定理6(1)成立.否则,{n}是无穷的,并且|A|2|2|2…由Qn 与Hn的定义,对应的特征向量{en}两两正交,其中Aen=nen,此时 必有→0.若不然,例如|n6>0对于无穷多个n成立,由于 Aen⊥Aen(n≠m),则 lAen-Aen=l‖Aen2+l‖Aen‖2 =nP+|n1|2≥202>0 与A的紧性矛盾 现在设Q2=pum{en:n≥1},H。={x∈Hx⊥旦},则A|=0 实际上若x∈H。,x⊥Q。从而x⊥Qn,x∈H(n=1,2,),则 (HCH (Ax,x)(A|)x,x)A|,Ⅲx2=4n‖x→>0 于是x∈H,(Ax,x)=0.将A看成 Hilbert空间H。上的自共轭算子 直接应用极化恒等式得到A|B=0.Vx∈H,令x=q+h,其中 ∈Qn,h。∈H2,则 A∑(q=,en)en) ∑(qn,en)Aen a, (g, en)e A,(x, e )e 2°设P是从H到由en张成的线性子空间上的投影算子,则 若A1,…乙。为有限多个,由式(5-3-9) Ax=∑(x,)1=∑P)x 于是 A=∑λP8 定理 6(1)成立. 否则, { } λn 是无穷的, 并且 1 2 | || | λ ≥ ≥ λ ". 由 Qn 与 Hn 的定义, 对应的特征向量 { }n e 两两正交,其中 n n n Ae = λ e . 此时 必有 0 λn → . 若不然, 例如 | λn |≥ δ > 0 对于无穷多个 n 成立, 由于 Ae Ae (n m) n ⊥ m ≠ , 则 22 2 || || || || || || Ae Ae Ae Ae nm n m −= + | | | | 2 0 2 2 2 = λn + λ m ≥ δ > 与 A 的紧性矛盾. 现在设 = { : ≥ 1} ∞ Q span e n n , { : } ∞ = ∈ ⊥ Q∞ H x H x ,则 | = 0 H∞ A . 实际上若 ∈ H∞ x , ⊥ Q∞ x 从 而 Qn x ⊥ , x ∈ H (n = 1,2,") n , 则 A Hn ⊂ Hn ( ) , 2 (Ax, x)((A | )x, x) || A | |||| x || H Hn ≤ ∞ 2 | ||| || 0 n = λ x → . 于是 ∀ ∈ H∞ x , (Ax, x) = 0 . 将 A 看成 Hilbert 空间 H∞ 上的自共轭算子, 直接应用极化恒等式得到 | = 0 H∞ A . ∀x ∈ H , 令 = ∞ + ∞ x q h , 其中 ∞ ∈Q∞ q , ∞ ∈ H∞ h , 则 Ax Aq Ah = ∞ + ∞ ∑ ∞ = = ∞ + 1 ( ( , ) ) 0 n n n A q e e ∑ ∞ = = ∞ 1 ( , ) n n Aen q e ∑ ∞ = = ∞ 1 ( , ) n n n n λ q e e ∑ ∞ = = 1 ( , ) n n n n λ x e e D 2 设 Pn 是从 H 到由 n e 张成的线性子空间上的投影算子, 则 n n n P x = (x,e )e . 若 λ λn , , 1 " 为有限多个, 由式(5-3-9) Ax x e e P x n i i i i i n i i( , ) ( ) 1 1 ∑ ∑ = = = λ = λ , 于是 ∑= = n i A iPi 1 λ