(2)对f(Ox)用拉格朗日中值定理得 f(Ox)=f(0)+f"(5)x(在θx与0之间) 代入题(1)中式子得f(x)=f(0)+xf(0)+f"(5)0x 解得=f(x)-f(0)-x(0).1 f"(5) 由此mm)1m(x)-f(0)-xf(0 f"(0)1 f∫"(0)x→0 f"(0)22 作业17设函数∫(x)在[12]上连续,在(1,2)内可微,且f(x)≠0, 证明:存在5,n∈(1,2),使得:(5)=三 f(2)7 证:令g(x)=lnx,由柯西中值定理知,存在ξ∈(1,2),有 f(2)-f()f(5)=5·f( In 2-In1 1 分别对f(x)和g(x)用拉格朗日中值定理得 f(2)-f(1) In 2-In1 1 =f() 于是 f(2)-f(1) =f(2)n In 2-In 1 故 f()_5 f( n 注:本题编制得不严密,事实上,取这三个数相等即可。(2)对 f ′(θ x) 用拉格朗日中值定理得 f ′ ′ ( ) θ x f = + (0) f ′′(ξ θ )⋅ x（ξ 在θ x与 0 之间） 代入题(1)中式子得 2 f ( ) x f = + (0) xf ′ ′ (0) + f ′(ξ θ )⋅ ⋅ x 。 解得 2 ( ) (0) (0) 1 ( ) f x f xf x f θ ξ − − ′ = ⋅ ′′ 。 由此 2 0 0 1 ( ) (0) (0) 1 (0) 1 lim ( ) lim x x (0) (0) 2 2 f x f xf f x f f x θ → → − − ′ ′′ = = ⋅ = ′′ ′′ 。 作业 17 设函数 f (x) 在[1, 2]上连续，在(1, 2) 内可微，且 f x ′( ) ≠ 0， 证明：存在ξ η, ,ζ ∈(1, 2) ，使得： ( ) ( ) f f ζ ξ ξ η ′ = ′ 。 证：令 g x( ) = ln x ，由柯西中值定理知，存在ξ ∈(1,2)，有 (2) (1) ( ) ( ) ln 2 ln1 1 f f f f ξ ξ ξ ξ − ′ = = ⋅ ′ − 分别对 f (x) 和 g x( ) 用拉格朗日中值定理得 (2) (1) ln 2 ln1 1 ( ), 2 1 2 1 f f f ζ η − − = ′ = − − 。 于是 (2) (1) ( ) ln 2 ln1 f f f ζ η − = ′ ⋅ − 。 故 ( ) ( ) f f ζ ξ ξ η ′ = ′ . 注：本题编制得不严密，事实上，取这三个数相等即可。 2