D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1999.05.048 第21卷第5期 北京科技大学学报 Vol.21 No.5 1999年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.1999 小波倒频谱及其应用 吕卫阳 陈克兴 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要建立了一种新的二次频谱分析方法，首次提出了小波倒频谱的概念.将基于小波倒频 谱的多尺度统计特征量综合监测法应用于徽孔钻削的状态监测，取得了较好的结果， 关键词小波变换：小波倒频谱：徽孔钻削状态监测 分类号TN911.7;TH165.3;TG52 倒频谱分析是近代信号处理中的一项新技 XU)∫xr0cos(2πf)d-j∫广x0sin(2πf)d(5) 术，它在语音分析、回声剔除、振动与噪声源识 则时域信号x()的幅值谱A()和相位谱)分别 别、设备故障诊断等方面均得到成功的应用， 为： 由于徽孔钻削振动信号的频谱非常复杂，而且 AG=、 ∫xt)cos(2πf)d+∫xt)sin(2πfi)d 又没有明显的周期结构，采用传统倒频谱分析 (6) 未能取得满意的效果四，本文采用小波变换对微 ∫”x0sin(2元fi)d (7) 孔钻削振动信号的Fourier频谱进行第2次分 -arctancos()dr 析，取得了较好的效果，并称之为小波倒频谱分 与传统Fourier分析的幅值谱A(f)和相位谱 析方法. )相对应，文中又提出幅值小波倒频谱和相 位小波倒频谱的概念， 1小波倒频谱的定义 定义2将时域信号x(t)的幅值谱A()的小 波变换W,(a,b)称为幅值小波倒频谱(Magnitude 1.1小波倒频谱 定义1称Fourier频谱函数的小波变换为 Wavelet-cepstrum):将时域信号x(t)的相位谱() 的小波变换W(a,b)称为相位小波倒频谱(Phase 小波倒频谱(Wavelet--cepstrum). 设时域信号x(t)经过Fourier变换的频谱函 Wavelet-cepstrum). 数为X),则)的小波变换 如果小波函数W有显函数表达式(2)，则幅 W(a,b)=X,wa}a>0,b∈R (1) 值小波倒频谱W(a,b)和相位小波倒频谱W(a,b) 被定义为时域信号x(t)的小波倒频谱，其中y是 的积分表达式分别为 小波函数，a是尺度参数，b是平移参数 a>0,b∈R(8) 如果小波函数Wb有显函数表达式 w,(a,b=∫ a>0,b∈R(9) v)-a -B a (2) 则式(1)的积分表达式为 2小波倒频谱的物理意义 ab广naf。)g (3 小波倒频谱的物理意义就是对Fourier频谱 1.2幅值小波倒频谱和相位小波倒频谱 函数进行了一次多尺度分析，将Fourier频谱函 根据Fourier分析的理论，时域信号x()的频 数的精细结构展示在小波变换的各个尺度上. 谱函数X)为 不同尺度上的小波倒频谱反映了Fourier频谱 f∫x)ed (4) 函数在各个尺度上的分布情况，小尺度的小波 根据欧拉公式，式(4)可以表示成 倒频谱表示Fourier频谱图上的快速波动或谱 峰间隙较小，即Fourier频谱的细节(Detail)部分： 1998-12-10收稿吕卫阳男，31岁，讲师，博士第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 小 波倒 频 谱 及 其 应 用 吕卫 阳 陈克兴 北 京科技大学机械工 程 学 院 ， 北 京 摘 要 建立 了一种新的二 次频谱分析方法 ， 首次提 出了小波倒频谱的概念 将基 于 小波倒频 谱的多尺度统计特征量综合监 测 法应用于 微孔钻 削的状态监 测 ， 取 得 了较好 的结果 关键词 小波变换 小波倒频谱 微孔钻 削状 态监 测 分类号 倒频谱分析是近代信号处理 中的一项新技 术 ， 它在语音分析 、 回声剔除 、 振动与噪 声源 识 别 、 设备故障诊断等方面均得到成功 的应用‘，， 由于微孔钻削振动信号 的频 谱非 常复杂 ， 而 且 又没 有 明显 的周 期结构 ， 采用传统倒频谱分 析 未能取得满意的效果 本文采用小波变换对微 孔钻 削振 动信号 的 。 心 频谱进行第 次分 析 ， 取得 了较好 的效果 ， 并称之为小波倒频谱分 析方法 助 一 仁 动 一 仁 ‘ 动 ， 则 时域信号 的幅值谱 沪和 相位谱必切分别 为 ， 。 。 ， 一 飞 沪 一了 二 动 」十 二 ‘ ‘ 咧 ‘」、 了吸、古、 勺﹃厂 、、 中汀 加 卞一护二 万丁一不万动下万 双 乙刃 小波倒频谱 的定义 小波倒频谱 定义 称 丽 频谱 函数 的小波变换为 小波倒频谱，厄 一 七 设时域信 号 经 过 变 换 的频 谱 函 数 为双力 ， 则双乃的小波变换 磷 ， 优弧 。 ， 任 被定义为时域信号 的小波倒频谱 ， 其 中叭 ，，是 小波 函数 ， 是 尺度参数 ， 是 平移参数 如果 小波 函数娇 有显 函 数表达式 了 一 、 ，， 、 汽 ， 一升毋 气兰 丫 ‘ 、 ， 则 式 的积 分表 达式为 ‘ 一 ‘ 、 一 ‘ 。 户三匕 ， 了艺二互、 月 厂 磷 ， 一 二助言峡气广 ， 幅 值小 波倒 频 谱 和 相 位小 波倒 频 谱 根据 分析 的理 论 ， 时域信号 的频 谱 函 数 曰 找力为 双力一 仁 ， 一’动 ， 根据 欧拉公式 ， 式 可 以表 示 成 与传统 分析 的 幅值谱 沪和 相 位谱 中切相对应 ， 文 中又 提 出幅值 小波 倒 频谱和 相 位 小波倒频谱 的概念 定义 将 时域信 号 的幅值谱 切 的小 波变换 毗， 称 为幅值小波 倒频谱 一 将 时域信号 的相 位谱必沪 的小波变换 叽 ， 称 为相 位 小波 倒频谱 叭厄 一 如 果 小波 函 数 蜘有 显 函 数表 达式 ， 则 幅 值 小波倒频谱 溅 ， 和 相位 小波倒 频谱 叽 ， 的积 分 表达 式分 别 为 矶‘一”，一 仁 味昭 ， 一 ， ” ‘ 叽 一”，一仁， 味瞪 一 ， ” 任 ， 。 收稿 吕卫 阳 男 ， 岁 ， 讲 师 ， 博士 小 波倒 频 谱 的物理意 义 小波倒 频谱 的物 理意 义 就 是 对 频 谱 函 数 进行 了一 次 多尺 度 分 析 ， 将 硕 频 谱 函 数 的精细 结 构展 示 在 小波 变换 的各个尺度上 不 同尺 度上 的 小波倒频谱 反 映 了 频 谱 函 数在 各个 尺度上 的分 布情 况 ， 小尺 度 的小波 倒频谱表示 。 诚 频谱 图上 的快速波动或谱 峰 间隙较 小 ， 即 频 谱 的细 节 部 分 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．05．048