例2用上、下极限理论证明若{}是有界发散数列则存在{xn}的两个子列收敛于两 个不同的极限 分析若{xn}是有界发散数列则由(31)可知加xn xn,再对最大(小聚点选 子列即可得证 证因为数列发散的充要条件是x2x,于是存在}的两个子列 使 即存在}的两个子列收敛于不同的极限 例3证明对任何有界数列{xn}{n, (xn+y、n→∞”n→0 n→0 分析需证 lim (xn +yu) ≤ n→)0 由 (-yn),即要证 于是由(34)就可完成证明 证由内容提要3°(i,得 ocken y (-yn) n→00 由(34)式,有 皿(x+y)-m(-y)≤m(x2+yn-y)=mx n→ n→0 于是 lim lim (xn+yn)≤ Vn n→0 n→ 例4设{x,{n}为界数列且x)0,y)0证明例 2 用上、下极限理论证明:若 xn 是有界发散数列,则存在 xn 的两个子列收敛于两 个不同的极限. 分析 若 xn 是有界发散数列,则由(3.1)可知 n n n x n x →  →  lim lim ,再对最大(小)聚点选 子列即可得证. 证 因为数列发散的充要条件是 n n n x n x →  →  lim lim , 于是存在 xn 的两个子列   nk x' ,   nk x'' ,使 n n n n n n x x k x x k k k lim lim '' lim ' , lim → = → →  = →  , 即存在 xn 的两个子列收敛于不同的极限. 例 3 证明:对任何有界数列 xn,yn, . lim lim ( ) lim n n n n y n x n x y n →  + →  +  →  分析 需证 . lim ( ) lim lim n n n n n x n x y y n →  + −  →  → 由 ( ) lim lim n n n y n y − →  − → = ,即要证 . lim ( ) lim ( ) lim n n n n x n y n x y n →  −  →  + − →  于是由(3.4)就可完成证明. 证 由内容提要 3°(ⅲ),得 n yn n k nyk lim limsup − → = − →  = n→k n − yk liminf ( ) lim n y n − →  = . 由(3.4)式,有 . lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim n n n n n n n x n x y y n y n x y n →  + − = →  −  →  + − →  , 于是 . lim lim ( ) lim n n n n y n x n x y n →  + →  +  →  例 4 设 xn,yn 为界数列,且 xn 0, yn 0 .证明 ( ). lim lim lim n n n n n n x y x y n →  →  → 