其中,均为常数,可由偏导数为零及条件解出x,y,,t,即得极值点的坐标 例7将正数12分成三个正数x,y,z之和使得l=x3y2z为最大 解令F(x,y,)=xy2z+(x+y+z-12), F=3x2y2+1=0 则 Fy=2xy2+=0 解得唯一驻点(6,4,2) F=x3y2+A=0 x+y+z=12 故最大值为=63.42.2=6912 x2 例8在第一卦限内作椭球面++-=1的切平面,使切平面与三个坐 标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标 解设P(x2y,=0)为椭球面上一点 令F(x1小)3xbc 则F!=x,F=2,E=2 过P(x0,y,=0)的切平面方程为 +(y-y)+3(2-=0)=0 化简为x如+y 该切平面在三个轴上的截距各为rsa2 所围四面体的体积T 66在条件++=1下求V的最小 值,令=hx0+hy+hn=0 G(x,y,)=hx+hy+h0+(2++-1),7 其中 1 2  , 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x, y,z,t ，即得极值点的坐标. 例 7 将正数 12 分成三个正数 x, y,z 之和 使得 u x y z 3 2 = 为最大. 解 令 ( , , ) ( 12) 3 2 F x y z = x y z +  x + y + z − , 则        + + =  = + =  = + =  = + = 12 0 2 0 3 0 3 2 3 2 2 x y z F x y F x yz F x y z z y x    解得唯一驻点 (6,4,2) ， 故最大值为 6 4 2 6912. 3 2 umax =   = 例 8 在第一卦限内作椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 的切平面，使切平面与三个坐 标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 解 设 ( , , ) 0 0 0 P x y z 为椭球面上一点, 令 ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2 = + + − c z b y a x F x y z , 则 2 2 0 | a x Fx  P = ， 2 2 0 | b y Fy  P = ， 2 2 0 | c z Fz  P = 过 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的切平面方程为 ( − 0 ) + 2 0 x x a x ( − 0 ) + 2 0 y y b y ( 0 ) 0 2 0 z − z = c z , 化简为 1 2 0 2 0 2 0 =  +  +  c z z b y y a x x , 该切平面在三个轴上的截距各为 0 2 x a x = ， 0 2 y b y = ， 0 2 z c z = , 所围四面体的体积 0 0 0 2 2 2 6 6 1 x y z a b c V = xyz = ,在条件 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 + + = c z b y a x 下求V的最小 值, 令 ln ln ln , 0 0 0 u = x + y + z ( , , ) 0 0 0 G x y z = ln x0 + ln y0 + ln z0 + ( 1) 2 2 0 2 2 0 2 2 0 + + − c z b y a x 