第2期 郑淑贤，等：决策形式背景下的主观贝叶斯概率推理 ·237. 于是 则有 P(D4/A:)(1-P(Da)=Ls·P(Da)(1- 0(D4/A:)=Lw·O(Da) (10) P(D/A:)P(D./A:)[(Ls-1)P(D)+1]= Lw·P(Da) Ls·P(D)》 (11) 即得式(4)，证毕。 P(D/A.)=(Ls-1)P(Da)+1 式中： 定理2充分似然率L对P(D/A;)的影响为 1)Ls=1时，P(Da/A:)=P(Da),即i-条件属 P(D/A)P(D/A;) 0(D./-A:)= 性对决策属性d的可信度无影响： P(D4/A:)1-P(D4/A) 2)Ls>1时，P(D/A:)>P(D),即i-条件 证明 仿定理1可证。 属性增加决策属性d的可信度； 定理4必然似然率L,对P(D/A,)的影响为： 3)Ls<1时，P(D/A:)<P(D),即i-条件 1)Lw=1时，P(D/A:)=P(D),即非i-条件 属性减少决策属性d的可信度。 属性对决策属性d的可信度无影响： 证明设y=P(D/A;),a=P(D),x=Ls,则 2)Lw>1时，P(D/A:)>P(Da),即非i-条 式(4)成为 件属性增加决策属性d的可信度； y=ax/a(x-1)+1 对x求导即得 3)Lw<1时，P(D/A:)<P(Da),即非i-条 y=ala(-1)+1-=a(1-a) 件属性减少决策属性d的可信度。 [a(x-1)+1]2[a(x-1)+1]2 证明仿定理3.2可证。 主观贝叶斯概率推理为决策形式背景中的条件 若0<a<1,则y>0,即y是x的增函数，当 属性和决策属性间的关系讨论提供了一种简便的方 x=1时，y=a。于是Ls=1时，P(D,/A)=P(D), 同理可证(2)和(3)，证毕。 法，计算在一定条件属性下决策成立的可信度，主要 例1一个关于人体健康状况的信息系统如表 根据专家的经验知识给出充分似然率与必然似然 1,其中U={x1,x2,x3,x4,x5,x6},A={a1,a2,a3}, 率，由式(1)、(2)得 D={d;,d成立表示人体健康，d不成立表示人体不 1-L·P(A,/D) LN=- 健康。 1-P(A:/Da) 表1关于人体健康的决策表 故可得到以下结论： Table 1 A decision table related to health 1)L=1,当且仅当Lw=1; d 2)L≠1(Lw≠1)，时必有(Ls-1)(Lw-1)<0: 1 1 0 1 3)当P(D/A:)=0时，必有P(A,/D)=0,于是 2 1 0 1 0 L、=0,即对象具有i-条件属性时决策属性d必然 X3 0 0 1 1 不成立； 4 0 1 4)当P(D,/A)=0时，必有P(A,/D)=0,于是 0 0 1 0 0 0 1 1 L、=0,即对象具有非i-条件属性时决策属性d必 然不成立： 显然(U,A,I,D,J)是决策形式背景，Da= {x1,x3,x4,x6},P(D)=2/3,对于3-条件属性A3, 5)当1<L<o且L越大，P(A,/D)越大，从 而P(D/A:)越大，于是L、越大时，对象具有i-条件 有A3={a3},则A3={a1,a2}。若专家给出L、=1, 属性时对决策属性d的确定越有利： 于是P(D/A3)=2/3=P(Da),也就说明了a这项 指标对人体健康状况无影响；L,>1,于是 6)当1<L、<o且Lw越大，P(A,/D)越大，从 P(D,/A)>2/3=P(D),也就说明了a,这项指标 而P(D,/A:)越大，于是Lw越大时，对象具有非i 可以使人体更加健康；L<1,于是P(D/A)< 条件属性时对决策属性d的确定越有利。 2/3=P(D),也就说明了a3这项指标危害人体健 由于在主观贝叶斯概率推理中，L、和L,是专家根 康。通过以上的讨论可以看出指标a与人体健康 据经验主观给出的，在给出L、和L、时必须充分理解它 状况的关系受到专家主观给出的L、的影响，也就是 们的实际意义，也就是要满足以上6条性质。 说专家自身的主观经验在推理过程中起着至关重要 3基于包含度的概率推理 的作用。 