·236 智能系统学报 第9卷 性存在差异，虽然一些对象含有某种条件属性的数 U/R4={A,A},其中A:=[x:]4表示与：具有完全 目比较多，但是这些条件属性对决策的影响程度可 相同的条件属性的对象全体，x:所具有的所有条件 能比较小：而另外一些对象含有的某种条件属性的 属性构成的集合称为i-条件属性集，记为A:,a∈A 数目比较少，但是这些条件属性对决策的影响程度 为i-条件属性；A:=U-[x]4表示与x,不具有完全 可能比较大。因此，不仅要考虑条件属性的个数，还 相同的条件属性的对象全体，称A:=A-A:为非i- 要考虑条件属性和决策属性的关联程度。 条件属性集，称a∈A:为非i-条件属性。 1基本概念 显然A:作为条件属性随机变量只有2种状态， 决策形式背景中知识的发现首先要根据不同的 A:表示i-条件属性成立，A,表示i-条件属性不成 属性将对象进行分类，同一类中的对象均具有共同的 立；D,作为决策属性随机变量也有2种状态，D.表 属性，所以对属性的研究可以归结到对某类对象的研 示决策属性d成立，D,表示决策属性d不成立。 究。下面给出决策形式背景中对象的分类方法。 若P是(U,A,I,D,J)上的概率测度，记 定义1[】称(U,A,I)为形式背景，其中 P(D/A;)= PUA()=1.1()=1,Va E A. U={x1,x2,…,x}为对象集，x,(i≤n)称为对象； P{L(x)=1} A={a1,a2,…,am}为属性集，a(≤m)称为属性； 则P(D,/A:)是条件概率，是集合A:相对于集合D。 I为U⑧A上的二元关系，ICU☒A。若(x,a)∈ 的包含度。 I,则称x具有属性a:若(x,a)I,则称x不具有 下面根据文献[14]，给出决策形式背景中的充 属性a。 分似然率与必然似然率的定义。 定义22)如果(U,A,)与(U,D,J)是2 定义5设(U,A,I,D,J)是决策形式背景，其 个形式背景，称(，A,I,D,J)为决策形式背景。 中A:是条件属性随机变量，D。是决策属性随机变 定义3设(U,A,I,D,J)是一个决策形式背 量，称L为充分似然率，L,为必然似然率。 景，当(x,a)∈1时，记为1(x)=1,即x具有属性 P(A/D) Ls(A:,Da)= (1) a;当(x,a)生I时，记为I(x)=0,即x不具有属性 P(A/D) P(A/Da)） Ra={(x,x)∈U×U1I.(x:)= LN(Ai,Da)= (2) 1n(x),Ha∈A} P(A/D) 定理1 设(0，A,1,D,J)是决策形式背景，其中A是 称R4为形式背景(U,A,I,D,J)中U上的确定 条件属性随机变量，D是决策属性随机变量，则有： 关系。由于关系R,满足自反性、对称性和传递性， O(Da/A)=Ls·O(Da) (3) 因此R,是U上的等价关系。在决策形式背景(U, A,I,D,J)中，由R,可以产生U上的一个划分]： Ls·P(Da) (4) U/RA={[x:]Ax:∈U} PD/A,)=(L,-I)P(D)+1 式中： 式中：[x:]A={x∈U(x,x)∈R}={x∈ P(D./A,)P(D/A,) U|I.(x)=I(x),Ha∈A} 0(D4/A)= (5) 同样对于决策属性d,有： P(D/A)1-P(D/A:) P(D) P(D) U/R =(Da,Da) O(D)= (6) 式中：Da={x:∈U川J(x:)=1},D4={x∈ P(D)1-P(D) U|J(x:)=0}。 Di P(DA)=TUT (7) 2主观贝叶斯概率推理 证明 由贝叶斯公式可得 概率理论是研究具有不确定性问题的理论，可 P(A/D)P(D) P(D4/A:)= (8) 以将其理解为信任的程度，也就是主观概率。它反 P(A.) 映了人们的经验，可能会因人而异。不过它本身的 P(A/Da)P(Da） P(D/A:)= P(A:) (9) 不确定性并不影响其在不确定推理中的应用，依据 主观概率进行推理可以更加明显地反映客观事实。 式(8)、(9)相除即得式(3)。将式(5)和式(6) 下面给出决策形式背景中的主观贝叶斯概率推理。 