H={(x:,)和≤≤k 为[a6]的有限开覆盖由于f(x)在每上U(x;6)内有界因此f(x)在[b上 界这与f(x)在[ab]上的无界性相矛盾 例2设∫在[a小上连续,对任何x∈[a小f(x)0.试用有限覆盖定理证明必存在c>0, 使得对任何x∈[ab满足 f(x)≥c vx∈{a,因为f(x)0,由连续函数的局部保号性,于是 35)0,30)0,x∈U(x,6),/(r)(x)现令 H={(x)∈ab 它是[a,b]的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在 H={(x6)≤i≤k)cH 为a]的有限开覆盖取 vx∈b]某个(1≤i≤k),使x∈U(x:)于是 (x)(x)2c 例3设函数∫对任何(a,b)内的x,存在62)0,使得∫在(x-62,x+6)内递增,试证∫在 整个(a,b)内亦递增 证a,a2,a(an(a2(b,设法证明f(a)f(a2)x∈[a,a2]由所设条件彐,)0,使得 ∫在(x-2,x+δ1)内递增因此 H={(x8x∈[1a2l 是[a1a2]后个无限开覆盖由有限覆盖定理存在 H={(x:6≤≤k}=HH U x i k H i = ( i ; x )1   *  为 a,b 的有限开覆盖.由于 f (x) 在每上 ( ; ) i i x U x  内有界,因此 f (x) 在 a,b 上 界,这与 f (x) 在 a,b 上的无界性相矛盾. 例2 设 f 在 a,b 上连续,对任何 xa,b, f (x)0 .试用有限覆盖定理证明:必存在 c0 , 使得对任何 xa,b,满足 f (x)  c. 证 xa,b , 因 为 f (x)0 , 由 连 续 函 数 的 局 部 保 号 性 , 于 是  0,  x 0, ' ( ; ) x x   x U x  , 2 ( ) ( ') f x f x  .现令 H = U(x; x ) xa,b， 它是 a,b 的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在 H U x i k H i = ( i ; x )1   *  为 a,b 的有限开覆盖,取 0, 2 min ( ) 1        =   i i k f x c xa,b,  某个（ 1 i  k ）,使 ( ; ) i i x x U x  ,于是 c f x f x i   2 ( ) ( ) . 例 3 设函数 f 对任何 (a,b) 内的 x ,存在  x 0 ,使得 f 在 ( , ) x x x − x +  内递增,试证 f 在 整个 (a,b) 内亦递增. 证 a1 ,a2 ,aa1 a2 b ,设法证明 ( ) ( ).  , , 1 2 a1 a2 f a  f a x 由所设条件  x 0 ,使得 f 在 ( , ) x x x − x +  内递增,因此 H = U(x; x ) xa1 ,a2  是   1 2 a ,a 后个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在 H U x i k H i = ( i ; x )1   * 