定理3设(U,A,I,D,J)是决策形式背景，其中 在上述推理过程中，利用了由经验给出的充分 A:是条件属性随机变量，D是决策属性随机变量， 似然率与必然似然率计算条件概率P(D,/A)和于是 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ）（１ － Ｐ（Ｄｄ ）） ＝ ＬＳ·Ｐ（Ｄｄ ）（１ － Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ））Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） （ＬＳ [ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １] ＝ ＬＳ·Ｐ（Ｄｄ ） 即得式（４），证毕。 定理 ２ 充分似然率 ＬＳ 对 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） 的影响为 １） ＬＳ ＝ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ）， 即 ｉ ⁃条件属 性对决策属性 ｄ 的可信度无影响； ２） ＬＳ ＞ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＞ Ｐ（Ｄｄ ）， 即 ｉ ⁃条件 属性增加决策属性 ｄ 的可信度； ３） ＬＳ ＜ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＜ Ｐ（Ｄｄ ）， 即 ｉ ⁃条件 属性减少决策属性 ｄ 的可信度。 证明 设 ｙ ＝ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ）， ａ ＝ Ｐ（Ｄｄ ），ｘ ＝ ＬＳ ， 则 式（４）成为 ｙ ＝ ａｘ ／ ａ（ｘ － １） ＋ １ 对 ｘ 求导即得 ｙ ＇ ＝ ａ [ａ（ｘ － １） ＋ １] － ａ ２ ｘ [ａ（ｘ － １） ＋ １] ２ ＝ ａ（１ － ａ） [ａ（ｘ － １） ＋ １] ２ 若 ０ ＜ ａ ＜ １， 则 ｙ ′ ＞ ０， 即 ｙ 是 ｘ 的增函数，当 ｘ ＝ １ 时， ｙ ＝ ａ。 于是 ＬＳ ＝ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ）， 同理可证（２）和（３），证毕。 例 １ 一个关于人体健康状况的信息系统如表 １，其中 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ，Ａ ＝ ａ１ ，ａ２ ，ａ３ { } ， Ｄ ＝{ｄ} ，ｄ 成立表示人体健康， ｄ 不成立表示人体不 健康。 表 １ 关于人体健康的决策表 Ｔａｂｌｅ １ Ａ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｔａｂｌｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｈｅａｌｔｈ Ｕ ａ１ ａ２ ａ３ ｄ ｘ１ １ １ ０ １ ｘ２ １ ０ １ ０ ｘ３ ０ ０ １ １ ｘ４ ０ ０ １ １ ｘ５ ０ ０ １ ０ ｘ６ ０ ０ １ １ 显 然 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是 决 策 形 式 背 景， Ｄｄ ＝ ｘ１ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ６ { } ， Ｐ（Ｄｄ ） ＝ ２ ／ ３， 对于 ３⁃ 条件属性 Ａ３ ， 有 Ａ３ ＝ ａ３ { } ， 则 Ａ － ３ ＝ ａ１ ，ａ２ { } 。 若专家给出 ＬＳ ＝ １， 于是 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ３ ） ＝ ２ ／ ３ ＝ Ｐ（Ｄｄ ）， 也就说明了 ａ３ 这项 指标 对 人 体 健 康 状 况 无 影 响； ＬＳ ＞ １， 于 是 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ３ ） ＞ ２ ／ ３ ＝ Ｐ（Ｄｄ ）， 也就说明了 ａ３ 这项指标 可以使人体更加健康； ＬＳ ＜ １， 于是 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ３ ） ＜ ２ ／ ３ ＝ Ｐ（Ｄｄ ）， 也就说明了 ａ３ 这项指标危害人体健 康。 通过以上的讨论可以看出指标 ａ３ 与人体健康 状况的关系受到专家主观给出的 ＬＳ 的影响，也就是 说专家自身的主观经验在推理过程中起着至关重要 的作用。 