虑投影算子P:H→E,由于H=E⊕E,E≠{0},故存在 x∈E,|x=1,(Px,x)=|Px=x=1.又存在x∈E,|=1 Px=0,(Px,x)=0.于是0≤(Px,x)≤1.由定理4, {0,1}ca(P)c[0,1 上述事实也可以写成(I-P)x=0或Px=0,于是0,1∈Gn(P) 若0<A<1,x=x+x2是正交分解,x∈E,x2⊥E,则 (-P)x=0即(2-1)x+x2=0,故必有x=x1=x2=0,/-P是 的.另一方面,y∈H,若y=y+y2是到E的正交分解,取 x=M+2,则(1-P)x=y,-P是到上的.于是L∈p(P) 1- 总之可(P)=可n(P)=0,1 下面我们讨论紧自伴算子的谱 定理5设H是 Hilbert空间,A是紧自伴算子.M,m如定理4,若 M≠0(或m≠0),则M(或m)是A的特征值 证明现只证M,对于m可类似证明之 设M≠0,记B=M-A,由定理4的证明知道(5-3-6)成立.故 存在xn∈H,‖xn‖=1,liml‖|Bxnl=0.A紧,于是有子列x Ax_→ 由Bxn=Mn-Axn知M→x,于是Ax= lim max=M0又‖x0‖=limM‖x。‖=M≠0,故M是A的特征 值,M∈Gn(A) 定理6设H是 Hilbert空间,A是紧自共伴算子 (1)存在有限或无穷非零实数序列{n},元n是A的特征值 A|≥|A2|≥ 若{n}是无穷的,则λ→>0.相应地存在规范正交序列{en},使得 Aen=lnen并且对于每个x∈H 66 虑投影算子 PH E : , → 由 于 H E EE, {0}, ⊥ ⊥ =⊕ ≠ 故存在 x Ex ∈ = , 1, 2 2 ( ,) Px x Px x = = =1 . 又存在 x E , ⊥ ∈ x =1, Px Px x = = 0, ( , ) 0. 于是 0 ( , ) 1. ≤ Px x ≤ 由定理 4, {0,1} ( ) [0,1]. ⊂ ⊂ σ P 上述事实也可以写成 ( )0 I Px − = 或 Px = 0 , 于是 0,1 ( ). ∈σ p P 若 1 2 0 1, << = + λ x x x 是正交分解 , 1 2 x ∈ Ex E , ⊥ , 则 ( )0 λI Px − = 即 1 ( 1) λ − x 2 +λx = 0 , 故必有 1 2 x = x x IP == − 0, λ 是 一一的. 另一方面, ∀ ∈y H, 若 1 2 yy y = + 是到 E 的正交分解, 取 1 2 1 y y x λ λ = + − , 则 ( ) λI − = Px y , λI − P 是到上的 . 于 是 λ ∈ ρ( ). P 总之 ( ) ( ) {0,1}. σ P P = σ p = 下面我们讨论紧自伴算子的谱. 定理 5 设 H 是 Hilbert 空间，A 是紧自伴算子. M ,m 如定理 4, 若 M ≠ 0 (或 m ≠ 0 ), 则 M (或 m )是 A 的特征值. 证 明 现只证 M , 对于 m 可类似证明之. 设 M ≠ 0 ，记 B = MI − A，由定理 4 的证明知道（5-3-6）成立. 故 存 在 xn ∈ H ， || xn ||= 1 ， lim || ||= 0 →∞ n n Bx . A 紧，于是有子列 nk x ， 0 k A n x x → . 由 Bxn = Mxn − Axn 知 0 k M n x x → ，于是 Ax0 = lim k k n n MAx →∞ M 0 = x . 又 0 || || lim || || 0 k n k x Mx M →∞ = = ≠ ， 故 M 是 A 的特征 值, ( ) M ∈σ p A . 定理 6 设 H 是 Hilbert 空间， A 是紧自共伴算子. (1) 存在有限或无穷非零实数序列{ } λn , λn 是 A 的特征值, 1 2 | || | λ ≥ ≥ λ "". 若 { } λn 是无穷的 , 则 0 λn → . 相应地存在规范正交序列 { }n e ,使 得 n n n Ae = λ e 并且对于每个 x ∈ H