lim xn=0,则等式显然成立 xn)0,则当n)N时,有xn)0 n→0 n→∞ 于是 lim 1 limsup lim n→0 k≥n xk)n→>∞x 由本节教材习题2(3),可得 x 于是有 x,y) 例5证明数列}与}有相同的聚点 分析应用5为数列}的聚点的充要条件为存在子列,m=n,=5 可以得证 证设是数列{}的聚点,则子列{n}={x},m一xn=5因为 k 所以也是{的聚点 反之又若n是的聚点则子列x→刀由于→1因此 →n, 于是7也是{xn}的聚点证 若 0 lim = →  n x n ,则等式显然成立.若 0 lim  →  n x n ,则当 n N0  时,有 xn 0 . 于是   ) 1 ( lim 1 1 lim lim 1 limsup inf k n x n k n k n n n x n x x n k →  =       = →  = →  →   . 由本节教材习题 2(3),可得 n n n n n n n n n n n x x y x y x y 1 ) ( ) 1 ( lim lim lim lim → → → → =     , ( ) lim 1 ( ) lim n n n n n x y n x y →  =  → , 于是有 ( ). lim lim lim n n n n n n x y x y n →  →  →  *例 5 证明数列 xn 与   n xn n 有相同的聚点. 分析 应用  为数列 xn 的聚点的充要条件为存在子列, xnk xn , =  →  nk x k lim 可以得证. 证 设  是数列 xn 的聚点,则  子列 xnk xn , =  →  nk x k lim .因为 =  →  k k n n nk x k lim , 所以  也是   n xn n 的聚点. 反之,又若  是   n xn n 的聚点,则  子列 k → n n nk x .由于 1 1 → k n k n ,因此 = → k k n k n nk k nk n x n x , 于是  也是 xn 的聚点