另一方面,设a=Sup|,则|(Ax,x)≤alx2由极化恒等式 4Re(Ax,y)=(A(x+y),x+y)-(4(x-y),x-y) 14Re(Ax,y)|sl(A(x+y),x+y)|+|(4(x-y),x-y) x+y|2+a‖-y|2 2a(lx2+‖y|2) 后者利用了内积空间的平行四边形公式 若Ax≠0,取‖x|=1,y Ax I Ax =(Ax l‖Ax )=Re(Ax Axl‖l (x2 )=a lAx‖ 当Ax=0时,此式自然成立,故‖A|a= sup l 定理得证 定理4设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子,则 M ,n∈ 其中 sup u, m= inf u 证明这里仅证明M∈o(A),对于m∈a(A)可类似证之 设B=M-A,则 (Bx, x)=M(x, x)-(Ax, x), VxE H 根据M的定义,显然(Bx,x)≥0并且 现在,若t是任一实数,则 (B(Bx+x),tBx+x)≥04 另一方面，设 sup | | ( ) µ µ ω A a ∈ = ，则 2 | ( , ) | || || Ax x a x ≤ .由极化恒等式 知 4Re(Ax, y) = (A(x + y), x + y) − (A(x − y), x − y) 于是 | 4Re( , ) | | ( ( ), ) | | ( ( ), ) | Axy Ax y x y Ax y x y ≤ + ++ − − 2 2 ≤ a || x + y || +a || x − y || 2 (|| || || || ) 2 2 = a x + y . 后者利用了内积空间的平行四边形公式. 若 Ax ≠ 0 ,取 || x ||= 1, || Ax || Ax y = 则 || || ( , ) Re( , ) || || || || Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax = = a Ax Ax x a ≤ + ) = || || || || (|| || 2 2 2 2 当 Ax = 0 时，此式自然成立，故 || || sup | | ( ) µ µ ω A A a ∈ ≤ = . 定理得证. 定 理 4 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子，则 M ,m ∈σ (A) , 其中 µ µ ω( ) sup A M ∈ = ， µ µ ω( ) inf A m ∈ = ， 证明 这里仅证明 M ∈σ (A) ，对于 m ∈σ (A)可类似证之. 设 B = MI − A，则 (Bx, x) = M (x, x) − (Ax, x) , ∀x ∈ H . 根据 M 的定义,显然 (Bx, x) ≥ 0并且 inf ( , ) 0 || || 1 = = Bx x x . (5-3-4) 现在,若 t 是任一实数, 则 (B(tBx + x),tBx + x) ≥ 0