·238· 智能系统学报 第9卷 P(D/A)。条件概率也是一种包含度，因此可以 同理可得 利用充分似然率与必然似然率计算其他的包含度。 D(D/A)=1- (Ls-1)P(D4) 定义6[的X为普通集合，F(X)表示X中模 Ls -LN 糊集合的全体，设对于任意A,B∈F(X),有数 证毕。 定理6充分似然率L和必然似然率L、对包 D(B/A)对应且满足： 含度D(D4/A:)及D(Da/A:)的影响为： 1)0≤D(B/A)≤1； 1)Ls=1时，D(D4/A:)=P(D);Lw=1时， 2)对于HA,B∈F(X),ASB时D(B/A)=1; D(D/A)=P(Da)。 3)对于A,B,C∈F(X),A二B二C时有 2)Ls>1时，D(D/A:)>P(Dd);Lw>1时， D(A/C)≤D(A/B), D(D/A:)>P(D)。 称D为F(X)上的包含度。 3)Ls<1时，D(Da/A)<P(D);Lw<1时， 容易验证： D(D/A)<P(Da)。 证明由函数的单调性可证。 D,(D/A)=PM,VD)=P{xx年AVx∈D} 定理7设(U,A,I,D,J)是决策形式背景，其 D.(D/A)=P(A/D)= P{xx年A:x∈D} 中A:是条件属性随机变量，D:是决策属性随机变 Px|x年Da} 量，以下关系成立： 是2种不同的包含度。 定理5设(U,A,1,D,J)是决策形式背景，其 Ls-1 D2(D/A)= 中A:是条件属性随机变量，D,是决策属性随机变 Ls-Lv 量，则有 1-LN D,(D/A)=1-1-L)P(D,) D,(D/A)=-L 证明 由于 Ls-LN D,(D/A,)=1-(L,-1)P(D) P(D/A)P(A;) D.(D/A)=P(A/D)= P(D) Ls -LN 证明由定理1和定理2可知： (1-P(D/A:)P(A:) Ls·P(Da) P(Da) P(DA,)=(L,-1)P(D)+1 Lw·P(Da) 1P(A) Lw·P(Da） 1- P(D,/A)=L-1)P(D)+ (Lx -1)P(D)+1P(Da) P(A:) 根据全概率公式： (LN-1)P(Da)+1 P(D)=P(D/A)P(A:)+P(D/A)P(A) 再将定理5中的P(A)代入即得 及 Ls -1 P(A:)+P(A)=1 D,(D/A,)=i,-L 就有 P4)=1-)[(L,-1)P(D)+1 同理可证 1 LN (Ls-Lx) P(1)=L,-1)[(L,-1)P(D)+1] D,(D/A,)=-i 证毕。 (Ls-Lx) 例2根据表1，可以得出P(D)=2/3, 于是得到 P(D)=1/3,令L=2,Lw=0.5于是计算出 D (D/A)=P(A:V D)= 1-P(A:ΛD)=1-P(D/A)P(A)= DA-品-/-8 1--z4 L·P(D) 在计算过程中没有用到概率P(D)以及 P(A:)P(Da) L-1)PD7=1-1-Lw)P(Da） P(D),也就是说不需先验概率便可将包含度D,计 (Ls-LN) 算得出。Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ）。 条件概率也是一种包含度，因此可以 利用充分似然率与必然似然率计算其他的包含度。 定义 ６ ［１５］ Ｘ 为普通集合， Ｆ（Ｘ） 表示 Ｘ 中模 糊集合的全体，设对于任意 Ａ ～ ，Ｂ ～ ∈ Ｆ（Ｘ）， 有数 Ｄ（Ｂ ～ ／ Ａ ～ ） 对应且满足： １） ０ ≤ Ｄ（Ｂ ～ ／ Ａ ～ ） ≤ １； ２）对于 ∀Ａ ～ ，Ｂ ～ ∈ Ｆ（Ｘ）， Ａ ～ ⊆ Ｂ ～ 时 Ｄ（Ｂ ～ ／ Ａ ～ ） ＝ １； ３） 对于 Ａ ～ ，Ｂ ～ ，Ｃ ～ ∈ Ｆ（Ｘ）， Ａ ～ ⊆ Ｂ ～ ⊆ Ｃ ～ 时有 Ｄ（Ａ ～ ／ Ｃ ～ ） ≤ Ｄ（Ａ ～ ／ Ｂ ～ ）， 称 Ｄ 为 Ｆ（Ｘ） 上的包含度。 容易验证： Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ）＝ Ｐ（Ａ － ｉ ∨Ｄｄ）＝ Ｐ ｘ ｘ ∉Ａｉ ∨ｘ ∈Ｄｄ { } Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａｉ）＝ Ｐ（Ａ － ｉ ／ Ｄ － ｄ）＝ Ｐ ｘ ｘ ∉Ａｉ，ｘ ∈Ｄｄ { } Ｐ ｘ ｘ ∉Ｄｄ { } 是 ２ 种不同的包含度。 定理 ５ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是决策形式背景，其 中 Ａｉ 是条件属性随机变量， Ｄｄ 是决策属性随机变 量，则有 Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ １ － （１ － ＬＮ）Ｐ（Ｄ － ｄ ） ＬＳ － ＬＮ Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ １ － （ＬＳ － １）Ｐ（Ｄ － ｄ ） ＬＳ － ＬＮ 证明 由定理 １ 和定理 ２ 可知： Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ＬＳ·Ｐ（Ｄｄ ） （ＬＳ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ ＬＮ·Ｐ（Ｄｄ ） （ＬＮ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ 根据全概率公式： Ｐ（Ｄｄ ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａｉ）Ｐ（Ａｉ） ＋ Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ）Ｐ（Ａ － ｉ） 及 Ｐ（Ａｉ） ＋ Ｐ（Ａ － ｉ） ＝ １ 就有 Ｐ（Ａｉ） ＝ （１ － ＬＮ） （ＬＳ [ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １] （ＬＳ － ＬＮ） Ｐ（Ａ － ｉ） ＝ （ＬＳ － １） （ＬＮ [ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １] （ＬＳ － ＬＮ） 于是得到 Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ａ － ｉ ∨ Ｄｄ ） ＝ １ － Ｐ（Ａ － ｉ ∧ Ｄｄ ） ＝ １ － Ｐ（Ｄ － ｄ ／ Ａｉ）Ｐ（Ａｉ） ＝ １ － １ － ＬＳ·Ｐ（Ｄｄ ） （ＬＳ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ é ë ê ê ù û ú ú Ｐ（Ａｉ） ＝ １ － Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｄ － ｄ ） （ＬＳ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ ＝ １ － （１ － ＬＮ）Ｐ（Ｄ － ｄ ） （ＬＳ － ＬＮ） 同理可得 Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ １ － （ＬＳ － １）Ｐ（Ｄ － ｄ ） ＬＳ － ＬＮ 证毕。 定理 ６ 充分似然率 ＬＳ 和必然似然率 ＬＮ 对包 含度 Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ） 及 Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） 的影响为： １） ＬＳ ＝ １ 时， Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ）； ＬＮ ＝ １ 时， Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ Ｐ（Ｄｄ ）。 ２） ＬＳ ＞ １ 时， Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＞ Ｐ（Ｄｄ ）； ＬＮ ＞ １ 时， Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＞ Ｐ（Ｄｄ ）。 ３） ＬＳ ＜ １ 时， Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＜ Ｐ（Ｄｄ ）； ＬＮ ＜ １ 时， Ｄ１（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＜ Ｐ（Ｄｄ ）。 证明 由函数的单调性可证。 定理 ７ 设 （Ｕ，Ａ，Ｉ，Ｄ，Ｊ） 是决策形式背景，其 中 Ａｉ 是条件属性随机变量， Ｄｄ 是决策属性随机变 量，以下关系成立： Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ＬＳ － １ ＬＳ － ＬＮ Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ １ － ＬＮ ＬＳ － ＬＮ 证明 由于 Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ Ｐ（Ａ － ｉ ／ Ｄ － ｄ ） ＝ Ｐ（Ｄ － ｄ ／ Ａ － ｉ）Ｐ（Ａ － ｉ） Ｐ（Ｄ － ｄ ） ＝ （１ － Ｐ（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ））Ｐ（Ａ － ｉ） Ｐ（Ｄ － ｄ ） ＝ １ － ＬＮ·Ｐ（Ｄｄ ） （ＬＮ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ é ë ê ê ù û ú ú Ｐ（Ａ － ｉ） Ｐ（Ｄｄ ） ＝ Ｐ（Ａ － ｉ） （ＬＮ － １）Ｐ（Ｄｄ ） ＋ １ 再将定理 ５ 中的 Ｐ（Ａ － ｉ） 代入即得 Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａｉ） ＝ ＬＳ － １ ＬＳ － ＬＮ 同理可证 Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａ － ｉ） ＝ １ － ＬＮ ＬＳ － ＬＮ 证毕。 例 ２ 根据表 １，可以得出 Ｐ（Ｄｄ ） ＝ ２ ／ ３， Ｐ（Ｄ － ｄ） ＝ １／ ３， 令 ＬＳ ＝ ２， ＬＮ ＝ ０．５ 于是计算出 Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａ３） ＝ ２ － １ ２ － ０．５ ＝ ２ ３ Ｄ２（Ｄｄ ／ Ａ － ３） ＝ １ － ０．５ ２ － ０．５ ＝ １ ３ ． 在计 算 过 程 中 没 有 用 到 概 率 Ｐ（Ｄｄ ） 以 及 Ｐ（Ｄ － ｄ ）， 也就是说不需先验概率便可将包含度 Ｄ２ 计 算得出。 ·２３８· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