杨凯等：考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优化设计 841 间的径向相互作用力.由式(1)~(12)可知，在围岩 oas=(1+sinp）ooa(R2）/(1-sinp)+ 应力、松动圈和衬砌尺寸已知的情况下，若泊松比为近 2ccos /(1 sin o). (17) 似相等的常数时，I、Ⅱ和Ⅲ层结构的应力分量均为 式中，o。(R)表示在p=R2处径向应力σ的取值. E,、E,和E,（确切地说是E2/E,和E,/E)的非线性函 为充分利用【、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松动圈 数.对于每一层结构，切向应力σ为最大主应力，径 支护体的强度，根据功能梯度材料思想，极限状态下， 向应力σ为最小主应力，并且在每层的内壁处切向应 I、Ⅱ和Ⅲ层应同时接近或达到预设破坏状态，在设计 力都达到最大值，出现了切向应力集中. 上才最为合理 2衬砌优化设计的目标函数构建 因此构造目标函数 F=(aau(R）-o)2+(oe(R,）-o2)2+ 由第1节分析可知，在各层衬砌的内边界，切向应 (ga(R,）-o2)入. (18) 力σ。都产生了应力集中.根据强度理论可知，即使I 显然，当目标函数为最小值时，I、Ⅱ和Ⅲ层同时 层混凝土的单轴抗压强度∫与Ⅱ层混凝土的单轴抗 接近或达到预设破坏状态（当F=0时，三层结构同时 压强度∫2相同，也无法判断衬砌的破坏首先是哪一层 达到预设破坏状态，此时为最优设计，但现实中很难到 开始的，这是因为在I层内边界衬砌处于两向受压状 达).下面以具体算例进行详细讨论 态，而在Ⅱ层内边界衬砌处于三向受压状态（存在轴 向应力σ)，混凝土处于三向应力状态相对不易破坏. 3算例求解与分析 最终结构的破坏是从【层内边界开始还是从Ⅱ层内边 3.1衬砌材料弹性模量的优化设计 界开始，主要取决于具体的应力大小，也就是说在围岩 假定围岩松动圈支护体和衬砌的尺寸分别为R。= 应力已知的条件下，取决于E,/E2、E2/E,的比值和三 3m,R,=3.6m,R2=4m,R,=5m,取混凝土泊松比为 层结构的厚度 常数，41=2=0.2，围岩松动圈支护体的泊松比 I层一混凝土衬砌：在内边界p=R。处，为二向 43=0.25,内聚力c=6MPa,内摩擦角p=30°，围岩应 应力状态，根据过镇海一王传志混凝土破坏准则（以下 力P和混凝土抗压强度∫∫a均为已知 简称过一王准则)2-国可知，孔边σ。所能承受的最大 为充分利用I、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松 设计应力o=1.2fa· 动圈支护体的强度，根据第1节和第2节分析可求出 Ⅱ层一混凝土衬砌：在内边界p=R,处，为三向 最合理的衬砌弹性模量值. 应力状态，其破坏不但取决于σ。的大小，也与σ。的大 待求变量：x,=E2E1x2=E2/E·因为I、Ⅱ和Ⅲ 小有关，当σ/o。≈u时（平面应变可满足此要求，并 层结构的应力分量均与E2/E,和E2/E,有关，为不失 假设混凝土泊松比4=0.2)，则由过一王准则的试验结 一般性讨论，此处把E2/E,和E2/E,定为待求变量，当 果o.2-,可推出p=R,处o。所能承受的最大应力 围岩松动圈支护体的弹性模量E,已知时，衬砌的弹性 oian与g。的关系如下. 模量E,和E,即可相应求解 当0≤o,/o。<0.05时， 目标函数： imns =1.2f2+16fa (p/) (13) F(E2/E,E2/E,)=(om(R)-d)2+ 当0.5≤0，/o。<0.1时， (o@(R,)-2)2+(gm(R2）-g)2.(19) o=2.0f2+10fa（o./o。-0.05). (14) 约束条件： 当0.1≤o,/o。<0.2时， ∫≥0， (20) 0as=2.5f2+30f2(o。/o。-0.1). (15) lx2≥0. 当0.2≤o,/o。<0.3时， 图2中给出了不同的围岩压力P作用下，两层衬 o=5.5fa+30fa(o,/o。