作业解答六 作业14f(x)=( (arctan x)2,求/(O) 解: arctan x=2∑ ∑(-1)”=2∑(-1)”(∑ 你02mx3 两端从0积到x得 2n+2 f(x)=2(-)(22m+1)2n+2(<1 由此得 0,k=2n+1 (n=0,1,2…) )(2n+1),k 12m+1 作业15设函数f(x)在x]上连续,且0f(x)dk=00/( x)cosxdx=0。 证明:在(0,x)内存在两个不同的点512,使得f(51)=f(2)=0。 证:令F(x)=f(0)dh,0≤x≤x,则显然有F(O)=0,F()=0。 0=Jo /(x)cos xdx=o cos xdF(x)=F(x)cos x16+o F(x)sin xdx (x)sin xdx= F(nsin n 由于0<n<丌,于是sin>0,故F(m)=0。由罗尔定理知 351∈(0.,m),52∈(T,),使得f(51)=f(52)=0 作业16设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且∫"(x)≠0。证明 (1)0≠x∈(-1,1),存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf(O(x)x) (2)lim(x)= 证:(1)由拉格朗日中值定理,V0≠x∈(-1,1),存在∈(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf((x)x)。又由于∫"(x)≠0,f"(x)在(-1,1)不变号,f(x)在 (-1,1)严格单调,故θ唯一。作业解答六 作业 14 2 f (x x ) = (arctan ) ，求 。 ( )(0) n f 解： 2 1 2 2 2 0 0 0 0 1 1 ( ) 2 arctan 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( ) 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n m x f x x x x x n m ∞ ∞ + ∞ +1 = = = = ′ = = − ⋅ − = − + + + ∑ ∑ ∑ ∑ 两端从0 积到 x 得 2 2 0 0 1 ( ) 2 ( 1) ( ) 2 1 2 n n n n m x f x m n 2 ∞ + = = = − + + ∑ ∑ （ x <1）。 由此得 ( ) 0 0, 2 1 (0) 1 2( 1) ( )(2 1)!, 2 2 2 1 k n n m k n f n k n m = ⎧ = + ⎪ = ⎨ − + = + ( 0 n ,1,2 ⎪ + ⎩ ∑ = ") 。 作业 15 设函数 f (x) 在[0,π ]上连续，且 0 0 f x( )dx 0, f x( ) cos xdx 0 π π = = ∫ ∫ 。 证明：在(0,π ) 内存在两个不同的点 1 2 ξ ,ξ ，使得 1 2 f f ( ) ξ = (ξ ) = 0 。 证：令 0 ( ) ( ) ,0 x F x = f t dt ≤ ≤x π ∫ ，则显然有 F F (0) = 0, (π ) = 0。 0 0 0 0 0 0 ( )cos cos ( ) ( )cos | ( )sin ( )sin ( )sin f x xdx xdF x F x x F x xdx F x xdx F π π π π π π η η = = = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ 。 由于0 < < η π ，于是sinη > 0，故 F( ) η = 0 。由罗尔定理知 1 2 ∃ ∈ ξ (0,η ξ ), ∈(η,π )，使得 1 2 f f ( ) ξ = (ξ ) = 0 。 作业 16 设 y f = (x) 在( 1− ,1) 内具有二阶连续导数，且 f x ′′( ) ≠ 0。证明： (1)∀ ≠ 0 x∈(−1,1) ，存在唯一的θ ( ) x ∈(0,1) ，使得 f ( ) x f = (0) + xf ′(θ (x)x) 。 (2) 0 1 lim ( ) x 2 θ x → = 。 证：(1)由拉格朗日中值定理，∀0 ≠ ∈x (−1,1) ，存在θ ∈(0,1) ，使得 f ( ) x f = + (0) xf ′(θ (x)x) 。又由于 f x ′′( ) ≠ 0 ， f ′′(x) 在 ( 1− ,1) 不变号， f ′(x) 在 ( 1− ,1) 严格单调，故θ 唯一。 1