 q 态i,关于 Markov链{m:n≥0}也是互通的 证明我们只对有限状态情形给出证明 由互通可知存在l,…,m,使k≠k+1,(k=0,…,n,4=1,n+1=),q1qm…q>0 注意到当h≤某个h时,由P()-)1,对于任意i≠j有Pn(h)=qh+o(h),便得到 Pn(h)pm2(h)…P,(h)>0.即对于任意h≤h,i与j关于 Markov链{5m:n≥0}是互通的 h 对于h>h的情形,只要注意对于h给定,必然存在一个m使一<h,由此对于任意的i,j,只要 P(-)>0,利用引理5·15就得P(h)2P2(一)P(=)“>0 定理6.18对于满足(6.18)条件的连续时间的 Markov链{1【≥0},如果其转 移速率阵为Q-互通(意即对于任意i≠j,存在l1,…,lm,使 hk≠+,(k=0,…,n=11=),q9n…9,>0) 那么 P(t)-4 此时兀或者是一个概率分布,或者恒为0 证明由引理6.17,对Wh,{mn:n≥0}都是互通的 Markov链.由定理6.16可知 此时L具有相同的行向量故有形式L=I兀 5.连续时间的 Markov链的转移矩阵P(t)的不变分布 5.1连续时间的 Markov链的转移矩阵P()的不变分布与其嵌入链的不变分布 定义6.19概率分布向量丌称为P()的不变分布,如果对于任意t恒有 兀=兀P(t 在(6.18)条件满足下,它还等价于 事实上,我们只在有限状态情形给出证明.等价的必要性显然.今用后向方程证明充 分性.利用150 的嵌入链 ( ) ~ ~ P = pij 互通（也称为Q －互通）, 其中 i ij ij ij q q p (1 ) ~ = - d , 则对于任意h , 状 态i, j 关于 Markov 链 { : n 0} xnh ³ 也是互通的. 证明 我们只对有限状态情形给出证明． 由互通可知存在 1 m i ,L,i , 使 ,( 0, , ; , ) 1 0 1 i i k n i i i j k ¹ k+ = L = n+ = , q q q 0 ii i i i j 1 1 2 n L > . 注意到当 h £ 某个 h0 时, 由 P (t) ¾t¾®0® I , 对于任意i ¹ j 有 p (h) q h o(h) ij = ij + , 便得到 p h p h p h 0 ii i i i j 1 1 2 n ( ) ( )L ( ) > . 即对于任意h £ h0 ，i 与 j 关于 Markov 链 { : n 0} xnh ³ 是互通的. 对于h > h0 的情形, 只要注意对于 h 给定, 必然存在一个 m 使 0 h m h < , 由此对于任意的 i, j ,只要 0 m h pij( ) > ,利用引理５．１５就得 0 m h p m h p h p m 1 ij ³ ij jj > - ( ) ( ) ( ) . 】 定理 6．１８ 对于满足（6．18）条件的连续时间的 Markov 链{ : t 0} xt ³ , 如果其转 移速率阵为Q －互通（ 意即对于任意 i ¹ j ,存在 1 m i ,L,i , 使 ,( 0, , ; , ) 1 0 1 i i k n i i i j k ¹ k+ = L = n+ = , 0 1 1 2 ii i i i j > n q q Lq ）, 那么 P (t) ¾t®¾¥® p T = 1 ， 此时p 或者是一个概率分布，或者恒为０． 证明 由引理 6.１７, 对"h ,{ : n 0} xnh ³ 都是互通的 Markov 链. 由定理 6. １６可知 此时L 具有相同的行向量故有形式L p T = 1 . 5. 连续时间的 Markov 链的转移矩阵P (t) 的不变分布 5. 1 连续时间的 Markov 链的转移矩阵P (t) 的不变分布与其嵌入链的不变分布 定义６．１９ 概率分布向量p 称为 P (t) 的不变分布, 如果对于任意 t 恒有 p = p P (t) . 在(6.18)条件满足下，它还等价于 p Q = 0. 事实上，我们只在有限状态情形给出证明. 等价的必要性显然. 今用后向方程证明充 分性. 利用