-0.2). (16) 砌混凝土抗压强度相等(=fa=35MP)和抗压强度 Ⅲ层一围岩松动圈支护体：当地应力P一定 不等(/a=35MPa,Ja=30MPa)两种情况，三层结构弹 时，若衬砌的厚度较薄，或衬砌的弹性模量较小，或岩 性模量比值E2/E,和E2/E,的最优设计值 石的强度较低，则Ⅲ层支护体的有害变形程度也可能 从图2可以看出：无论I和Ⅱ层混凝土的抗压强 接近或达到一个预设状态，本文将此处的预设状态的 度是否相等，在相同大小的围岩应力作用下，总有E2/ 评判标准定为岩石摩尔库伦破坏准则，由第1节可知， E,<E2/E,故而为达到最优的衬砌弹性模量设计，建 支护体若要达到这个预设破坏状态一定是从P=R,的 议I层衬砌的弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹 内边界开始.假定支护体的内聚力和内摩擦角分别为 性模量；随着围岩应力的增大，E,/E,和E,/E,均减 c和p,则在p=R2岩石的所能承受的最大切向应力为 小，其中E,/E,变化相对平缓，如当围岩应力从15MPa杨 凯等: 考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优化设计 间的径向相互作用力． 由式( 1) ～ ( 12) 可知，在围岩 应力、松动圈和衬砌尺寸已知的情况下，若泊松比为近 似相等的常数时，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层结构的应力分量均为 E1、E2和 E3 ( 确切地说是 E2 /E1 和 E2 /E3 ) 的非线性函 数． 对于每一层结构，切向应力 σθi为最大主应力，径 向应力 σρi为最小主应力，并且在每层的内壁处切向应 力都达到最大值，出现了切向应力集中． 2 衬砌优化设计的目标函数构建 由第 1 节分析可知，在各层衬砌的内边界，切向应 力 σθ 都产生了应力集中． 根据强度理论可知，即使Ⅰ 层混凝土的单轴抗压强度 fc1与Ⅱ层混凝土的单轴抗 压强度 fc2相同，也无法判断衬砌的破坏首先是哪一层 开始的，这是因为在Ⅰ层内边界衬砌处于两向受压状 态，而在Ⅱ层内边界衬砌处于三向受压状态( 存在轴 向应力 σz ) ，混凝土处于三向应力状态相对不易破坏． 最终结构的破坏是从Ⅰ层内边界开始还是从Ⅱ层内边 界开始，主要取决于具体的应力大小，也就是说在围岩 应力已知的条件下，取决于 E1 /E2、E2 /E3 的比值和三 层结构的厚度． Ⅰ层———混凝土衬砌: 在内边界 ρ = Ｒ0 处，为二向 应力状态，根据过镇海--王传志混凝土破坏准则( 以下 简称过--王准则) ［12 － 13］可知，孔边 σθ 所能承受的最大 设计应力 σ1 θmax = 1. 2fc1 ． Ⅱ层———混凝土衬砌: 在内边界 ρ = Ｒ1 处，为三向 应力状态，其破坏不但取决于 σθ 的大小，也与 σρ 的大 小有关，当 σz /σθ≈μ 时( 平面应变可满足此要求，并 假设混凝土泊松比 μ = 0. 2) ，则由过--王准则的试验结 果［10，12 － 13］，可推出 ρ = Ｒ1 处 σθ 所能承受的最大应力 σ2 θmax与 σρ 的关系如下． 当 0≤σr /σθ ＜ 0. 05 时， σ2 θmax = 1. 2fc2 + 16fc2 ( σρ /σθ ) ． ( 13) 当 0. 5≤σr /σθ ＜ 0. 1 时， σ2 θmax = 2. 0fc2 + 10fc2 ( σρ /σθ － 0. 05) ． ( 14) 当 0. 1≤σr /σθ ＜ 0. 2 时， σ2 θmax = 2. 5fc2 + 30fc2 ( σρ /σθ － 0. 1) ． ( 15) 当 0. 2≤σr /σθ ＜ 0. 3 时， σ2 θmax = 5. 5fc2 + 30fc2 ( σρ /σθ － 0. 