分别代入式(3)，即得 定义4设(U,A,I,D,J)是决策形式背景，对 P(D/A) P(D) 于划分U/R4={[x]4x:∈U},可以表示为 1-PD,/AL,‘1-PD)性存在差异，虽然一些对象含有某种条件属性的数 目比较多，但是这些条件属性对决策的影响程度可 能比较小；而另外一些对象含有的某种条件属性的 数目比较少，但是这些条件属性对决策的影响程度 可能比较大。 因此，不仅要考虑条件属性的个数，还 要考虑条件属性和决策属性的关联程度。 １ 基本概念 决策形式背景中知识的发现首先要根据不同的 属性将对象进行分类，同一类中的对象均具有共同的 属性，所以对属性的研究可以归结到对某类对象的研 究。 下面给出决策形式背景中对象的分类方法。 定 义 １ ［１１］ 称 （Ｕ，Ａ，Ｉ） 为形式背景，其中 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，．．．，ｘｎ { } 为对象集， ｘｉ（ｉ ≤ ｎ） 称为对象； Ａ ＝ ａ１ ，ａ２ ，．．．，ａｍ { } 为属性集， ａｊ（ｊ ≤ ｍ） 称为属性； Ｉ 为 Ｕ 􀱋 Ａ 上的二元关系， Ｉ ⊆ Ｕ 􀱋 Ａ。 若 （ｘ，ａ） ∈ Ｉ， 则称 ｘ 具有属性 ａ； 若 （ｘ，ａ） ∉ Ｉ， 则称 ｘ 不具有 属性 ａ。 定 义 ２ ［１２］ 如果 （Ｕ，Ａ，Ｉ） 与 （Ｕ，Ｄ，Ｊ） 是 ２ 个形式背景，称 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 为决策形式背景。 定 义 ３ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是一个决策形式背 景，当 （ｘ，ａ） ∈ Ｉ 时，记为 Ｉａ（ｘ） ＝ １， 即 ｘ 具有属性 ａ； 当 （ｘ，ａ） ∉ Ｉ 时，记为 Ｉａ（ｘ） ＝ ０， 即 ｘ 不具有属性 ａ。 ＲＡ ＝ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ∈ Ｕ × Ｕ ｜ Ｉａ（ｘｉ） ＝ Ｉａ（ｘｊ），∀ａ ∈ Ａ｝ 称 ＲＡ 为形式背景 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 中 Ｕ 上的确定 关系。 由于关系 ＲＡ 满足自反性、对称性和传递性， 因此 ＲＡ 是 Ｕ 上的等价关系。 在决策形式背景 （Ｕ， Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 中，由 ＲＡ 可以产生 Ｕ 上的一个划分［１３］ ： Ｕ／ ＲＡ ＝ ｘｉ [ ] Ａ ｘ { ｉ ∈ Ｕ} 式中： ［ｘｉ］ Ａ ＝ ｘｊ ∈ Ｕ （ｘｉ，ｘｊ） ∈ ＲＡ { } ＝ ｛ｘｊ ∈ Ｕ Ｉａ（ｘｉ） ＝ Ｉａ（ｘｊ），∀ａ ∈ Ａ｝ 同样对于决策属性 ｄ， 有： Ｕ／ Ｒｄ ＝ Ｄｄ ，Ｄ － ｄ { } 式 中： Ｄｄ ＝ ｛ｘｉ ∈ Ｕ Ｊｄ（ｘｉ） ＝ １ ｝，Ｄ － ｄ ＝ ｛ｘｉ ∈ Ｕ Ｊｄ（ｘｉ） ＝ ０｝。 ２ 主观贝叶斯概率推理 概率理论是研究具有不确定性问题的理论，可 以将其理解为信任的程度，也就是主观概率。 它反 映了人们的经验，可能会因人而异。 不过它本身的 不确定性并不影响其在不确定推理中的应用，依据 主观概率进行推理可以更加明显地反映客观事实。 下面给出决策形式背景中的主观贝叶斯概率推理。 定 义 ４ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是决策形式背景，对 于 划 分 Ｕ／ ＲＡ ＝ ｘｉ [ ] Ａ ｘ { ｉ ∈ Ｕ} ， 可 以 表 示 为 Ｕ／ ＲＡ ＝ Ａｉ，Ａ － ｉ { } ， 其中 Ａｉ ＝ ｘｉ [ ] Ａ 表示与 ｘｉ 具有完全 相同的条件属性的对象全体， ｘｉ 所具有的所有条件 属性构成的集合称为 ｉ ⁃条件属性集，记为 Ａｉ， ａ ∈ Ａｉ 为 ｉ ⁃条件属性； Ａ － ｉ ＝ Ｕ － ｘｉ [ ] Ａ 表示与 ｘｉ 不具有完全 相同的条件属性的对象全体，称 Ａ － ｉ ＝ Ａ － Ａｉ 为非 ｉ ⁃ 条件属性集，称 ａ ∈ Ａ － ｉ 为非 ｉ ⁃条件属性。 