用反证法若∫在1上不一致连续函数于是彐60)0,{ x',br"}=l,xn-x2水k,但 f(xn)-f(xn)≥E0 由致密性定理,对有界数列{xn}3{xn}c{xn)=5因为 xn-x"n→0k→∞),于是x=5这样数列 也收敛于5,因而是柯西列但因为f(xn)-f(x2m)≥6,使得 f(xn1)f(x'n),f(xn2),f(x"n2)…f(x2nk),f(x"nk)2 不是柯西列这与假设相矛盾 注1如何应用反证法证明结论是数学分析学习过程中的一个难点掌握好基本概 念的否定说法的正面陈述是其中的关键 注2不难证明本题中的条件不仅是充分的而且是必要的于是函数在有限区间上 一致连续的充分条件是对1上任何柯n}(x,)}也是柯西列 3上极限和下极限 、范例解析 例1设{n}是有界数列 (1)是否成立s甲{x}=m,mx}=m-x?为什么 n→ (2)若sup{xn}kg{xn}(nf{xn}丝{xn,证明 supx,)=mi,, (inf (,j lim xu) n→0 解(1)一般情况下是不对的如,1=1,=0,但 nf{xn}=0,但 n→∞=1 (2)若5=sup{x}≠{x},由数列极限理论可知存在递增子列 gn}ctn。x=5由于x;又因x≤5,于是m,x由此可得5=mx 同理可证若nf{xn}∈{n,则nftr} →0 注本例指出了上、下确界与上、下极限的区别与联系用反证法.若 f 在 I 上不一致连续函数,于是     n x x I x x n n n n 1 0, ' , '' , ' '' 0    −  ,但 0 ( ' ) − ( '' )   n n f x f x . 由致密性定理 , 对 有 界 数 列  ' ,  '   ' , ; lim '   → =  nk x n nk n k x x x 因 为 x' −x'' →0(k →) nk nk ,于是 → =  nk x k lim ' .这样,数列 x' n1 , x'' n1 , x' n2 , x'' n2 , x' nk , x'' nk ,  也收敛于  ,因而是柯西列;但因为 0 ( ' ) − ( '' )   nk nk f x f x ,使得 f (x' n1 ), f (x'' n1 ), f (x' n2 ), f (x'' n2 ), f (x' nk ), f (x'' nk ), 不是柯西列,这与假设相矛盾. 注 1 如何应用反证法证明结论是数学分析学习过程中的一个难点,掌握好基本概 念的否定说法的正面陈述是其中的关键. 注 2 不难证明本题中的条件不仅是充分的,而且是必要的,于是函数在有限区间上 一致连续的充分条件是对 I 上任何柯 xn,f (xn ) 也是柯西列. 3 上极限和下极限 三、范例解析 例 1 设 xn 是有界数列。 （1）是否成立     ? lim sup ,inf lim n n x n n x n x x n →  = → = 为什么 （2）若 sup   ,(inf    ) n n n n x  x x  x ，证明：     ). lim sup ,(inf lim n n x n n x n x x n →  = → = 解（1）一般情况下是不对的。例如，   ,sup  1 1 =       n = n x n x ，但 0; lim → = n x n ，但   ,inf   0 1 1 =       n = − n x n x ，但 1. lim = →  n x n （ 2 ） 若  = supxnxn ，由数列极限理论可知存在递增子列     → = k k nk n n k x x x lim , .由于 ; lim n n x → 又因  , n x 于是 n n x lim → 由此可得 n n x lim  = → . 同理可证:若 inf xnxn,则  n  n x n x →  lim inf . 注 本例指出了上、下确界与上、下极限的区别与联系