2) ． ( 16) Ⅲ层———围岩 松 动 圈 支 护 体: 当 地 应 力 P 一 定 时，若衬砌的厚度较薄，或衬砌的弹性模量较小，或岩 石的强度较低，则Ⅲ层支护体的有害变形程度也可能 接近或达到一个预设状态，本文将此处的预设状态的 评判标准定为岩石摩尔库伦破坏准则，由第 1 节可知， 支护体若要达到这个预设破坏状态一定是从 ρ = Ｒ2 的 内边界开始． 假定支护体的内聚力和内摩擦角分别为 c 和 φ，则在 ρ = Ｒ2 岩石的所能承受的最大切向应力为 σ3 θmax = ( 1 + sin φ) σρ3 ( Ｒ2 ) /( 1 － sin φ) + 2ccos φ/( 1 － sin φ) ． ( 17) 式中，σρ3 ( Ｒ2 ) 表示在 ρ = Ｒ2 处径向应力 σρ3 的取值． 为充分利用Ⅰ、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松动圈 支护体的强度，根据功能梯度材料思想，极限状态下， Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层应同时接近或达到预设破坏状态，在设计 上才最为合理． 因此构造目标函数 F = ( σθ1 ( Ｒ0 ) － σ1 θmax ) 2 + ( σθ2 ( Ｒ1 ) － σ2 θmax ) 2 + ( σθ3 ( Ｒ2 ) － σ3 θmax ) 2 ． ( 18) 显然，当目标函数为最小值时，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层同时 接近或达到预设破坏状态( 当 F = 0 时，三层结构同时 达到预设破坏状态，此时为最优设计，但现实中很难到 达) ． 下面以具体算例进行详细讨论． 3 算例求解与分析 3. 1 衬砌材料弹性模量的优化设计 假定围岩松动圈支护体和衬砌的尺寸分别为Ｒ0 = 3 m，Ｒ1 = 3. 6 m，Ｒ2 = 4 m，Ｒ3 = 5 m，取混凝土泊松比为 常数，μ1 = μ2 = 0. 2，围岩松动圈支护体的泊 松 比 μ3 = 0. 25，内聚力 c = 6 MPa，内摩擦角 φ = 30°，围岩应 力 P 和混凝土抗压强度 fc1、fc2均为已知． 为充分利用Ⅰ、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松 动圈支护体的强度，根据第 1 节和第 2 节分析可求出 最合理的衬砌弹性模量值． 待求变量: x1 = E2 /E1，x2 = E2 /E3 ． 因为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ 层结构的应力分量均与 E2 /E1 和 E2 /E3 有关，为不失 一般性讨论，此处把 E2 /E1 和 E2 /E3 定为待求变量，当 围岩松动圈支护体的弹性模量 E3 已知时，衬砌的弹性 模量 E1 和 E2 即可相应求解． 目标函数: F( E2 /E1，E2 /E3 ) = ( σθ1 ( Ｒ0 ) － σ1 θmax ) 2 + ( σθ2 ( Ｒ1 ) － σ2 θmax ) 2 + ( σθ3 ( Ｒ2 ) － σ3 θmax ) 2 ． ( 19) 约束条件: x1≥0， x{ 2≥0． ( 20) 图 2 中给出了不同的围岩压力 P 作用下，两层衬 砌混凝土抗压强度相等( fc1 = fc2 = 35 MPa) 和抗压强度 不等( fc1 = 35 MPa，fc2 = 30 MPa) 两种情况，三层结构弹 性模量比值 E2 /E1 和 E2 /E3 的最优设计值． 从图 2 可以看出: 无论Ⅰ和Ⅱ层混凝土的抗压强 度是否相等，在相同大小的围岩应力作用下，总有 E2 / E1 ＜ E2 /E3，故而为达到最优的衬砌弹性模量设计，建 议Ⅰ层衬砌的弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹 性模量; 随着围岩应 力 的 增 大，E2 /E1 和 E2 /E3 均减 小，其中 E2 /E1 变化相对平缓，如当围岩应力从15 MPa · 148 ·