显然 Ａｉ 作为条件属性随机变量只有 ２ 种状态， Ａｉ 表示 ｉ ⁃条件属性成立， Ａ － ｉ 表示 ｉ ⁃条件属性不成 立； Ｄｄ 作为决策属性随机变量也有 ２ 种状态， Ｄｄ 表 示决策属性 ｄ 成立， Ｄ － ｄ 表示决策属性 ｄ 不成立。 若 Ｐ 是 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 上的概率测度，记 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ Ｊｄ（ｘ） ＝ １，Ｉ { ａ（ｘ） ＝ １} Ｐ Ｉ { ａ（ｘ） ＝ １} ，∀ａ ∈ Ａｉ 则 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） 是条件概率，是集合 Ａｉ 相对于集合 Ｄｄ 的包含度。 下面根据文献［１４］，给出决策形式背景中的充 分似然率与必然似然率的定义。 定 义 ５ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是决策形式背景，其 中 Ａｉ 是条件属性随机变量， Ｄｄ 是决策属性随机变 量，称 ＬＳ 为充分似然率， ＬＮ 为必然似然率。 ＬＳ（Ａｉ，Ｄｄ ） ＝ Ｐ（Ａｉ ／ Ｄｄ ） Ｐ（Ａｉ ／ Ｄ － ｄ ） （１） ＬＮ（Ａｉ，Ｄｄ ） ＝ Ｐ（Ａ － ｉ ／ Ｄｄ ） Ｐ（Ａ － ｉ ／ Ｄ － ｄ ） （２） 定理 １ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是决策形式背景，其中 Ａｉ 是 条件属性随机变量， Ｄｄ 是决策属性随机变量，则有： Ｏ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ＬＳ·Ｏ（Ｄｄ ） （３） Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ＬＳ·Ｐ（Ｄｄ ） （ＬＳ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ （４） 式中： Ｏ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） Ｐ（Ｄ － ｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） １ － Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） （５） Ｏ（Ｄｄ ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ） Ｐ（Ｄ － ｄ ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ） １ － Ｐ（Ｄｄ ） （６） Ｐ（Ｄｄ ） ＝ Ｄｄ Ｕ （７） 证明 由贝叶斯公式可得 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ａｉ ／ Ｄｄ ）Ｐ（Ｄｄ ） Ｐ（Ａｉ） （８） Ｐ（Ｄ － ｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ａｉ ／ Ｄ － ｄ ）Ｐ（Ｄ － ｄ ） Ｐ（Ａｉ） （９） 式（８）、（９）相除即得式（３）。 将式（５）和式（６） 分别代入式（３），即得 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） １ － Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ＬＳ· Ｐ（Ｄｄ ） １ － Ｐ（Ｄｄ ） ·２３６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