为[a1a]的有限开覆盖为叙述方便起见不妨设由U(x1:,),U(x2,8,)就能覆盖[n,a] 且设x(x 若a2∈U(x;6n),则因a1∈U(x;o3,),∫在U(x;n)中递增,故f(a1)≤f(a2);若 a2EU(x;6),则a2∈U(x2;2),且因V=U(xx)∩U(x:x)≠,故彐a∈V,使 a1(a(a2.于是又有 f(a1)≤f(a)≤∫(a2) 对k)2的有限情形可类似地证明由此可见,f(x)在(a,b)上递增 例4试用确界原理证明若函数f(x)在闭区间[ab]上连续则厂在[ab]上有界 分析设 S={f在[ax]上有界x∈(ab 因为由∫在点a的局部有界性,可知S是非空数集且以b为上界由确界原理存在supS.关 键在于证明b=supS并证b∈S,以使S=[ab]即∫在[ab]上有界 证 S={在[ax]上有界x∈(anb 由分析可知S为非空有上界数集于是由确界原理存在=supS.现用反证法证明 若ξ(b,由连续函数的局部有界性彐δ)0,f(x)在(5-,5+6)内有界,即彐)5,使 x∈S,而这与5=supS相矛盾,所以=b 再证函数∫在[ab]上有界因为∫在点b连续于是彐6)0,f在(b-6小]上有界再由 b=spS,可知∫在abd 中有界于是f在[ab]上有界 2 例5设f(x)为定义在限区间1上的函数对1内任何柯西列{x},{(xn}也是柯西列试 证∫是I上的一致连续函数为   1 2 a ,a 的有限开覆盖,为叙述方便起见,不妨设由 ( ; ), ( ; ) 1 1 2 2 x x U x  U x  就能覆盖   1 2 a ,a , 且设 2 2 x x . 若 ( ; ) 2 1 1 x a U x  ,则因 ( ; ) 1 1 1 x a U x  , f 在 ( ; ) 1 1 x U x  中递增,故 ( ) ( ) 1 a2 f a  f ;若 ( ; ) 2 1 1 x a U x  , 则 ( ; ) 2 2 x2 a U x  , 且 因 V =U(x1 ; x1 )U(x2 ;x2 )  , 故 a V * , 使 2 * a1 a a .于是又有 ( ) ( ) ( ). 2 * f a1  f a  f a 对 k2 的有限情形可类似地证明.由此可见, f (x) 在 (a,b) 上递增. 例 4 试用确界原理证明:若函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续,则 f 在 a,b 上有界. 分析 设 S = x f 在 a, x 上有界, x(a,b. 因为由 f 在点 a 的局部有界性,可知 S 是非空数集,且以 b 为上界,由确界原理,存在 sup S .关 键在于证明 b = sup S ,并证 bS ,以使 S = a,b,即 f 在 a,b 上有界. 证 设 S = x f 在 a, x 上有界, x(a,b. 由分析可知,S 为非空有上界数集,于是由确界原理,存在  = sup S .现用反证法证明  = b . 若  b ,由连续函数的局部有界性  0 0, f (x) 在 ( , )  − 0  +  0 内有界,即  0  ,使 x0 S ,而这与  = sup S 相矛盾,所以  = b . 再证函数 f 在 a,b 上有界.因为 f 在点 b 连续,于是  0 0 , f 在 (b − ,b 上有界;再由 b = sup S ,可知 f 在    − 2 ,  a b 中有界,于是 f 在 a,b 上有界. 例5 设 f (x) 为定义在限区间 I 上的函数,对 I 内任何柯西列 xn,f (xn 也是柯西列.试 证 f 是 I 上的一致连续函数