(2)对于j≠i,要么P1(1)≡0;要么存在1,使Pn(1)>0,(Vt≥t0) 证明我们只对有限状态情形证明 (1)由于P(1)0>L,必定存在h>0,当h≤h时,对于任意i,有pn(h)>0.从 而对于任意t,有P1(1)≥P1()>0. (2)对于i≠j,若P()≡0不成立,则必定存在to,使P(n)>0·于是由(1)得到 Pn(口)≥Pn(n)Pn(-10)>0,(Vt2t) 定理6.16对于满足(6.18)条件的连续时间的 Markov链,存在行和为1的矩阵P(∞), 使 P(1)一 P 证明我们也只对有限个状态的情形证明.由引理6.15(1),对任意h>0, Markov链{mh:n≥0} 所有的状态1都是非周期的因为i是常返态,由定理5.50注1推得mn+P1(mh)存在,我们把它 记成pn("(∞) 对于≠j,若P()=0不成立,则由引理6.1(2)3tn,使p()>0,(V2t>0).对于 h≥10,因为i是常返态且i可达j,从而i与j属于同一个非周期常返类.由定理5.50注1推得 imn+P2(mh)存在总之有P(mh)-→P"(∞) 再则,由定理6.14,P(mh)的平均极限nnk 1∑P(kb)也应为L,从而P“()L 最后,我们来证明P(t)-L.事实上,由于P()-)I,当h小时有 lp4(h)-6kE,又对于任意充分大的t,有t-[<h,因而 P()-P2()∑P()p4(t-h)-6kE 由此可见 1→xP2(0)=m,→nP()=l 引理6.17对于满足(6。18)的连续时间的 Markov链{1:1≥0,如果i,j关于它 149149 (2) 对于 j ¹ i , 要么 p t 0 ij( ) º ; 要么存在 0 t , 使 ( ) ,( ) ij 0 p t > 0 "t ³ t . 证明 我们只对有限状态情形证明． (1) 由于 P (t) ¾t¾®0® I , 必定存在 h0 > 0 , 当h £ h0 时, 对于任意i , 有 pii(h) > 0 . 从 而对于任意t ，有 ( ) ³ ( ) > 0 n ii ii n t p t p . (2)对于i ¹ j , 若 p (t) º 0 ij 不成立, 则必定存在 0 t , 使 p t 0 ij( 0 ) > . 于是由(1)得到 ( ) ( ) ( ) ,( ) ij ij 0 jj 0 0 p t ³ p t p t - t > 0 "t ³ t . 定理6. １６ 对于满足（6．18）条件的连续时间的Markov链, 存在行和为１的矩阵 P (¥) , 使 P (t) ¾t®¾¥® P (¥) ． 证明 我们也只对有限个状态的情形证明．由引理 6.15(1), 对任意 h > 0, Markov 链 { : n 0} xnh ³ 所有的状态i 都是非周期的. 因为i 是常返态, 由定理 5．50 注 1 推得 lim p (nh) n®¥ ii 存在. 我们把它 记成 ( ) ( ) ¥ h pii . 对于 i ¹ j , 若 p t 0 ij( ) º 不成立, 则由引理 6.1(2) 0 $t , 使 p (t) 0,( t t 0) ij > " ³ 0 > .对于 0 h ³ t , 因为 i 是常返态且 i 可达 j ,从而 i 与 j 属于同一个非周期常返类. 由定理 5.50 注 1 推得 lim p (nh) n®¥ ij 存在. 总之有 P (nh) ¾n®¾¥® P ( ) ( ) ¥ h . 再则, 由定理 6. 14, P (nh) 的平均极限 å= ®¥ n k 1 n n 1 lim P (kh) 也应为L , 从而 P ( ) ( ) ¥ h =L . 最 后 ， 我们来证明 P (t) ¾t®¾¥® L . 事实上 , 由 于 P (t) ¾t¾®0® I , 当 h 小时有 | ( ) - d |< e kj kj p h , 又对于任意充分大的 t ，有 h h h t t - [ ] < , 因而 - £å - - < k ij ij ik kj h kj h t h p t h t h p h t | p (t) p ([ ] ) | ([ ] ) | ( [ ] ) d | e . 由此可见 lim t®¥ pij(t) = t ij ij h l h t lim ®¥ p ([ ] ) = . 引理 6. １７ 对于满足（6。18）的连续时间的 Markov 链{ : t 0} xt ³ , 如果 i, j 关于它