定理 ３ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是决策形式背景，其中 Ａｉ 是条件属性随机变量， Ｄｄ 是决策属性随机变量， 则有 Ｏ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ ＬＮ·Ｏ（Ｄｄ ） （１０） Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ ＬＮ·Ｐ（Ｄｄ ） （ＬＮ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ （１１） 式中： Ｏ（Ｄｄ ／ －Ａｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） Ｐ（Ｄ － ｄ ／ Ａ － ｉ） Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） １ － Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） 证明 仿定理 １ 可证。 定理 ４ 必然似然率 ＬＮ 对 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） 的影响为： １） ＬＮ ＝ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ）， 即非 ｉ ⁃条件 属性对决策属性 ｄ 的可信度无影响； ２） ＬＮ ＞ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＞ Ｐ（Ｄｄ ）， 即非 ｉ ⁃条 件属性增加决策属性 ｄ 的可信度； ３） ＬＮ ＜ １ 时， Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＜ Ｐ（Ｄｄ ）， 即非 ｉ ⁃条 件属性减少决策属性 ｄ 的可信度。 证明 仿定理 ３．２ 可证。 主观贝叶斯概率推理为决策形式背景中的条件 属性和决策属性间的关系讨论提供了一种简便的方 法，计算在一定条件属性下决策成立的可信度，主要 根据专家的经验知识给出充分似然率与必然似然 率，由式（１）、（２）得 ＬＮ ＝ １ － ＬＳ·Ｐ（Ａｉ ／ Ｄ － ｄ ） １ － Ｐ（Ａｉ ／ Ｄｄ ） 故可得到以下结论： １） ＬＳ ＝ １， 当且仅当 ＬＮ ＝ １； ２） ＬＳ ≠１（ＬＮ ≠１），时必有（ＬＳ － １）（ＬＮ － １） ＜ ０； ３）当 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ０ 时，必有 Ｐ（Ａｉ ／ Ｄｄ ） ＝ ０， 于是 ＬＳ ＝ ０， 即对象具有 ｉ ⁃条件属性时决策属性 ｄ 必然 不成立； ４）当 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ ０ 时，必有 Ｐ（Ａ － ｉ ／ Ｄｄ ） ＝ ０， 于是 ＬＮ ＝ ０， 即对象具有非 ｉ ⁃条件属性时决策属性 ｄ 必 然不成立； ５）当 １ ＜ ＬＳ ＜ ¥且 ＬＳ 越大， Ｐ（Ａｉ ／ Ｄｄ ） 越大，从 而 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） 越大，于是 ＬＳ 越大时，对象具有 ｉ ⁃条件 属性时对决策属性 ｄ 的确定越有利； ６）当 １ ＜ ＬＮ ＜ ¥且 ＬＮ 越大， Ｐ（Ａ － ｉ ／ Ｄｄ ） 越大，从 而 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） 越大，于是 ＬＮ 越大时，对象具有非 ｉ ⁃ 条件属性时对决策属性 ｄ 的确定越有利。 由于在主观贝叶斯概率推理中， ＬＳ 和 ＬＮ 是专家根 据经验主观给出的，在给出 ＬＳ 和 ＬＮ 时必须充分理解它 们的实际意义，也就是要满足以上 ６ 条性质。 ３ 基于包含度的概率推理 在上述推理过程中，利用了由经验给出的充分 似然率与必然似然率计算条件概率 Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） 和 第 ２ 期 郑淑贤，等：决策形式背景下的主观贝叶斯概率推理 ·２３７·