Ax=∑n(x,en)e (5-3-7) (2)若P是H到由en张成的线性子空间上的投影算子,则 ∑ (3)若0不是A的特征值,则{en:n≥1}是H的正交基 证明°不妨设A≠0,若A1=max{M|m}引A‖,由定理 5,A1是特征值.设e1是相应的特征向量,‖l1‖=1,Ae1=λ1e1令 Q1=spom{e1},H1={x∈Hx⊥e1},则Q1,H1是H的闭线性子空间 并且A(H1)cH1.实际上,若x∈H1,则 (Ax,e1)=(x,Ae1)=1(x,e1)=0 所以Ax∈H1 于是H1仍然为 Hilbert空间定义A1=Al,显然A仍是在H1上 的紧自共轭算子若A1=0,则x∈H,根据投影定理,x=q1+h,其 中q1∈Q1,h1∈H1.此时 0 A1(q1:e1)e1=A(x,e1)e 若A1≠0,则‖A1|≠0.取2=‖A1|0,此 丨A|=‖!A‖≥‖Al,‖=‖A‖=λ|,由定理5,2为特征值.不妨设 e2∈H1,‖le2l=1,Ae2=2e2 Q2= spanie1,e2},H2={x∈H:x⊥Q2} 此时同样有A(H2)cH2.若A2=A1|,=0,类似于上面的证明 λ(x,e1)e1+A2(x,e2)e2 若A2≠0,继续以上过程作出A3,…,如果在有限次之后,有 An=0,则 4x=∑4(x,e) (5-3-9)7 n n n n Ax (x,e )e 1 ∑ ∞ = = λ (5-3-7) (2) 若 Pn 是 H 到由 n e 张成的线性子空间上的投影算子,则 ∑ ∞ = = n 1 A λnPn (5-3-8) (3) 若 0 不是 A 的特征值, 则{e : n ≥ 1} n 是 H 的正交基. 证明 D 1 不妨设 A ≠ 0 , 若 λ1 = max{| |,| |} || || M m A = ,由定理 5, λ1 是特征值 . 设 1 e 是相应的特征向量 , || || 1 e1 = , 1 1 1 Ae = λ e . 令 { } 1 1 Q = span e , { : } 1 1 H = x ∈ H x ⊥ e ,则 Q1 , H1 是 H 的闭线性子空间, 并且 1 1 A(H ) ⊂ H . 实际上,若 H1 x ∈ , 则 ( , ) ( , ) ( , ) 0 Ax e1 = x Ae1 = λ1 x e1 = . 所以 Ax ∈ H1 . 于是 H1 仍然为 Hilbert 空间.定义 ! | A1 = A H , 显然 A1仍是在 H1 上 的紧自共轭算子.若 0 A1 = , 则 ∀x ∈ H , 根据投影定理, 1 1 x = q + h , 其 中 1 Q1 q ∈ , 1 H1 h ∈ . 此时 0 Ax = Aq1 + Ah1 = λ1q1 + 1 1 1 1 1 1 1 = λ (q ,e )e = λ (x, e )e 若 0 A1 ≠ , 则 || || 0 A1 ≠ . 取 || || 0 λ2 = A1 > , 此 时 1 1 12 | | || || || | || || || | | λ =≥ = = AA A H λ , 由定理 5, λ2 为特征值 . 不妨设 2 H1 e ∈ , || || 1 e2 = , 1 2 2 2 A e = λ e , { , } 2 1 2 Q = span e e , { : } 2 Q2 H = x ∈ H x ⊥ , 此时同样有 2 2 A(H ) ⊂ H . 若 | 0 2 1 2 A = A H = , 类似于上面的证明 1 1 1 2 2 2 Ax = λ (x, e )e + λ (x, e )e , ∀x ∈ H , 若 0 A2 ≠ , 继续以上过程作出 A3 ," , 如果在有限次之后 , 有 An = 0 , 则 i i n i i Ax (x,e )e 1 ∑= = λ (5-3-9)