t-(B x, Bx)+r(Bx, Bx)+t(Bx, x)+(Bx, x)20 由B的自伴性得到 t(B-x, Bx)+ 2t( Bx, Bx)+(Bx, x)20 各项系数均为实数,故 (Bx, Bx)2<(Bx, Bx)(Bx, x) (5-3-5) 于是 ‖Bx|=(Bx,Bx)2圳BPx|(Bx,x), 由(5-3-4) inf‖Bxl=0 (5-3-6) 若B是一一的并且到上的,由本章§1定理1,存在a>0,使得 vx∈H,‖Bx|叫l‖x.从而intf‖Bx|a>0,与(5-3-6)矛盾,故 M∈a(A) 推论设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子若r4是A 的谱半径,R4是A的数值半径,厂是AA的谱半径,则 R4引A‖ (2)r,引A|2 A 证明°实际上由定理4,max(M|m)≤sup|A|=r,故 p=max(M|mD)≤r4 但显然P4=Sup| ak sup I=R4.再由定理3得到 R4=A‖ 2°注意到A'A是自伴算子,由1得到 =AA|=A‖2 后一等式是根据第四章§3定理6(4) 例1设H是 Hilbert空间,E∈H是闭子空间,E≠{0},H.考5 即 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 2 2 t B x Bx + t Bx Bx + t B x x + Bx x ≥ 由 B 的自伴性得到 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 2 2 t B x Bx + t Bx Bx + Bx x ≥ 各项系数均为实数,故 ( , ) ( , )( , ) 2 2 Bx Bx ≤ B x Bx Bx x (5-3-5) 于是 || || ( , ) || || || || | ( , ) | 4 2 3 2 Bx = Bx Bx ≤ B x Bx x , 由(5-3-4), inf || || 0 || || 1 = = Bx x (5-3-6) 若 B 是一一的并且到上的 , 由本章§1 定 理 1, 存 在 a > 0 , 使 得 ∀x ∈ H , || Bx ||≥ a || x || . 从 而 inf || || 0 || || 1 ≥ > = Bx a x , 与 (5-3-6) 矛 盾 , 故 M ∈σ (A) . 推 论 设 H 是 Hilbert 空间，A∈ Β(H) 是自伴算子. 若 Ar 是 A 的谱半径, RA 是 A 的数值半径, A A r * 是 A A * 的谱半径, 则 (1) r R || A || A = A = (2) 2 || || r * A A A = 证 明 D 1 实际上由定理 4, ( ) max( ,| |) sup | | A A M m r λ σ λ ∈ ≤ = , 故 A A A R = = M m ≤ r ∈ sup | | max(| |,| |) ( ) µ µ ω 但显然 A A A rA = ≤ = R ∈ ∈ sup | | sup | | ( ) ( ) λ µ λ σ µ ω . 再由定理 3 得 到 r R || A || A = A = . D 2 注意到 A A * 是自伴算子, 由 D 1 得到 * 2 || || || || r * A A A A A = = . 后一等式是根据第四章§3 定理 6(4). 例1 设 H 是 Hilbert 空间, E ⊂ H 是闭子空间, E ≠ {0}, . H 考